2019届辽宁实验中学高三模拟考试数学（文）试题（解析版）

1、2019届高三模拟考试数学文科试卷一.选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若集合，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出集合后可得.【详解】因为集合，则，选C【点睛】本题考查集合的交，注意集合意义的理解，如表示函数的定义域，而表示函数的值域，表示函数的图像.2.已知复数（其中为虚数单位），则的值为（ ）A. 1B. C. 2D. 【答案】D【解析】【分析】解法一:对进行化简,然后计算.解法二:利用复数模的性质,若,则【详解】解法一:解法二: 【点睛】本题考查复数模的求法,复数模的性质,属于简单题.3.已知向量，

2、且，则实数（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出向量 的坐标，由 得 ，代入坐标求出k的值【详解】 由 得， 故选A.【点睛】本题考查了平面向量的数量积的坐标运算，向量垂直的坐标表示，是基础题4.如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由茎叶图求出甲的平均成绩，设被污损为x，由题意列不等式求出x的取值范围，再计算所求的概率值【详解】解：由茎叶图知甲平均成绩为×（88+89+90+91+92）90，甲的平均成绩不超过乙的平均成绩，

3、设被污损为x，则乙的平均成绩为×（83+83+87+99+90+x）90，解得x8，甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为P故答案为C【点睛】本题考查了茎叶图、平均数、古典概型的概率计算应用问题5.已知点在幂函数的图象上，设，则的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求出幂函数的解析式，先比较、三个数的大小，再根据幂函数的单调性，比较的大小.【详解】由已知得：，解得：，所以，因为，又，所以由在上递增，可得：，所以.【点睛】本题在比较、三个数的大小时，引入中间变量1，这是比较大小的常用方法.6.已知为角终边上一点，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】

4、B【解析】【分析】由可得，借助三角函数定义可得m值与.【详解】，解得又为角终边上一点，故选B【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和正切公式，属于基础题7.过点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为（ ）A. B. 1C. D. 【答案】A【解析】【分析】由倾斜角求得直线斜率，由点斜式表示直线方程并整理为一般式，求得圆心到直线的弦心距，由勾股定理构建方程，解得答案.【详解】由题可知，直线的倾斜角为，则斜率，且过点，所以直线的方程为，即则圆心到直线的弦心距为所以由勾股定理故选：A【点睛】本题考查求直线与圆相交时的弦长，属于简单题.8.设双曲线（，）的左焦点为F，离心率是，M是双曲线渐近线上

5、的点，且（O为原点），若，则双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求得双曲线的一条渐近线方程为，运用点到直线的距离公式，结合勾股定理和离心率公式、三角形的面积公式，化简整理解方程可得a，b，即可得到答案.【详解】设，双曲线C一条渐近线方程为可得，即有，由，又因为，且解得，则双曲线的标准方程为故选：D【点睛】本题考查由双曲线的简单几何性质求标准方程，属于中档题.9.中国古代数学著作孙子算经中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如现将该问题以程序框图的

6、算法给出，执行该程序框图，则输出的等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】从21开始，输出的数是除以3余2，除以5余3，满足条件的是23，故选C.10.在中，角A，B，C所对的边分别为 ( )A. 1B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将 结合正弦定理化简，求得B，再由余弦定理即可求得b【详解】因为 ，展开得 ，由正弦定理化简得 ，整理得 即，而三角形中0<B<，所以由余弦定理可得 ，代入解得所以选C【点睛】本题考查了三角函数式的化简，正弦定理与余弦定理的应用，属于基础题11.已知正四面体的中心与球心O重合，正四面体的棱长为，球的半径为,则正四面体表面与球面的交

7、线的总长度为A B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先考查一个面的交线长度，然后求解所有交线的长度即可.【详解】考查正四面体的一个平面与球相交的截面如图所示，由题意结合几何关系可知：，球心到截面的距离：，则，据此可得截面对应的弧长为：，则四面体的一个面截球面的弧长为：，则正四面体表面与球面的交线的总长度为.故选A.【点睛】本题主要考查正四面体的外接球，四面体与球的几何关系，空间想象能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.已知不等式（，且）对任意实数恒成立，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】构造函数，对函数求导得到函数的最小值，得到变形

8、得到，再构造函数，得到函数最小值即可.【详解】构造函数， 当时函数单调递增，无最大值；当时，函数在 函数最小值为 令 函数 故得到 故答案为B【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，也考查了利用导数研究函数的单调性与求最值问题，考查了构造函数与转化思想，是综合题二.填空题（本大题共4小题，满分20分）13.若实数x，y满足，且，则的最小值是_【答案】2【解析】【分析】先根据对数的运算性质可得，再根据基本不等式即可求得答案.【详解】因为实数x，y满足，且，则则，当且仅当，即时取等号故最小值是2故答案为：2【点睛】本题考查由基本不等式求和的最小值，还考查了对数的运算性质，属于简单题.14.函数的单调递

9、减区间为_【答案】【解析】【详解】试题分析：，令，则，正弦函数在上单调递增，由得：函数在的单调递增区间为考点：正弦函数的单调性15.设x，y满足约束条件 ，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，由数形结合进行求解即可【详解】作出不等式组对应的平面区域如图所示：则的几何意义是区域内的点到定点P（6，4）的斜率，由得x1，y1，即A（1，1），则AP的斜率k 1，由得x5，y7，即B（5，7），则BP的斜率k3，则的取值范围是3，1故答案为3，1【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义是解决本题的关键，属于中档题.16.一个封

10、闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半.若将该正方体任意旋转，则容器里水面的最大高度为_【答案】【解析】【分析】根据水的体积为容器体积的一半可知液面高度为物体新位置高度的一半.【详解】正方体的体对角线长为，故当正方体旋转的新位置的最大高度为，又因为水的体积是正方体体积的一半所以容器里水面的最大高度为对角线的一半，即最大液面高度为【点睛】本题考查正方体旋转时液面高度的变化，属于中档题.三.解答题（本大题共7小题，满分70分）17.已知数列的前项和为，且（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求的最小值及取得最小值时的值【答案】（1）；（2）【解析】【分

11、析】（1）由条件中的与的关系，通过得到与的递推关系，求出求出的通项.（2）把（1）中的通项代入，得到，求出，再求其最小值和最小值时的值.【详解】（1）当时，解得，当时，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以；（2），所以为等差数列，所以，所以当时，有最小值：.【点睛】本题主要考查数列通项的求法，以及等差数列的求和及其性质，属于中档题.18.某手机商家为了更好地制定手机销售策略，随机对顾客进行了一次更换手机时间间隔的调查.从更换手机的时间间隔不少于3个月且不超过24个月的顾客中选取350名作为调查对象，其中男性顾客和女性顾客的比为，商家认为一年以内（含一年）更换手机为频繁更换手机，否则视为

12、未频繁更换手机.现按照性别采用分层抽样的方法从中抽取105人，并按性别分为两组，得到如下表所示的频数分布表：事件间隔（月）男性x89181284女性y25131172（1）计算表格中x，y的值；（2）若以频率作为概率，从已抽取的105名且更换手机时间间隔为3至6个月（含3个月和6个月）的顾客中，随机抽取2人，求这2人均为男性的概率；（3）请根据频率分布表填写列联表，并判断是否有以上的把握认为“频繁更换手机与性别有关”.频繁更换手机未频繁更换手机合计男性顾客女性顾客合计附表及公式：P（）0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828【答案】（1），（2）（3）

13、填表见解析；没有以上的把握认为“频繁更换手机与性别有关”【解析】【分析】（1）由抽样总数乘以男性与女性分别的比例，得到分别样本的总数，再由分层抽样的比例构建方程求得各自应抽取的样本数，进而在表中分别减去其他各组的数据，求得x与y；（2）由（1）可知更换手机时间间隔为3至6个月（含3个月和6个月）的顾客中男性与女性的人数，分别设男性分别为a，b，c，d，女性分别为e，f，写出从中抽取两人的所有基本事件，得到总数，再选取均为男性的基本事件，得到此类数量，由古典概型概率计算得答案；（3）由题意完成列联表，由公式计算的观测值，并与6.635比较大小，即可说明.【详解】（1）由题知男性顾客共有人，女性顾

14、客共有人，按分层抽样抽取105人，则应该抽取男性顾客人，女性顾客人；所以，；（2）记“随机从已抽取的105名且更换手机时间间隔为3至6个月（含3个月和6个月）的顾客中，抽取2人”为事件A，设男性分别为a，b，c，d，女性分别为e，f，则事件A共包含，15个可能结果，其中2人均男性有，6种可能结果，所以2人均是男性的概率为；（3）由频率分布表可知，在抽取的105人中，男性顾客中频繁更换手机的有21人，女性顾客中频繁更换手机的有9人，据此可得列联表：频繁更换手机未频繁更换手机合计男性顾客214263女性顾客93342合计3075105所以；因为所以没有以上的把握认为“频繁更换手机与性别有关”.【点

15、睛】本题考查案例统计的综合问题，涉及分层抽样求各层数据，古典概型求概率，还考查了独立性检验分析相关性，属于较难题.19.在如图所示的几何体中，已知，平面ABC，若M是BC的中点，且，平面PAB求线段PQ的长度；求三棱锥的体积V【答案】（1）2；（2）2.【解析】【分析】取AB的中点N，连接MN，PN，推导出四边形PQMN为平行四边形，由此能求出线段PQ的长度取AC的中点H，连接QH，推导出四边形PQHA为平行四边形，由此能求出三棱锥的体积【详解】解：取AB的中点N，连接MN，PN，且，、Q、M、N确定平面，平面PAB，且平面平面，又平面，四边形PQMN为平行四边形，解：取AC的中点H，连接QH

16、，且PQ=AH=2，四边形PQHA为平行四边形，平面ABC，平面ABC，三棱锥的体积：【点睛】本题考查线段长的求法，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题20.设椭圆的左焦点为，下顶点为，上顶点为，是等边三角形.（）求椭圆的离心率；（）设直线，过点且斜率为的直线与椭圆交于点异于点，线段的垂直平分线与直线交于点，与直线交于点，若.()求的值；()已知点，点在椭圆上，若四边形为平行四边形，求椭圆的方程.【答案】(I)；(II)()1，（ii）【解析】【分析】（）根据几何条件得，再求离心率，（）() 设直线方程，解得A,

17、C坐标，即得Q坐标，根据直线交点得P点坐标，根据弦长公式得 ，代入条件解得的值；()先用b表示A,C坐标，根据平行四边形得N坐标，代入椭圆方程得结果.【详解】(I) 由题意可知， . （II）() 设椭圆方程为,联立得解得： 因为为中点， ， 因为所在的直线方程为 令 解得=，解得或(舍) 直线的斜率为1. （ii）,设四边形为平行四边形，, 即 , 又点在椭圆上， 解得，该椭圆方程为：【点睛】本题考查椭圆离心率、椭圆方程以及直线与椭圆位置关系，考查综合分析与求解能力，属中档题.21.已知函数，（1）若，求的取值范围；（2）若的图像与相切，求的值【答案】（1）；（2）1【解析】【分析】（1）由

18、题意可得，设，求得导数和单调性、极值和最值，即可得到所求范围；（2）设的图象与相切于点，求得的导数，可得切线的斜率和切点满足曲线方程，解方程即可得到所求值【详解】（1）由得. ，从而，即设. ，则，（）所以时，单调递增；时，单调递减，所以当时， 取得最大值，故的取值范围是（2）设的图像与相切于点，依题意可得因为，所以消去可得令，则，显然在上单调递减，且，所以时，单调递增；时，单调递减，所以当且仅当时故【点睛】本题主要考查导数的几何意义即函数在某点处的导数即为在改点处切线的斜率，导数与函数单调性、极值和最值的关系，由，得函数单调递增，得函数单调递减，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题考生在第22、23两题中任选一题作答，注意：只能做所选定的题目、如果多做，则按所做的第一个题目计分.22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，圆C的标准方程为以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系求直线l和圆