上海市2016届高三数学(理)优题精练：立体几何含答案分析

1、绕y轴旋转一周用成的儿 何体为 Q ,过（0, y ）（|y31伊Q4 ny +8n，试利用祖咂原理、 一个平放的圆柱和一个长方体，y A0 1 J2 3-的水平截面，所得截回面积为得出Q的体积值为4、（静安、青浦、宝山区2015届高模）已知扇形的圆心角是的弧长为cm.5、（闵行区2015届高三二模） 如图，已知直线l_L平面仪，垂足为 O,在 ABC 中，BC =2,AC =2, AB = 2我,点P是边AC上的动点.该三角形在空间按以下条件作自由移动：（1） A w l , （2） C w 支.则 OP PB 的最大值为(A) 2.(B) 2,2.(C) 15 .(D) .10.6、（浦东

2、新区2015届高三二模）已知球的表面积为64 二2cm ,用一个平面截球，使截面圆的半径为2cm,则截面与球心的距离是cm.上海市2016届高三数学理优题精练立体几何一、填空、选择题1、（2015年上海高考）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2兀，则其母线与轴的夹角的大小为3一2、（2014年上海高考）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面夹角的大小为172倍,7、（普陀区2015届高三二模）一个圆锥与一个球的体积相等且圆锥的底面半径是球半径的若圆锥的高为1,则球的表面积为8、（徐汇、松江、金山区2015届高三二模）如图所示：在直三棱柱ABC-ABCi中，AB_LBC,AB=BC=BB

3、，则平面ABC与平面ABC所成的二面角的大小为9、（长宁、嘉定区2015届高三二模）在四棱锥V-ABCD中，B,Di分别为侧棱VB,VD的中点，则四面体ABCD1的体积与四棱锥VABCD的体积之比为（）A.1:6B,1:5C,1:4D,1:310、（奉贤区2015届高三上期末）如图，在矩形ABCD中，E为边AD的中点，AB=1,BC=2,分别以A、D为圆心，1为半径作圆弧EB、EC（E在线段AD上）.由两圆弧EB、EC及边BC所围成的平面图形绕直线AD旋转一周，则所形成的几何体的体积为DC命If七之II11、（黄浦区2015届高三上期末）已知某圆锥体的底面半径r=3,沿圆锥体的母线把侧面展开后

4、得到一个圆心角为2n的扇形，则该圆锥体的表面积是312、（金山区2015届高三上期末）如图所示，在长方体ABCD-EFGH中，AD=2,AB=AE=1,M为矩形AEHD内的一点，如果/MGF=/MGH,MG和平面EFG所成角的正切值为1,那么点M到2平面EFGH的距离是13、（浦东区2015届高三上期末）如图，已知PA_L平面ABC,AC1AB,AP=BC,NCBA=30*D、E分别是BC、AP的中点.则异面直线AC与DE所成角的大小为么异面直线BE与PA所成的角的余弦值等于ZD VAB二、解答题1、（2015年上海高考）如图，在长方体 ABCD - A1B1C1D1中，AB、BC的中点，证明

5、 A1、C1、F、E四点共面，异求直线 CDDiClAE3AA 1=1 , AB=AD=2 , E、F 分另是1rP卸A1C1FE所成的角的大小.PDDC14、（松江区2015届高二上期末）在正四棱柱为60）则BCi与AC所成的角为*JrB15、（宝山区2015届高二上期末）正四棱锥ABCDABC1D1中，BC1与平面ABCD所成的角（结果用反三角函数表示）.P-ABCD的所有棱长均相等，E是PC的中点，那2、（2014年上海高考）底面边长为2的正三棱锥P-ABC ,其表面展开图是三角形RP2P3,如图.求PP2P3的各边长及此三棱锥的体积V.P3.3、（2013年上海高考）如图，在长方体 平

6、行于平面DAiC,并求直线BCi到平面ABCD-A iBiCiDi 中, DiAC的距离.AB=2,AD=i,A iA=i ,证明直线 BCi4、（静安、青浦、宝山区20i5届高三二模）如图，在直三棱柱ABC-AiBiCi中，已知AA=BC=AB=2,ABBC.（i）求四棱锥ABCGBT体积；（2）求二面角BiACCi的大小.5、（闵行区2015届高三二模）如图，已知圆锥的底面半径为r=10，点Q为半圆弧AB的中点,点P为母线SA的中点.若直线TTPQ与SO所成的角为-,求此圆锥的表面积.46、（浦东新区2015届高三二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面正方形ABCD的边长为2,2PA_L

7、底面ABCD,E为BC的中点，PC与平面PAD所成的角为arctan.2（1）求异面直线AE与PD所成角的大小（结果用反三角函数表示）；（2）求点B到平面PCD的距离.7、（徐汇、松江、金山区2015届高三二模）如图，在RtAOB中，NOAB=,斜边AB=4,D6是AB的中点.现将RtAAOB以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上的一点，且/BOC=-.2（1）求该圆锥的全面积；（2）求异面直线AO与CD所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）8、(长宁、嘉定区2015届高三二模)如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为菱形，PD_L平面ABCD,PD=AD=2,/BAD=6

8、0、E为BC的中点.(1)求证：ED_L平面PAD；(2)求平面PAD与平面PBC所成的锐二面角大小的余弦值.9、(青浦区2015届高三上期末)如图所示，在长方体 ABCD AB1c1D1中，AB=2, BC =2 ,BiCCi =4 , M为棱CCi上一点.(1)若gm =1 ,求异面直线 AiM和GDi所成角的正切值；(2)若 GM =2 ,求证 BM _L平面 ABM .B10、(松江区2015届高三上期末)沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时。如图，某沙

9、漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为 8cm,2细沙全部在上部时，其局度为圆锥图度的(细管长度忽略不计).(1)如果该沙漏每秒钟漏下0.02cm3的沙，则该沙漏的一个沙时为多少秒(精确到1秒)？(2)细沙全部漏入下部后，恰好堆成个一盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，求此锥形沙堆的高度(精确到 0.1cm).11、(徐汇区2015届高三上期末)如图所示，某传动装置由两个陀螺工,丁2组成，陀螺之间没有滑动.每个陀螺都由具有公共轴的圆锥和圆柱两个部分构成，每个圆柱的底面半径和高都是相应圆锥1_.2_底面丰径的一，且丁1,丁2的轴相互垂直，它们相接触的直线与丁2的轴所成角日=arctan.若陀螺丁23

10、3中圆锥的底面半径为r(r0(1)求陀螺T2的体积;(2)当陀螺T2转动一圈时，陀螺T1中圆锥底面圆周上一点P转动到点P,求P与P1之间的距离.12、(上海市八校2015届高三3月联考)如图：将圆柱的侧面沿母线Aa展开，得到一个长为2n，宽为2的矩形。AA|乙(1)求此圆柱的体积;(2)由点A拉一根细绳绕圆柱侧面两周到达A,求绳长的最小值(绳粗忽略不计)。13、(嘉定区2015届高三上期末)如图，在直三棱柱ABC A1BC1中，NBAC=90,AB = AC =AA =2,点E、F分别为棱AC与AB1的中点. 人 A 1(1)求三棱锥 A EFC1的体积;(2)求异面直线 A1C与EF所成角的

11、大小.C1CB14、（静安区2015届高三上期末）如图，长方体ABCDABiCiDi中，AB=AD=2,AA1=4,点P为面ADDiAi的对角线ADi上的动点（不包括端点）.PM_L平面ABCD交AD于点M,MN_LBD于点N.（D设AP=x,将PN长表示为x的函数;（2）当PN最小时，求异面直线PN与AiCi所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）i5、（普陀区20i5届高三上期末）如图，在两块钢板上打孔，用钉帽呈半球形、钉身为圆柱形的挪钉（图D穿在一起，在没有帽的一端锤打出一个帽，使得与钉帽的大小相等，挪合的两块钢板，成为某种钢结构的配件，其截面图如图2.（单位：mm）.（加工中不计损失）

12、.（i）若钉身长度是钉帽高度的2倍，求挪钉的表面积；（2）若每块钢板的厚度为i2mm,求钉身的长度（结果精确到imm）.图2参考答案一、填空、选择题1、解：设圆锥的底面半径为r,高为h,母线长为l,则圆锥的侧面积为：/5出口=夜，故S&d1ci3i22所以，V=-父-Mh=-=h=一，即直线BCi到平面DiAC的距离为一.323334、解：(理科)(1)因为ABBC,三棱柱ABCAB1cl是直三棱柱，所以AB1BCCiB,从而ABi是四棱锥ABCCiB的高.2分1 8四棱锥ABCCN的体积为V=父2父2M2=4分3 3(2)如图(图略)，建立空间直角坐标系.则A(2,0,0),C(0,2,0)

13、,Ai(2,0,2),Bi(0,0,2),Ci(0,2,2),6分设AC的中点为M,丫BM1AC,BM1CC1,二BM，平面ACiC,即BM=(1,1,0)是平面AiCiC的一个法向量.设平面AiBiC的一个法向量是n=(x,y,z),AC=(2,2,2),ABi=(2,0,0)8分nAiBi-2x=0,nAC-2x2y-2z=0,令z=1,解得x=0,y=1.二n=(0,1,1),9分设法向量Fl与而的夹角为邛,二面角BlAQC的大小为8,显然6为锐角.1(In*BMJ1在万/曰、n,COS0=|COS中I=-I=一,斛行0=.|nIBMI23二二面角B1 -AC C1的大小为 12分35、

14、解取0A的中点M,连接PM,又点P为母线SA的中点故 PM =5#，所以 OS =10相，SA=10V6 . 8 分所以S底=冗产=100兀，5侧=nr，SA=nx10x106=1005/6n10分S全=S+S侧=100n+100而兀=100(1+k6)ji.12分6、解：方法1,(1)因为底面ABCD为边长为2的正方形，PA_L底面ABCD,则CD1ADCDPA=CD_L平面PAD,ADQPA=A,所以/CPD就是CP与平面PAD所成的角2分CD72r-在RtACDP中，由tan/CPD=，得PD=242,3分PD2在RtAPAD中，PA=2.分别取AD、PA的中点M、N,联结MC、NC、M

15、N,则/NMC异面直线AE与PD所成角或补角.4分在&VINC中，MN=y2,MC=灰，NC=3,由余弦定(V2+(V5)-32VW理得，cosNMC=j=_r=,2V27510所以2NMC=兀-arccos-,6分10即异面直线AE与PD所成角的大小为arccos10.7分10(2)设点B到平面PCD的距离为h,因为VB_PCD=VP_BCD,9分1111.一一二所以，父一CDPDh=父一BCCDPA,得h=42.14分3232方法2,(1)如图所示，建立空间直角坐标系，同方法1,得PA=2,3分则有关点的坐标分别为A0,0,0,E2,1,0,D(0,2,0),P(0,0,2).5分T,、什

16、，所以AE=(2,1,0),PD=(0,2-2).设8为异面AE与PD所成角，制R2M0+1M2+0黑(-2)、10贝cos6=-i二,J5m4810一,.10即异面直线 AE与PD所成角的大小为arccos 亚10(2)因为 PD =(0,2,-2 ), CD =(2,0,0 ), BC = (0,2,0),设 n = (u ,v,w),n PD =2v-2w =0 u =0则由.=4，n CD =2u =0v = w11分可得n =(0,1,1 ),所以d =咤二214分所以，a=arccos107、解：(1)在RtAOB中，OB=2,即圆锥底面半径为2圆锥的侧面积S侧=nrl=8冗.4故

17、圆锥的全面积 S全=&u+S底=8冗+4n =12n .6(2)解法一：如图建立空间直角坐标系.则 A(0,0,2 v3),C (2,0,0), D(0,1, . 3)AO =(0,0, -2v；3),CD =(-2,1, ,3) 设lAO与C笛再呼日 则 cos=A CDAO CD2 3 2.2.8.10AO与CD所成角为arccos.12.8解法二：过D作DM /AO交BO于M ,连CM-y则ZCDM为异面直线 AO与CD所成角Q AO _L平面 OBC 二 D M _L 平面 O B Cj. DM 1 MC在 RtAAOB 中，AO =273DM =73Q D是AB的中点 二M是OB的中

18、点二OM =1二CM =J5在 RtACDM 中，tan/CDM 里=变, 33.1015 .-.ZCDM =arctan,即异面直线 AO与CD所成角的大小为 38、（1）连结BD,由已知得 ABD与 BCD都是正三角形,所以，BD =2 , DE _L BC ,因为AD / BC ,所以DE J_ AD , 又 PD _L 平面 ABCD，所以 PD _L DE ,（1分）（2分）（4分）因为AD n PD = D，所以DE I平面PAD .（6分）（2）以D为原点，DA , DE , DP所在直线 分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.由（1）知平面PAD的一个法向量为 冗=（0,1

19、,0）,.12arctan3CAB又b（i,V3,0）, c（-1,73,0）, p（0,0,2）, e（0,V3,0）,所以 CB =（2,0,0）, PE=（0,、：3, 2）,设平面PBC的一个法向量为n2 = （x, y, z）,（2分）n2 PE = 0,取y = 2,则z =贝U cos?=A n2x = 0,3y -2z = 0 ,n2=（0,2177（7分）P（4分）_ADC（8分）E y Bx所以，平面PAD与平面PBC所成的锐二面角大小的余弦值为2.77（2）解法二（图略）在平面PAD上，过P作PF / DA且PF = DA ,连结BF ,则四边形PCBF是平行四边形，即直

20、线PF是平面PAD与平面PBC的交线.（2分）因为 BC _L DE , BC _L PD ,所以 BC _L 平面 PDE，故 BC _L PE , 所以PE _L PF ,又PD _L PF ,所以 ZDPE就是平面 PAD与平面PBC所成二面角的平面角.在 Rt PDE 中,cos DPE = PD PE5分）DE=U3, PE=JPD2+DE2. 2 .2777（7分）6分）（8分）=、/52、7所以，平面PAD与平面PBC所成的锐二面角大小的余弦值为2-779、解：（1）由题意，C1M=1,B1G=BC=2,B1c1_LC1M,得B1MlAB/GDi,所以异面直线 A1M和CiD所成

21、角即为A1M和AB所成角长方体 ABCD A1B1C1D1 中，AB _L BG , AB _L BB ,AB，面 B1 BCCi ,-r A1B1 _LBM ,故可得 ZBiAiM 为锐角且 tan/BAM =BiA2(2)由题意，BC=B1G=2, C1M =2, CG=4. CM=2；BB； =BM 2+BM2 , j./BMBi =90，即 BM _LBM 8分又由 AB，面 B1BCC1 可得 A1B1 _LBM 10 分故 BM _L平面 AiBiM . 12 分102、解（1）开始时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高2-16 ,2 . 8为H =一乂8 =一,底面半径为 r =一父4

22、=一3333、，12.18 16V =-nr2H =-Ttx I X =39.71 5 分3333V+0.02=1986（秒）所以，沙全部漏入下部约需1986秒。 7分（2）细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径4,9分1 o . 1024V =n m42 MH =冗12 分381H2.37 ： 2.427锥形沙堆的高度约为 2.4cm. 14分22.r 2.311、解：（1）设陀螺T2圆锥的图为h ,则一=一，即卜=一2h 32.2r得陀螺T2圆柱的底面半径和高为一3.3立=二叮33 3 27.5、，1-21313V椎=一兀rl_r=-r322293Vt2=V柱V椎二一r.7.854（2）设陀螺工圆锥底面圆心为O,则PP=2nr,.10/曰PR得.POP1=1OP2二r3r2.12在APOR中，PR=,3OP=班2.1412、（1）设圆柱的底面半径为r,高为h,则2n=2n,h=2,即r=1,h=2（2）设AA中点为B,侧面展开图矩形为ACGA，CG中点为B。则绳长的最小值即为AiAC1RB1C侧面展开图中的AR+BC1OAB1=BC1=J4M+1。10分所以绳长的最小值为2,4n2+1。12分一、，11123、（1）VA1_efc1=VE3FC1