三维设计江苏专用高三数学一轮总复习第四章三角函数解三角形第八节解三角形的综合应用课时跟踪检测理

1、三维设计江苏专用高三数学一轮总复习第四章三角函数解三角形第八节解三角形的综合应用课时跟踪检测理一抓基础，多练小题做到眼疾手快1 .在相距2km的A,B两点处测量目标点C,若/CAB=75。，/CBA=60。，则B,C两点之间的距离为km.2BC解析：根据题意，可知/ACB=45,根据正弦定理，可知从而sin45sin752X幽占有BC=亚=回1.2答案：，3+12 .已知A,B两地间的距离为10km,B,C两地间的距离为20km,现测得/ABC=120°,则A, C两地间的距离为km.解析：如图所示，由余弦定理可得：AC= 100+400 2X 10X20Xcos 120 °

2、; = 7. AO 10"(km).答案：10 73. (2016 常州调研)在直角梯形 ABCDK cos / DAO.解析：由已知条件可得图形，如图所示，设=AD2+ AC 2ADX ACx cos / DAC.a2=(小a)2+ (,) 2-2X 成ax 邓ax co3 11010 .。，1,B20cAB/ CD /ABC= 90° , AB= 2BC= 2CD 贝UCD= a,在 AC计，CDVAisZ DAC cos / DAC= 3京答案：而8解析：如图，OM= AOan 45=30(m),4 .江岸边有一炮台高30m,江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，

3、由炮台顶部测得俯角分别为45。和60。，而且两条船与炮台底部连线成30。角,则两条船相距m.ONk AOan 30=4X30= 1073(m),在MOIN由余弦定理得,MN= 1/900+300 2X30X1 0sx 乎= a/300= 10>/3(m).答案:10 ：35.某同学骑电动车以24 km/h的速度沿正北方向的公路行驶，在点A处测得电视塔S在电动车的北偏东 30°方向上，15 min后到点B处，测得电视塔S在电动车的北偏东 75。方向上，则点B与电视塔的距离是km.解析：如题图，由题意知AB= 24X15=6,在 ABS中，/ BAS= 30° , AB=

4、 6, ZABS 60= 180° 75° =105° , BSASB= 45 ,由正弦定理知而ABsin 45 °，BS=AB- sin 30sin 45答案：3巧二保高考，全练题型做到高考达标1 . 一艘海轮从 A处出发，以每小时 40海里的速度沿南偏东 40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在 A处观察灯塔，其方向是南偏东70。，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65。，那么解析：如图所示，易知，在 ABC, BC/ACB=45；根据正弦定理得sn歹解得BO 10，2(海里).答案：10 .22 .如图，一条河的两岸

5、平行，河的宽度 d=0.6 km , 一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B已知AB= 1 km,水的流速为2 km/h若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min ,则客船在静水中水流方向的速度为km/h.解析：设AB与河岸线所成的角为 e ,客船在静水中的速度为v km/h,由题意知，sin0.637 = 5,从而cos e=5,所以由余弦定理得2v 2=/X21010+ 1 -2X X2X 1 X得v=6啦.答案：6,'23.如图，在山腰测得山顶仰角/CAB=45°,沿倾斜角为30°的斜坡走1000米至S点，又测得山顶仰角/DSB=75。，则山高BC

6、为米.解析：由题图知/BAS=45°-30°=15°,/ABS=45°-15°=30°,，/ASB=135° ,在 ABS中，由正弦定理可得1 000 AB sin 30 ° =sin 135AB= 1 000 2,000.答案：1 0004.（2016 南京四校联考）如图，为了测量两座山峰上两点P, Q之间的距离，选择山坡上一段长度为300m米且和p, q两点在同一平面 内的路段 AB的两个端点作为观测点，现测得/PAB= 90° , / PAOZPBA= Z PBQ= 60。，则P, Q两点间的距离为

7、 米.解析：设AQn PB= C,由图可知，ZQAB= / PAB- Z PAQ= 30 ,又/ PBA= Z PBQ= 60° , ./ AQB= 30° ,. ABQ等腰三角形，. AC= CQ BC1 AQ/PQM等腰三角形. / PAQ= 60 ,.PQM等边三角形，故 PQ= AQ在RtAACB,3AC= AB- sin 60= 3003X=450,，PQ= AQ= 900.故P, Q两点间的距离为900米.答案：9005.如图所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东 15。方向，与海轮相距20海里的B处，海轮按北偏西60°的方向航行了 30 分

8、钟后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东 75。的方向，则海轮的速度为 海里/分钟.解析：由已知得/ ACB= 45° , / B= 60° ,由正弦定理得ACABsin B sin / ACB所以AC=AB- sin B 20Xsin 60sin / ACB sin 45=10 6,所以海轮航行的速度为噂6=坐（海里/分钟）.3036.（2016盐城模拟）在不等边三角形ABC,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其中a为最大边，如果sin2（B+C）<sin2B+sin2C,则角A的取值范围为解析：由题意得sin2A<sin2B+sin2C,再由正弦定理得a2

9、<b2+c2,即b2+c2a2>0兀: 0<4兀,0<A-2.一 一 、兀又a为取大边，A>.3兀 兀因此得角A的取值范围是5.答案:7.如图，为测得河岸塔 AB的高，先在河岸上选一点 C,使C在塔底B 的正东方向上，测得点A的仰角为60° ,再由点C沿北偏东15°方向走10 米到位置D,测彳导/ BDC- 45° ,则塔 AB的高是 米.解析：在 BC加，CD= 10, / BD仔45° ,/BCD= 15 +90 = 105 , / DB匿 30 ,由正弦定理得BC sin 45CD sin 30所以BC-CDsin 4

10、5sin 30=10 2.在 RtABC中,tan 60ABBdAB=BCan60°=10加（米）.答案：106/ABCJ38 .如图，在ABC,sin2-=/，AB=2,点D在线段AC上，且AD=2DCBD=芈,贝Ucos/C=3解析：由条件得cos/AB做1,sin/ABU乎.33在AB8,设BCa,AC3b,则由余弦定理得9b2=a2+44a.3因为/ADBI/CDBS补，所以cos/ADB=cos/CDB所以4b2+16-4316 33所以3b2-a2=-6,联合解得a=3,b=1,所以AC3,BC3.BC+AC2Ag32+32-227在ABC,cos/C=-2BCAC=2X

11、3X3=&答案：99 .某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°,距离为10nmile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向,以9nmile/h的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21nmile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间.sin21.8°坐14解：如图所示，根据题意可知AC=10,/ACB=120。，设舰艇靠近渔轮所需的时间为th,并在B处与渔轮相遇，则AB=21t,BC=9t,在ABCK根据余弦定理得aB"=aC+BC2AC-BC-cos120°,所以

12、212t2=102+81t2+2X10X9tX1,即360t290t-100=0,解得t=?或t=23所以舰艇靠近渔轮所需的时间为2h.3此时AB=14,BC=6.BCAB在ABC4根据正弦定理，得./r=的。,sin/CABsin12036XT33所以sinZCAB=今,即/CA121.8或/CA我158.2（舍去）,即舰艇航行的方位角为45°+21.8°=66.8°.所以舰艇以66.8。的方位角航行，需2h才能靠近渔轮.310 .如图所示，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端兀L0的仰角和立柱底部B的俯角均为形.设S的眼睛到地面的距离

13、为审米.摄影爱好者是否都可以将彩杆全部即 2；32+1b22x243x12；'3 2+1 -2X 2/3XI2a,可得a2+ b2= 26.在 msnL, a +b -2cos Z MSN=一2ab1122 _ 11 1ab>a2+ b2=13>2.当且仅当a= b时等号成立,(1)求摄影爱好者到立柱的水平距离和立柱的高度；(2)立柱的顶端有一长2米的彩杆MN其中点0在S与立柱所在的平面内旋转.摄影爱TT好者有一视角范围为f的镜头，在彩杆转动的任意时刻,3摄入画面？说明理由.解：作SC垂直0B于C,II兀兀则/CSB=,/ASB=.63又SA=®故在RtSABP,

14、可求得BA=3,即摄影爱好者到立柱的水平距离为3米.由SC=3,/CS0=-6-,在RtASCO,可求得0C=季.因为BC=SA=''3,故0B=2-,.3,即立柱高为2"3米.(2)连结SMSN设SNha,SM=b.由知S0=乎,在ASOM口SON,cos/SO附cos/SON一，兀又/MSN(0,兀)，则0</MSNr-.3故摄影爱好者S可以将彩杆全部摄入画面.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1.如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10000m,速度为50m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°,经过420s后看山顶

15、的俯角为45°,则山顶的海拔高度为m_(取、/2=1.4,43=1.7)加1款r解析：如图，作CD垂直于AB的延长线于点D,由题意知/A=15ZDBC=45,.ACB=30,AB=50X420=21000(m).又在ABC中,BCABsinAsin/ACB，BC=21100xsin15°=10500(乖一娘).2CDLADCD=BC-sin/DBC=10500(6-/2)x2-=10500(炉1)=7350.故山顶的海拔高度h=100007350=2650(m).答案：26502.如图，在水平地面上有两座直立的相距60m的铁塔AA和BB.已知从塔AA的底部看塔BB顶部的仰角

16、是从塔BB的底部看塔AA顶部的仰角的2倍，从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角.则从塔BB的底部看塔AA顶部的仰角的正切值为;塔BB的高为m.解析：设从塔BB的底部看塔AA顶部的仰角为a,则AA=60tana,BB=60tan2a.从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角，.AACCBJAA3030=BB，AABB=900,tan a.3600tanatan2a=900,tan2a=,BB=60tan2a=45.34答案：14533.已知在东西方向上有MN两座小山，山顶各有一个发射塔A,B,塔顶A,B的海拔高度分别为A阵100米和BNh200米，一测量车在小山M的正南方向的点P处测得发射塔顶A的仰角为30。，该测量车向北偏西60。方向行驶了10043米后到达点Q,在点