概率论5-1 大数定律

1、大大 数数 定定 律律 在大量的随机现象中，随机事件的在大量的随机现象中，随机事件的频率具有稳定性频率具有稳定性 大量的随机现象的大量的随机现象的平均结果具有稳定性平均结果具有稳定性 概率论中用来阐明大量随机现象概率论中用来阐明大量随机现象平均结果的平均结果的稳定性稳定性的一系列定理，称为的一系列定理，称为大数定律大数定律（law of large number)切比雪夫（切比雪夫（Chebyshev)Chebyshev)不等式不等式 设随机变量设随机变量X具有有限数学期望具有有限数学期望EX和方差和方差DX，则，则对于任意正数对于任意正数 ，如下不等式成立。，如下不等式成立。2DXP XEX

2、切比雪夫不等式切比雪夫不等式 在随机变量在随机变量X的的分布未知分布未知的情况下，只利用的情况下，只利用X的期望的期望和方差，即可对和方差，即可对X的概率分布进行估值。的概率分布进行估值。切比雪夫（切比雪夫（Chebyshev)Chebyshev)不等式的应用不等式的应用 例例 已知正常男性成人血液中，每毫升白细胞数的平均已知正常男性成人血液中，每毫升白细胞数的平均值是值是7300，均方差是，均方差是700，利用切比雪夫不等式估计每，利用切比雪夫不等式估计每毫升血液含白细胞数在毫升血液含白细胞数在52009400之间的概率。之间的概率。解解 设设X表示每毫升血液中含白细胞个数，则表示每毫升血液

3、中含白细胞个数，则 7300,()700EXXDX则则 5200940073002100PXP X173002100P X 2270017300210021009P X 而而 8520094009PX所以所以 练习练习 设随机变量设随机变量X的方差为的方差为2.5，利用切比，利用切比雪夫不等式估计概率雪夫不等式估计概率7.5P XEX解解 22.57.57.5P XEX17.522.5P XEX样本平均数稳定性定理样本平均数稳定性定理 定理定理 设随机变量设随机变量X1，X2，Xn，相互独立，相互独立，且服从同一分布，并具有数学期望且服从同一分布，并具有数学期望 及方差及方差 ，则对于，则对于

4、任意正数任意正数 ，恒有，恒有211lim0niniPXn11lim1niniPXn观测量观测量X在相同的条件下重复观测在相同的条件下重复观测n次，次，当当n充分大时充分大时，“观测值的算术平均值接近于期望观测值的算术平均值接近于期望”是一是一大概率事件大概率事件。即即 11niixn依概率收敛于依概率收敛于 即即n充分大时，充分大时，11niixxn辛钦大数定理辛钦大数定理 伯努利大数定理（频率的稳定性）伯努利大数定理（频率的稳定性） lim0nnPpn 定理定理 设设 是是n次独立试验中事件次独立试验中事件A发生的次数，发生的次数，p是事件是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意正数在每

5、次试验中发生的概率，则对于任意正数恒有恒有n 定理的应用定理的应用：可通过多次重复一个试验，确定：可通过多次重复一个试验，确定事件事件A在每次试验中出现的概率在每次试验中出现的概率( )npP An中心极限定理（中心极限定理（Central limit theoem) Central limit theoem) 客观背景：客观实际中，许多随机变量是由大量客观背景：客观实际中，许多随机变量是由大量相互独立的偶然因素的综合影响所形成，每一个微小相互独立的偶然因素的综合影响所形成，每一个微小因素，在总的影响中所起的作用是很小的，但总起来，因素，在总的影响中所起的作用是很小的，但总起来，却对总和有显著

6、影响，这种随机变量往往近似地服从却对总和有显著影响，这种随机变量往往近似地服从正态分布。正态分布。 概率论中有关论证独立随机变量的和的极限分布概率论中有关论证独立随机变量的和的极限分布是正态分布的一系列定理称为中心极限定理。是正态分布的一系列定理称为中心极限定理。独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理 设随机变量设随机变量X1，X2，Xn相互独立相互独立，服从同一分服从同一分布布，且有有限的数学期望，且有有限的数学期望 和方差和方差 ，则随机变量，则随机变量 的分布函数的分布函数 满足如下极限式满足如下极限式1niiXnYn( )nF x22121lim( )lim2ntixinnn

7、XnF xPxedtn定理的应用定理的应用：对于独立的随机变量序列：对于独立的随机变量序列 ，不管，不管 服从什么分布，只要它们是同分布，服从什么分布，只要它们是同分布，且有有限的数学期望和方差，那么，当且有有限的数学期望和方差，那么，当n充分大时，这充分大时，这些随机变量之和些随机变量之和 近似地服从正态分布近似地服从正态分布nX(1,2, )iX in1niiX2,N nn例例 一部件包括一部件包括10部分，每部分的长度是一个随机变部分，每部分的长度是一个随机变量，相互独立，且具有同一分布。其数学期望是量，相互独立，且具有同一分布。其数学期望是2mm，均方差是均方差是0.05mm，规定总长

8、度为，规定总长度为200.1mm时产品合时产品合格，试求产品合格的概率。格，试求产品合格的概率。解解 设部件的总长度为设部件的总长度为X，每部分的长度为，每部分的长度为 Xi（i=1,2,10)，则，则()2iE X()0.05iX101iiXX由定理可知：由定理可知：X近似地服从正态分布近似地服从正态分布 210 2,10 0.05N即即 20,0.025N续解续解 则产品合格的概率为则产品合格的概率为 200.119.920.1P XPX20.1 2019.9200.0250.025 0.1210.025 0.4714棣莫弗棣莫弗拉普拉斯中心极限定理拉普拉斯中心极限定理 (De Moivr

9、e-Laplace) (De Moivre-Laplace) 定理定理 设随机变量设随机变量 服从二项分布服从二项分布 ，则对，则对于任意于任意 ，恒有，恒有X( , )B n px221lim= ( )(1)2txnXnpPxedtxnpp二项分布的极限分布是正态分布二项分布的极限分布是正态分布 即如果即如果( , )XB n p，则，则 221( )( )(1)2tbaXnpP abedtbanpp ()()(1)(1)bnpanpnppnpp 一般地，一般地，如果如果( , )XB n p，则，则(1)(1)(1)anpXnpbnpP aXbPnppnppnpp例例 现有一大批种子，其中

10、良种占现有一大批种子，其中良种占1/6，今在其中任选，今在其中任选6000粒，试问在这些种子中良种所占的比例与粒，试问在这些种子中良种所占的比例与1/6之差之差小于小于1%的概率是多少？的概率是多少？解解 设取出的种子中的良种粒数为设取出的种子中的良种粒数为X，则，则 1(6000, )6XB所求概率为所求概率为 10.0160006XP9401060PX1060 1000940 10001000 5 61000 5 6 22.078510.9625 续例续例 种子中良种占种子中良种占1/6，我们有，我们有99%的把握断定在的把握断定在6000粒种子中良种所占的比例与粒种子中良种所占的比例与1

11、/6之差是多少？这时相应的之差是多少？这时相应的良种数落在哪个范围？良种数落在哪个范围？解解 设良种数为设良种数为X，则，则 1(6000, )6XB设良种所占比例与设良种所占比例与1/6的差值为的差值为 ，则依题意有，则依题意有 160006XP600060001000 5 61000 5 6 10006000P X6000210.991000 5 6 60002.581000 5 6查表得查表得 60000.99501000 5 60.0124此时有此时有 100074.4X 9251074X即即 解解 设设100根木材中长度不短于根木材中长度不短于3米的根数为米的根数为X，则，则 有一大批建筑房屋用的木柱，其中有一大批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度