上海交通大学版大学物理学习题答案之8机械波习题思考题

1、习题8-1.沿一平面简谐波的波线上，有相距2.0m的两质点A与B,B点振动相位比A点落后一，已知振动周期为2.0s,求波长和波速。6解：根据题意，对于AB两点，21一，x2m6而相位和波长之间又满足这样的关系：21泣：22代入数据，可得：波长入二24m又已知T=2s,所以波速u=X/T=12m/s8-2.已知一平面波沿x轴正向传播，距坐标原点。为x1处P点的振动式为yAcos(t),波速为u,求：(1)平面波的波动式；(2)若波沿x轴负向传播，波动式又如何解：(1)根据题意，距坐标原点。为x1处P点是坐标原点的振动状态传过来的，其。点振动状态传到p点需用tx1,也就是说t时刻p处质点的振动ux

2、状态重复t时刻O处质点的振动状态。换而言之，O处质点的振动状态相当u一.x1于t时刻p处质点的振动状态，则。点的振动方程为：u,X1、，、一ryAcos(t)波动方程为：uyAcos(tX1：)Acos(txuX1)x(2)若波沿x轴负向传播，。处质点的振动状态相当于t时刻p处质点的uX.振动状态，则。点的振动方程为：yAcos(t)u波动方程为：yAcos(tx1-)Acos(t-x1)uuu8-3.平面简谐波在空间传播，如图所示，已知(1)该平面简谐波的表达式;A点的振动规律为yAcos(2t)，试写出:(2)B点的振动表达式(B点位于A点右方d处)。解：(1)仿照上题的思路，根据题意，A

3、点的振动规律为yAcos(2t),它的振动是O点传过来的，所以。点的振动方程为：yAcos2(t-)u那么该平面简谐波的表达式为：yAcos2(t-)uu(2) B点的振动表达式可直接将坐标Xdl,代入波动方程：ldldyAcos2(t-)Acos2(t)uuud也可以根据B点的振动经过d时间传给A点的思路来做。U18-4.已知一沿X正万向传播的平面余弦波，tS时的波形如图所示，且(1)写出。点的振动表达式;(2)写出该波的波动表达式;(3)写出A点的振动表达式;(4)写出A点离。点的距离。周期T为2s.解：由图可知A=,入=,由题知T=2s,3=2兀"=兀，而u=X/T=s。波动方

4、程为：y=兀(t-x/+0m关键在于确定。点的初始相位。(1) 由上式可知:O点的相位也可写成:()=兀 t+ 0由图形可知:1,t 一 S 时 yo=-A/2 3vo<0, .此时的()=2兀/3,将此条件代入，所以:所以03。点的振动表达式y=兀 t+ 兀 /3 m(2)波动方程为：y=兀(t-x/+兀/3(3) A点的振动表达式确定方法与O点相似由上式可知:A点的相位也可写成：(f)=Tlt+A0，此时的()兀/2,1.由图形可知：t-S时yo=0,vo>0,3将此条件代入，所以:A0所以5A06A点的振动表达式y=兀t-5兀/6m(4)将A点的坐标代入波动方程，可得到以：y

5、=兀(t-x/+兀/3=兀t-5兀/6可得至1：xA0.233m30A的振动方程，与(3)结果相同，所8-5.平面简谐波以速度u曲线如图所示。试写出：(1)原点的振动表达式；(2)波动表达式；0.8m/s沿x轴负方向传播。已知原点的振动(3)同一时刻相距1m的两点之间的位相差。解：由图可知A=,原点处的振动方程为：y=Acos(cot+(j)，t=0s时y=A/2v>0可知其相位为()t=1s时y=0v<0可知其相位为42=一代入振动方程，向=33+j=25可得：=T=2兀/3=12/56贝Uy=(5t-一)cm63沿x轴负方向传播波动表达式-5x_55y=0.5cos(t+ux)

6、-=0.5cos56-(t+4x)-acm(3)根据已知的T=12/5, u 0.8m/s,可知:那么同一时刻相距1m的两点之间的位相差:48 m25x2253.27rad248-6.一正弦形式空气波沿直径为14cm的圆柱形管行进，波的平均强度为9.0103J/(sm),频率为300Hz,波速为300m/s。问波中的平均能量密度和最大能量密度各是多少每两个相邻同相面间的波段中含有多少能量解：(1).I=Wu一I-3-5.-3w=x10/300=3x10J-muWnax=2W=X10-4Jm3(2)W=VW1d2W1d2u44=3X10-5X1兀/4x()2x300/300=x10-7J8-7.

7、一弹性波在媒质中传播的速度u103m/s,振幅A1.0104m,频率103Hz。若该媒质的密度为800kg/m3,求：(1)该波的平均能流密度；(2)1分钟内垂直通过面积S4.0104m2的总能量。3解：w=2nt丫=2兀10I1uA221103800(104)2(2103)2(1) 22521.58105J/(m2?s)(2) 1分钟内垂直通过面积S4.0104m2的总能量w=ist1.581054104603.79103J8-8.S1与S2为左、右两个振幅相等相干平面简谐波源，它们的间距为d5/4,S2质点的振动比S1超前/2.设S1的振动方程为2，1一y10Acos-t,且媒质无吸收，(

8、1)写出Si与S2之间的合成波动方程；(2)分别写出S与S2左、右侧的合成波动方程。解：(1)y1Acos(t10-r1)y2Acos(t20-r2)x,则由题意：()20-()10=-设它们之间的这一点坐标为22、ViAcos(t10x)一，2/52、y2Acost10一一(一x)Acos(t10x)24相当于两列沿相反方向传播的波的叠加，合成为驻波。22,合成波为：yy1y22Acosxcos-t2(2) 在S1左侧的点距离S为x：y1Acos(t10x).2/52、y2Acost10(一x)Acos(t10x)24tx、合成波为：yy1、22Acos2()2在S2右侧的点距离S为x：y1

9、Acos(t10x)y2 Acos t1。22 ,5 、(x )4Acos(t 102-x)两列波正好是完全反相的状态，所以合成之后为0。8-9.设S1与S2为两个相干波源，相距1波长，S1比S2的位相超前一。若42两波在在S1、S2连线方向上的强度相同且不随距离变化，问S1、S2连线上在Si外侧各点的合成波的强度如何又在S2外侧各点的强度如何解：由题意：(f)1- (|)2=2在Si左侧的点:AS i=i, AS2=r22所以 A=A-A2=。在S2左侧的点:2r1AS 1=r 1AS2=21/4114=211/4所以 A=A+A2=2AI=4I。;8-10.测定气体中声速的孔脱(Kundt

10、)法如下：一细棒的中部夹住，一端有盘D伸入玻璃管，如图所示。管中撒有软木屑，管的另一端有活塞P,使棒纵向振动，移动活塞位置直至软木屑形成波节和波腹图案。若已知棒中纵波的频率,量度相邻波节间的平均距离d,可求得管内气体中的声速u。试证：u2d。玻酒管.7汕/卜产D1I证明：根据驻波的定义，相邻两波节(腹)间距：x一,再根据已知条件：2量度相邻波节间的平均距离d,所以：d那么：2d2所以波速u2d8-11.图中所示为声音干涉仪，用以演示声波的干涉。S为声源，D为声音探测器，如耳或话筒。路径SBD的长度可以变化，但路径SAD是固定的。干涉仪内有空气，且知声音强度在B的第一位置时为极小值100单位，而

11、渐增至B距第一位置为1.65cm的第二位置时，有极大值900单位。求：(1)声源发出的声波频率;(2)抵达探测器的两波的振幅之比。解：根据驻波的定义，相邻两波节(腹)间距:相邻波节与波腹的间距：x可得：4x6.6cm4声音的速度在空气中约为340m/s,所以：u一34025151(hz)。6.610根据强度是振幅的平方的关系：声音强度在B的第一位置时为极小值100单位，在第二位置有极大值900单位，所以振幅的相对大小为10与30单位。极小值的原因是两个振幅相减(Ai-A2=10),极大值的原因是两个振幅相加(Ai+Az=30)。那么A:A2=2:1。8-12.绳索上的波以波速V25m/s传播，

12、若绳的两端固定，相距2m,在绳上形成驻波，且除端点外其间有3个波节。设驻波振幅为0.1m,t0时绳上各点均经过平衡位置。试写出：(1)驻波的表示式；(2)形成该驻波的两列反向进行的行波表示式。解：根据驻波的定义，相邻两波节(腹)间距：x金，如果绳的两端固定，那么两个端点上都是波节，根据题意除端点外其间还有3个波节，可见两端点之间有四个半波长的距离，x42,所以波长1m,V25m/s,所以2u50(hz)。又已知驻波振幅为0.1m,t0时绳上各点均经过平衡位置，说明它们的初始相位为一，关于时间部分的余旋函数应为2cos（50t一）。2所以驻波方程为：y0.1cos2xcos(50t)2x-,（2

13、）由合成波的形式为：yyiy22Acoscos2t可推出合成该驻波的两列波的波动方程为：y10.05cos(50t2x)y20.05cos(50t2x)28-13.弦线上的驻波波动万程为：yAcos(X)cost,设弦线的2质量线密度为.(1)分别指出振动势能和动能总是为零的各点位置。(2)分别计算0半个波段内的振动势能、动能和总能量。22_斛：(1)振动势能和动能总是为夺的各点位置是cos(x)0的地方。22,，、即：x(2k1)一22k可得：x(k=0,1,2,3)2(2)振动势能写成:dWp2 k(dy)21 22222.一dVAcos(x)cost2 20半个波段内的振动势能:12Wp

14、02 1k(dy)22 dxA2 2 cos2 (- x o一)cos2 t 2222 A一A cos t 8121222.22 XdWk dmv dVA cos (x - )sin (t 222u0半个波段内的振动动能:2o2 2(dmv2)02 1 dxA2 2 sin2 (- x)sin2 t 22 22A2 2 sin2t8所以动能和势能之和为:WWk WpA2 228-14.试计算：一波源振动的频率为2040Hz,以速度Vs向墙壁接近（如图所示），观察者在A点听得拍音的频率oO一京;为3Hz,求波源移动的速度vs,设声速为340m/s。解：根据观察者不动，波源运动，即：uS0,uR0

15、,观察者认为接受到的u波数变了：0uUs其中u=340,2043,02040。分别代入，可得：uS0.5m/s8-15.光在水中的速率为2.25108m/s（约等于真空中光速的3/4）.在水中有一束来自加速器的运动电子发出辐射称切连科夫（Cherenkov）辐射，其波前形成顶角116的马赫锥，求电子的速率.解:ocUsin2Vs2.65 108 m.su2.25108Vs民.116sinsin2思考题8-1.下图（a）表示沿x轴正向传播的平面简谐波在t0时刻的波形图，则图（b）表示的是：（a）质点m的振动曲线（b）质点n的振动曲线（c）质点p的振动曲线（d）质点q的振动曲线答：图（b）在t=0时刻的相位为所以对应的是质点n的振动曲线，选择bo8-2.从能量的角度讨论振动和波动的联系和区别。答：（1）在波动的传播过程中，任意时刻的动能和势能不仅大小相等而且相位相同，同时达到最大，同时等于零。而振动中动能的增加必然以势能的减小为代价，两者之和为恒