时域离散系统的网络结构

1、第五章第五章 时域离散系统的网络结构时域离散系统的网络结构n5-1 数字网络的信号流图表示n5-2 IIR数字滤波器的结构 n5-3 FIR数字滤波器的结构n5-4 数字滤波器的格型结构5-1 数字网络的信号流图表示数字网络的信号流图表示1. 信号流图的基本概念 信号流图是一种有向图，它用带箭头的线段来代表一条支路，箭头的方向代表信号流动的方向。 下面对应线性时不变系统的3种基本运算单元的流图形式来进一步说明信号流图的基本概念 图5-1-1线性时不变系统的基本运算单元及其流图形式 与流图有关的常用术语还有：通路 - 沿同一方向传输的连通支路环路 - 闭合的通路环路增益 - 环路种所有支路增益之

2、积前向通路 - 从输入节点到输出节点通过任何 节点仅一次的通路前向通路增益 - 前向通路中所有支路增益之积2. 计算信号流图的梅森公式计算信号流图的梅森公式梅森公式梅森公式：若网络的信号流图已知，其系 统函数H(z)可由下式计算kkkgzH1)(为流图的特征多项式 且=1-（所有环路增益之和）+（每两两不接触的环路 增益乘积之和）-（每三三不接触的环路增益乘积之和）+gk 表示第k条从源节点到输出节点的前向通路 的增益，这里k代表前向通路号k 表示去掉第k条前向通路后，剩下的流图的特征 多项式（5-1-1）3. 信号流图的转置定理信号流图的转置定理 信号流图的转置定理如果将信号流图中所有分支的

3、方向反转，保持支路的增益不变，并将网络的输入与输出交换位置，那么网络的输入输出响应不变。例如，下图中的两个流图具有相同的系统函数1111)()()(azbzzXzYzH图5-1-2 信号流图的转置4-2 IIR数字滤波器的结构数字滤波器的结构由IIR数字滤波器的时域方程MkkNkkknxbknyany01)()()(（5-2-1）其系统函数为)()(1)()()(00zAzBzazbzXzYzHNkkkMkkk（5-2-2）1. 直接型直接型由式（5-2-1）可直接画出如下图所示的流图直接I型图5-2-1 IIR数字滤波器直接I型结构直接II型交换上图中B(z)和A(z)的位置，得下图中的图(

4、a),将图(a)中间两部分的延时单元合并，得图(b)。图5-2-2 IIR数字滤波器直接II型结构2. 级联型级联型式(5-2-2)可化为以下形式LkkLkkkkkkLkkLkkkkkNkkMkkzHzzzzzHzHAzzzzAzHzdzcAzH1122112211011221122111111)(1)()(11)()1 ()1 ()(（5-2-3）（5-2-4a）（5-2-4b）其中 N为偶数时，L=N/2 N为奇数时，L= N/2 +1其级联结构流图如下所示（N=6）：图5-2-3 IIR滤波器级联型结构3. 并联型并联型式(5-2-2)可用分部分式展开为以下形式PkkkkkLkkkNMk

5、kkNMkkkNkkkzazazzzAzBzHzBzzAzH1221111011001111)(1)(（5-2-5）（5-2-6）（5-2-7）其中N=L+2P。若MN,Bk=0;若M=N,仅B0存在。若MN有PkkLkkzHzHBzH12110)()()(其并联结构流图如下所示：图5-2-4 IIR滤波器并联型结构4. 转置型转置型 根据信号流图的转置定理，可得相应的流图结构的转置型结构。图5-2-5 直接II型结构中的(a)图的转置结构5. 几种结构的比较几种结构的比较 直接直接I型和直接型和直接II型型实现起来具有简单直观的特点。需要(M+N)个加法器和(M+N)个乘法器，直接II型比直

6、接I型节省M个延时单元，在M=N的情况下，需要N个延时单元。 直接性的主要缺点在于差分方程的系数ak,bk对滤波器的性能控制不直接，同时由于其高度反馈性，容易出现不稳定或产生较大误差。 级联结构级联结构的特点是每个二阶节是相互独立的，可分别通过调整个零极点对来对滤波器性能进行较好的控制，且各二阶节的顺序可重排，能有效的减少有限字长效应。实现需要(M+N)个加法器, (M+N)个乘法器，和N个延时单元。该结构应用最广泛。 并联型结构并联型结构是用的加法器，乘法器，延时单元基本与级联结构相同。它只能独立的调整各极点的位置，不能单独调整零点的位置。但并联结构的误差比级联结构的运算误差小。 转置型转置

7、型的性能与和它们对应的结构性能相同例例 5-2-1 已知系统的传输函数为2 . 018. 04 . 002. 0362. 044. 0)(232zzzzzzH画出直接II型，级联型和并联型结构流图。解：将原式写成z-1的有理分式，可得3213212 . 018. 04 . 0102. 0362. 044. 0)(zzzzzzzH由此，可画出直接II型结构的流图，如下图所示将上式写成级联的形式得1121214 . 015 . 08 . 0102. 0362. 044. 0)(zzzzzzzH则得到级联结构的流图再将H(z)部分分式分解得21115 . 08 . 012 . 05 . 04 . 0

8、16 . 01 . 0)(zzzzzH则得到并联结构的流图5-3 FIR数字滤波器的结构数字滤波器的结构 设FIR数字滤波器的单位脉冲响应为h(n),由于其长度是有限的，n=0,1,N-1，因此对于给定的输入信号x(n),其滤波后的输出y(n)可直接由以下卷积公式求得对应的传输函数为10)()()(Nkknxkhny（5-3-1）10)()(NkkzkhzH（5-3-2）1. 直接型直接型直接型是卷积公式（5-3-1）的直接实现，其信号流图如下所示，其中图(b)是图(a)的转置结构。实现需要N个乘法和(N-1)个加法。图5-3-1 FIR滤波器直接型结构2. 级联型级联型 将H(z)化为以下二

9、阶因式乘积的形式，则可得FIR滤波器的级联结构。其流图如下LkkkkzzzH122110)()(5-3-3)图5-3-2 FIR滤波器级联结构3. 快速卷积型快速卷积型图5-3-3 FIR滤波器快速卷积方框图4. 采样频率型采样频率型 设FIR数字滤波器的单位脉冲响应h(n)的长度为N(n=0,1,N-1)，由频域采样定理，滤波器的传输函数可表示为1011)(1)(NkkNNzWkHNzzH（5-3-4）令11)()(1)(zWkHzHzzHkNkNc则式（5-3-4）可写成如下形式10)()(1)(NkkczHzHNzH（5-3-5）（5-3-6）（5-3-7）其中HK(z)为一阶谐振器 其

10、中 为由N节延迟单元组成的全零点网络，其零点在)(zHc1, 020 NkWezkNNkjk(5-3-8)由式（4-3-5 ）可得 的频率特性为)(zHcNjjceeH1)()2/sin(2)(NeHjc幅度特性为如下图所示图 5-3-5 梳状滤波器及其频率响应FIR数字滤波器的频率采样型结构如图所示图5-3-6 FIR滤波器的频率采样结构6. 修正的采样频率型结构修正的采样频率型结构 令频率采样点不在z的单位圆上，而是在 r1的圆上，如图所示，此时H(z)变为1011011)(11)(1)(NkkNNNNkkNrNNzrWkHNzrzrWkHNzrzH（5-3-9）图5-3-7 采样点在r1

11、的圆上利用DFT的共轭对称性得)()*(),(*)(kNNkNWWkNHkH则上式可化为实系数的二阶谐振器表达式，即221110111)(1)2cos(21*)(1)(*1)(1)(1)()(zrNkrzzzWrkHzrWkHzrWkNHzrWkHzHkkkNkNkNNkNk（5-3-10） 为偶数为奇数NNkNNk12/,2, 12/)1( ,2, 1其中)(Re2)(Re210kNkkWkHrkH显然式（4-3-15）中的系数 r,0k,1k,cos(2k/N)均为实数。图5-3-8 二阶谐振器结构的流图为可简化简化成一阶网络，此时和有一对实根：为实数，和点，和为偶数时，对应于当)()()

12、(,z)()2/()0(2/02/0zHzHzHrzHNHHNkkNN（5-3-11）12/122111011)2cos(211)2/(1)0(1)(NkkkNNzrNkrzzrzNHrzHNzrzH可简化为简化成一阶网络，此时仅有一个实根：为实数，点的为奇数时，仅对应于当)()(,z)()0(00zHzHrzHHkN（5-3-12）2/ )1(12211101)2cos(211)0(1)(NkkkNNzrNkrzzrzHNzrzH图5-3-9 修正的频率采样结构5-4 状态变量分析法系统分析法法输入输出分析法：外部状态变量分析法：内部1、 状态方程和输出方程A、状态变量 只要知道输入信号以及

13、n0时刻的节点变量值，就计算出n0时刻以后的输出信号和系统内部任意节点的变量值，这样的一组最少的节点变量 状态变量一般选在基本信号流图单位延迟支路输出节点处B、 状态方程 把状态变量与输入联系起来的方程 状态方程一般左边n+1时刻状态变量值，右边是输入变量和n时刻状态变量值)()() 1(nnnBxAWWC、 输出方程 把状态变量与输入与输出联系起来的方程)()()(nnnDXCWY)()()(nnnDXCWY)()() 1(nnnBxAWWD、 矩阵元素的物理意义）节点的支路增益。（个状态变量第节点到个状态变量：表示由第1 nwiwjaijij）节点的支路增益。（个状态变量第：表示由输入节点

14、到1 nwibii益。）到输出节点的支路增（：表示状态变量nwcii节点的支路增益。：表示输如节点到输出d2、 状态变量分析法与输入输出分析法之间的转换 A、 转换H（z）dzzXzYzHBAIC1)()()(矩阵的特征多项式AzzA)det()(AIB、 转换h（n）)()()(11ndlnnhnllBAC0 0 )(00 1nndnh n nBCA3、 线性变换DDCTCBTBATTA 11 不改变系统函数条件下 ，对状态变量进行线性变换5-4 数字滤波器的格型结构5.4.1 全零点型格型滤波器结构图5-4-1 全零点型格型滤波器的网络流图图5-4-2 全零点型格型滤波器的单元网络由上面两

15、图可推导出它的传输函数为) 1()()() 1()()(1111nrnenrknrnenelllllll)()()()()()(111111zRzzEzRkzRzzEzElllllll对上式进行Z变换，得(5-4-1)(5-4-2)(5-4-3)(5-4-4)写成矩阵形式为)()(1)()(1111zRzEzkkzzRzEllllll当N级单元级联时，有 )()(111)()(001111111111zRzEzkkzzkkzzkkzzRzENNNNNN(5-4-5)(5-4-6)(5-4-8)(5-4-7)，其输出为因)()()(),()(00zRzEzXzEzYN)(11101)()(01

16、)(111zXzkkzzRzEzYNlllNN11101)()()(111NlllzkkzzXzYzH对应的传输函数为 全零点型格型结构参数与直接FIR滤波器参数间可以相互转换，现在讨论由h(k) 求kl 的递推公式。定义)()()()()(1)()()(11111101111011zHzzGzkzEzRzGzkzEzEzH(5-4-9a)(5-4-9b)(5-4-9c)由式（4-4-3）和式（4-4-4）可知)()()()()()(1121221112zRzkzEzRkzRzzEzE(4-4-10a)(4-4-10b)从而得到)()()()()()()()()()()()(122211120

17、221121022zHzzGzGzzHkzEzRzGzGzkzHzEzEzH(4-4-10c)将式（4-4-9）代入式（4-4-10），可知H2(z),G2(z)是二阶FIR传输函数。类似的，定义)()()()()()(00zEzRzGzEzEzHllll和可得)()()()()()()()(11111111zHzzGzGzzHkzGzGzkzHzHllllllllll（4-4-11a）（4-4-11b）（4-4-11c）成立。对所有的Nl 1下面求kl与h(k)滤波器系数之间的关系对N阶的FIR传输函数NkkzkhzH0)()( 将系数 h(k) 相对 h(0) 归一化，令 ak= h(k)

18、/ h(0) ，显然有NkkkNNzahzHzEzEzH101)0()()()()(4-4-12)对l=N, 从式（4-4-11）可求得)()()1 (1)()()()1 (1)(12111121zGzHkzkzGzGzkzHzzkzHNNNNNNNNNN（4-4-13b）（4-4-13a）将式（4-4-12）和式（4-4-11c）代入式（4-4-13a）得)()()()1()1 (1)() 1(111121NNNNNNNNNNNNzkazakaakaakkzH (4-4-14)传输函数，即阶将变成并选择中的若令FIRNzHakaazHNNNNNkkN1)(,)(1)()(的系数。为直接形式的

19、)(1zHN(4-4-15)(4-4-16)11)1(11)(NkkNkNzazH1112)()()1(NkkakaaNNkNNNNNk其中重复以上迭代过程，对 l=N,N-1,1, 可得到如下递推公式) 1(,.,2 , 112)()() 1()()(lkkakaaakaallklllklklllNkk（4-4-17a）（4-4-17b）（4-4-17c）例4-4-1 求下述3次FIR传输函数的直接形式和格型网络结构3213576. 064. 09 . 01)(zzzzH解：直接结构如图a所示。下面求格型网络参数， 利用式(4-4-17)得67275747.0118197491.018197491.0179518245.01576.0576.0,64.0, 9 .0122)2(22)2(1)1(1)2(2223)3(13)3(2)2(223)3(23)3(1)2(1)3(33)3(3)3(2)3(1kkakaaakkakaakakaaakaaa最后的格型网络结构如图b所示4.4.2 全极点型格型滤波器结构全极点滤波器是全零点滤