《高等数学》第八章单元自测题参考答案

1、第八章单元自测题参考答案一.填空题1 .设z3xy,贝Uy3xyln3.x、一.，、1一32 .设f(x,y)2,则fy(1,3)=一,xy50zyz3.万程式xyyzzx1确tez是x,y的函数，则一xxy24.设zysinex则excosex.xy5.设z21n(1x22、,1.1.y)，则dz(i,i)-dx-dy.33322.-6.设函数zf(x,y)的全微分dz2xydxaxydy,则常数a3.一一47.函数z3x3.xyy在点A(1,2)处沿从点A到B(2,1)万向的万向导数等于8.函数uxyyzzx在点(1,2,3)处的梯度u(1,2,3)5i4j3k,选择题1.设f(x,y)x

2、y22xy0,2,x2x2y2y0,0,则f(x.y)在点(0,0)处(B).(A)连续，但偏导数不存在(B)不连续，但偏导数存在(C)连续，且偏导数存在；(D)不连续，且偏导数不存在2.设zxln(2eey),则2z2x(0,0)(D).(A) 1;(B) -1;3.设方程F (x y, y z, z x)(C)2;(D)-2.0确定z是x,y的函数，则卫(C).x(A)F1F2;F2F3(BF2Fi;F2F3(C)FiF3;F2F3(D)F3Fi;F2F3(B)2(ydy xdx)(x y)2(C)2(ydx xdy).(xy)22(xdy ydx)22(x y)一，xy4.函数z的全微分

3、dz(D).Xy(A)2(xdx华；(xy)325.函数z3xxyxy在点M(1,2)处沿l11,3万向的万向导数(A).(A)最大；(B)最小；(C)等于1;(D)等于0.6 .在曲线xt,yt2,zt3的所有切线中与平面x2yz0平行的切线(B).(A)只有一条;(B)只有两条；(C)至少有三条(D)不存在.(D) 4.7 .函数f(x,y)x22xyy34y2有(B)个驻点.(A)1;(B)2;(C)3;22(B)不是驻点；(D)是极小值点8.对于函数zxy,原点(0,0)(A).(A)是驻点但不是极值点(C)是极大值点；三.解答题1 .设zln(x<x2y2),求z,z.xy,-

4、,-22解二1(12x)1xxy2222'2222xx.xy2xyx,xy,xyz12yy222222.22yxxy2xyxyxxy2 .求zarctan的二阶偏导数x解 xz11x222y1y_xxy12x2zy2x2xy2,22、2,22、2x(xy)(xy)2zx2y2xy2,22、2,22、2y(xy)(xy)222222zz(xy)y2yyx/222/22X2xyyx(xy)(xy)一、一23.设方程xy4z0确定z是x,y的函数,求2z-2.x解设F(x,y,z)x2y2z24z,有FxFz2x2z42z-2x(zz2)x-x(z2)2(z2)(z2)(z2)2x2(z2)

5、34.设r.x2，证明当、丁r证一2.x22x2y同理2r-2y5.设2r2x2r-2y2r2z2y3，r2r-2x2r2r2r32x2y2z32r222233xyzrrrrr所以z，求2f(xy,Y),f具有连续的二阶偏导数x解x2zxyyfigf2,xi,ifiy(xfii一尾)f2xxy”i2"(xf2if22)xx=fi''xyfii''f22.33226.求函数f(x,y)xy3x3y9x的极值.'-2fx3x6x90,'2得驻点(i,0),(i,2),(-3,0),(-3,2)fy3y26y0,.,"_»

6、»,"又fxx6x6,fxy0,fyy6y6,在点(1,0)处，ACB2720,A120,所以f(1,0)5为极小值；在点(1,2)处,ACB2720,所以f(1,2)不是极值；在点(-3,0)处,ACB2720,所以f(3,0)不是极值;2在点(-3,2)处，ACB720,A120,所以f(3,2)31为极大值.7.求球面x2y2z214在点(1,2,3)处的切平面和法线方程解设F(x,y,z)x2y2z214,则'''nFx,Fy,Fz2x,2y,2z,n(1,2,3)2,4,6,切平面方程为2(x1)4(y2)6(z3)0，即x2y3z140,法线方程为x1y2z3.12338.要做一个容积为Vm3的无盖长方体水箱，问怎样选取长，宽，高，才能使得用料最省解设长，宽，高为x,y,z,由题设zV,水箱的表面积xy-、，11、SS(x,y)xy2(xy)zxy2V(),xy问题成为求S(x,y)在区域D:x0,y0的最小值问题.令2VSxy0,xc&