高中数学导数及其应用知识点

1、导数知识点归纳及其应用知识点归纳一、相关概念1导数的概念函数y=f（x),如果自变量x在x处有增量，那么函数y相应地有增量=f(x+）f（x)，比值叫做函数y=f（x）在x到x+之间的平均变化率，即=。如果当时，有极限，我们就说函数y=f（x)在点x处可导，并把这个极限叫做f(x）在点x处的导数，记作f'（x）或y.即f'（x）=。说明：(1)函数f（x）在点x处可导,是指时，有极限。如果不存在极限，就说函数在点x处不可导，或说无导数。（2)是自变量x在x处的改变量，时，而是函数值的改变量,可以是零。由导数的定义可知，求函数y=f（x)在点x处的导数的步骤： 求函数的增量=f(

2、x+）f(x); 求平均变化率=; 取极限，得导数f(x)=。例：设f（x)= x|x, 则f（ 0）= 。解析： f( 0)=02导数的几何意义函数y=f(x)在点x处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p(x，f（x)）处的切线的斜率.也就是说，曲线y=f（x）在点p（x,f（x）处的切线的斜率是f'（x)。相应地，切线方程为yy=f/（x）（xx）。例：在函数的图象上,其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是( )A3B2C1D0解析：切线的斜率为又切线的倾斜角小于，即故解得：故没有坐标为整数的点3.导数的物理意义如果物体运动的规律是s=s（t），那么该物体在时刻t的瞬

3、间速度v=（t）。 如果物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v(t），则该物体在时刻t的加速度a=v（t）。例。汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是( ）stOAstOstOstOBCD答:A。练习:已知质点M按规律做直线运动（位移单位：cm,时间单位：s)。（1） 当t=2，时，求；（2） 当t=2，时，求；（3） 求质点M在t=2时的瞬时速度。答案：（1）8。02(2）8.002；（3）8二、导数的运算1基本函数的导数公式： （C为常数）; ； ; .例1：下列求导运算正确的是 （ )A(x+ B(log2x)= C

4、（3x）=3xlog3e D （x2cosx）=-2xsinx 例2：设f0(x） sinx，f1(x）f0（x），f2(x)f1（x)，fn1(x） fn(x),nN，则f2005(x）（ )Asinx Bsinx Ccosx Dcosx2导数的运算法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： （法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数,即：若C为常数，则。即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：

5、(v0）。例：设f(x)、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0时,0.且g(3)=0.则不等式f（x）g（x)0的解集是 （ ）A (3,0）(3,+) B (-3，0)（0， 3) C (, 3）（3,+) D （，- 3）(0， 3）解析：当x0时，0 ，即 当x0时，f（x）g(x)为增函数，又g（x)是偶函数且g（3）=0，g(3)=0，f(-3）g(-3)=0故当时,f(x）g(x)0，又f(x)g（x）是奇函数，当x0时,f（x）g(x)为增函数，且f（3）g（3）=0故当时，f（x）g（x）0故选D3。复合函数的导数形如y=f的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解

6、-求导-回代。法则：y= y| ·u或者.练习:求下列各函数的导数： （1） （2） （3） （4)三、导数的应用1.函数的单调性与导数（1）设函数在某个区间（a，b）可导，如果，则在此区间上为增函数；如果，则在此区间上为减函数。（2）如果在某区间内恒有，则为常数.例：函数是减函数的区间为( ）AB C D(0，2） 2极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为0,极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；例：函数已知时取得极值，则= （ )A2 B3 C4 D53最值:在区间a，b上连续的函数f在a,b上必有最大值与最小

7、值。但在开区间（a，b)内连续函数f（x）不一定有最大值，例如。求最值步骤：求函数在（a，b)内的极值；求函数在区间端点的值(a）、(b)；将函数的各极值与(a)、（b）比较,其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。说明:（1)函数的最大值和最小值是一个整体性的概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值，最小值必须在整个区间上所有函数值中的最小值。（2）函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附件的函数值得出来的。函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最

8、值，最值只要不在端点处必定是极值.例：函数在闭区间3，0上的最大值、最小值分别是 .经典例题选讲例1。 已知函数的图象如图所示（其中 是函数的导函数），下面四个图象中的图象大致是 （ ）例2.设恰有三个单调区间,试确定a的取值范围，并求其单调区间.例3. 已知函数的图象过点P（0，2），且在点M处的切线方程为。 （）求函数的解析式；（）求函数的单调区间.例4。 设函数，已知是奇函数。（）求、的值。 （)求的单调区间与极值.例5。 已知f（x）=在x=1，x=时，都取得极值。（1)求a、b的值。(2）若对,都有恒成立，求c的取值范围。例6。 已知是函数的一个极值点，其中，(I）求与的关系式；(I

9、I)求的单调区间；（III）当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3，求的取值范围。例7:（2009天津理20)已知函数其中（1） 当时，求曲线处的切线的斜率;w。w。w.k。s.5。u.c.o.m （2） 当时，求函数的单调区间与极值。w.w.w.k.s.5.u.c。o。m 本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。满分12分。参考答案：例1 解析:由函数的图象可知:当时, 0，0，此时增当时，>0，<0，此时减当时，0，0，此时减当时，>0，0,此时增，故选C例2.解:若，对恒成立，此时只有一

10、个单调区间，矛盾若， ，也只有一个单调区间，矛盾若 ，此时恰有三个单调区间 且单调减区间为和,单调增区间为例3 .解:()由的图象经过P（0，2），知d=2，所以由在处的切线方程是，知故所求的解析式是 (）解得 当当故内是增函数，在内是减函数，在内是增函数.例4。 解：(）,.从而是 一个奇函数，所以得，由奇函数定义得；（）由（）知，从而，由此可知，和是函数是单调递增区间；是函数是单调递减区间；在时，取得极大值，极大值为，在时，取得极小值，极小值为。例5. 解：（1)由题意f/（x)=的两个根分别为1和 由韦达定理，得：1=， 则，(2）由(1），有f（x）=,f/(x)= 当时，当时,，当时,，当时，有极大值, 当,的最大值为 对，都有恒成立， 解得或例6.解：(I)因为是函数的一个极值点，所以，即，所以（II)由（I）知，=当时，有，当变化时，与的变化如下表：100调调递减极小值单调递增极大值单调递减故有上表知，当时，在单调递减,在单调递增，在上单调递减。(III）由已知得,即又