三维设计江苏专用高三数学一轮总复习板块命题点专练四导数及其应用理

1、三维设计江苏专用高三数学一轮总复习板块命题点专练四导数及其应用理1. (2015陕西高考)函数y=xex在其极值点处的切线方程为.解析：由题知y'=ex+xex,令v'=0,解得x=-1,代入函数解析式可得极值点的坐标为1,1,e又极值点处的切线为平行于x轴的直线，故切线方程为y=-.e答案：y=e2. (2015陕西高考)设曲线y=e在点(0,1)处的切线与曲线y=-(x>0)上点P处的切x线垂直，则P的坐标为.解析：y'=ex,曲线y=ex在点(0,1)处的切线的斜率k1=e°=1,设P(nn),y=1(xx>0)的导数为v=-2(x>0

2、),曲线y=(x>0)在点P处的切线斜率k2=-2(m>0),因xxm为两切线垂直，所以k*2=1,所以mt=1,n=1,则点P的坐标为(1,1).答案：(1,1)3. (2015全国卷n)已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切，则a=.解析：法一：y=x+lnx,y'=1+!,xy|x=1=2.曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x1.y=2x1与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切，aw0(当a=0时曲线变为y=2x+1与已知直线平行).y=2x-1,2由2+2消去y'得ax+a

3、x+2=0.由A=a2-8a=0,解得a=8.法二：同法一得切线方程为y=2x-1.设y=2x1与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切于点(x°,ax0+(a+2)x0+1)./y'=2ax+(a+2),y'1x=x0=2axo+(a+2).12axo+a+2=2,xo=,由2解得2axo+a+2xo+1=2xo-1,a=8.答案：84. (2015 四川高考)已知函数f(x) = 2x,g(x) = x2+ax(其中aCR).对于不相等的实数x1, x2,设fx1 fx2mi=x1 x2g x1 n=一g x2x1 x2,现有如下命题:9对于任意不相等的实数x1,x

4、2,都有m>0；对于任意的a及任意不相等的实数x1,x2,都有n>0；对于任意的a,存在不相等的实数x1,X2,使得mn；对于任意的a,存在不相等的实数xbx2,使得mi=n.其中的真命题有(写出所有真命题的序号).解析：对于，由f(x)=2x的单调性可知f(x)=2x在其定义域上单调递增，则有m>0,故正确.对于，由g(x)=x2+ax的单调性可知g(x)=x2+ax在其定义域上先减后增，则存在n<0的情形，故错误.对于,由m=n,得f(x1)f(x2)=g(x1)g(x2),即f(x。一g(x1)=f(x2)g(x2),令H(x)=f(x)-g(x)=2x-x2-a

5、x,求导可得H'(x)=2xln2-2x-a.令H'(x)=0,得2xln2=2x+a.(*)图由图(1)易知，当a很小时，两图象无交点，故方程(*)无解，所以不一定存在x1,x使得f(x1)g(x。=f(x2)g(x2),故不正确.对于,由m»=n,彳导f(x1)+g(x1)=f(x2)+g(x2).令F(x)=f(x)+g(x)=2x+x2+ax,求导可得F' (x) =2xln 2+ 2x+ a,令 F' (x) = 0,图(2)得2xln2=-2x-a.(*)由图(2)易知，两图象必有交点，故方程(*)必有解，所以一定存在x1,x2使得f(x1

6、)+g(Xl)=f(X2)+g(X2),故正确.答案：一、,3x2+ax5.(2015重庆图考)设函数f(x)=x一(aCR).e(1)若f(x)在x=0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程；(2)若f(x)在3,+8)上为减函数，求a的取值范围.解：(1)对f(x)求导得，/、6x+aex3x2+axexf(x)=x-2e3x2+6-ax+a=x.e-3x2+ 6xf (x)=x,e因为f(x)在x=0处取得极值，所以f'(0)=0,即a=0.一3x2当a=0时，f(x)=r,e故f(1)=I，(1)=I，ee从而f(x)在点(1,f(1)处

7、的切线方程为3 3y -= e(x 1),化间得3x- ey= 0.,.,3x2+6ax+a(2)由知f'(x)=e,2令g(x)=-3x+(6a)x+a,由g(x)=0,6aa36,x2=6当x<x1时，g(x)<0,即f'(x)<0,故f(x)为减函数；当x1<x<x2时，g(x)>0,即f'(x)>0,故f(x)为增函数;当x>x2时，g(x)<0,即f'(x)<0,故f(x)为减函数.由f(x)在3,+0°)上为减函数,知x2=6 a a 36一一一一,9故a的取值范围为-2,+0&#

8、176;命题点二导数的应用难度：高、中命题指数：1.(2015安徽高考)设x3+ax+b=0,其中a,b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是.(写出所有正确条件的编号)a=-3,b=3；a=-3,b=2；a=-3,b>2；a=0,b=2；a=1,b=2.解析：令f(x)=x3+ax+b,贝Uf'(x)=3x2+a当a>0时，f'(x)>0,f(x)单调递增，正确；当a<0时，若a=-3,贝Uf'(x)=3x23=3(x+1)(x1),f(x)极大=f(1)=1+3+b=b+2,f(x)极小=f(1)=1-3+b=b-2,要使f(x

9、)=0仅有一个实根，需f(x)极大<0或f(x)极小>0,.bv2或b>2,正确，不正确.答案：2. (2015全国卷H改编)设函数f'(x)是奇函数f(x)(xCR)的导函数，f(1)=0,当x>0时，xf'(x)f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是.解析：设y=g(x)=-一x(xW0),x皿，xf'x-fx贝Ug(x)=2,x当x>0时，xf'(x)f(x)<0,.gz(x)<0,.g(x)在(0,+8)上为减函数，且g(1)=f(1)=-f(-1)=0.,f(x)为奇函数，g(x)为偶

10、函数，g(x)的图象的示意图如图所示.当x>0时，由f(x)>0,得g(x)>0,由图知0Vx<1,当x<0时，由f(x)>0,得g(x)<0,由图知x<-1,使得f(x)>0成立的x的取值范围是(8,1)U(0,1).答案：(8,-1)u(0,1)3. (2015全国卷n)已知函数f(x)=lnx+a(1-x).(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a2时，求a的取值范围.-，一、一，,1解：(1)f(x)的定义域为(0,+8),f'(x)=a.x若aw。，则f'(x)>0,所以f(x)

11、在(0,+8)上单调递增.若a>0,则当xC0,1时，f'(x)>0;a当XC-,+00时f'(x)<0.a所以f(X)在0,1上单调递增，在L+8上单调递减.aa(2)由(1)知，当a<0时，f(x)在(0,+oo)上无最大值；1当a>0时，f(x)在x=-处取得最大值，最大值为af-=ln-+a1-=Ina+a1.aaa因此f->2a2等价于Ina+a1<0.a令g(a)=Ina+a1,则g(a)在(0,+°°)上单调递增，g(1)=o.于是，当0<a<1时，g(a)<0；当a>1时，g(

12、a)>0.因此，a的取值范围是(0,1).4. (2015江苏高考)已知函数f(x)=x3+ax2+b(a,bCR).(1)试讨论f(x)的单调性；(2)若b=ca(实数c是与a无关的常数)，当函数f(x)有三个不同的零点时，a的取33值范围恰好是(一00,-3)u1,2u2,+00,求c的值.解：(1)f'(x)=3x2+2ax,令f'(x)=0,2a斛得x1=0,x2=.3当a=0时，因为f'(x)=3x2>0,所以函数f(x)在(一00,+8)上单调递增；一2a2a当a>0时，xC一0°,_3u(0,+8)时，f(x)>0,xC-

13、3,0时，f(x)v0,2a2a所以函数f(x)在8,一了，(0,+8)上单调递增，在一万，0上单调递减；2a2a当a<0时，x(-oo,0)U,+°°时，f'(x)>0,xC0,一"3"时，f'(x)v0,2a2a所以函数f(x)在(00,0),-,+OO上单倜递增，在0,-3上单倜递减.(2)由(1)知，函数f(x)的两个极值为f(0)=b,f=:4a3+b,则函数f(x)有三个327零点等价于f(0)f2a=b;4a3+b<0,327a>0,从而 4 327a v bv 0a< 0,或， 4 30V b

14、v 27a .又b = c-a,所以当4343a>0时，27aa+c>0或当av0时，aa+cv0.3)、一43设g(a)=27aa+c,因为函数f(x)有二个零点时，a的取值氾围恰好是(一0°,33u1,2u+oo,33则在(一8,3)上g(a)v0,且在1，2U万，+°0上g(a)>0均恒成立，3从而g(3)=cK0,且g2=c-1>0,因此c=1.此时，f(x)=x3+ax2+1a=(x+1)x2+(a-1)x+1-a.因为函数有三个零点，则x2+(a-1)x+1-a=0有两个异于一1的不等实根,所以A=(a1)24(1-a)=a2+2a-3&

15、gt;0,且(一1)一(a-1)+1aw。，33解得aC(8,-3)U1，2U2，+°°.综上c=1.2x5.(2015北乐局考)设函数f(x)=5klnx,k>0.(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)证明：若"x)存在零点，则f(x)在区间(1,ye上仅有一个零点.2A,x解：(1)由f(x)="2klnx(k>0),得x>0且f，(x)=x-k=xk.xx由f'(x)=0,解得x=5(负值舍去).f(x)与f'(x)在区间(0,+8)上的情况如下:x(0,#)派h/k,+°°)f'(x

16、)一0十f(x)k1Ink21).所以，f(x)的单调递减区间是(0,#),单调递增区间是(楙，+8).k1lnkf(x)在x=楙处取得极小值f(#)=2.(2)证明：由知，f(x)在区间(0,+8)上的最小值为k1一In因为f(x)存在零点，所以2Tk<0,从而k>e.当k=e时，f(x)在区间(1,m)上单调递减，且f(m)=0,所以*=正是£(*)在区间(1,qe上的唯一零点.当k>e时，f(x)在区间(1,m上单调递减，1ek且f(1)=2>0,f(近)=<0,rkk1lnkf(Vk)=2所以f(x)在区间(1,qe上仅有一个零点.综上可知，若f

17、(x)存在零点，则f(x)在区间(1,、/e上仅有一个零点.6.(2015福建高考)已知函数f(x)=ln求函数f(x)的单调递增区间;(2)证明：当x>1时，f(x)vx1;(3)确定实数k的所有可能取值，使得存在x-12*2xc>1,当xC(1,x°)时，恒有f(x)>k(x-x2+ x+1，xe (0, +8). x解：(1)fz(x)=1-x+1=x由f'(x)>0,得x>0,-x2+x+1>0,解得0vxv1+;52故f(x)的单调递增区间是0,与J5(2)证明：令F(x)=f(x)-(x-1),xC(0,+8),则有F'(x)=±±.x当xC(1,+8)时，F'(x)<0,所以F(x)在1,+8)上单调递减,故当x>1时，F(x)vF(1)=0,即当x>1时，f(x)<x-1.由(2)知，当k=1时，不存在X0>1满足题意.当k>1时，对于x>1,有f(x