电工与电子技术第三章-正弦交流电电路

1、1电工与电子技术曹现刚西安科技大学机械工程学院 2004.9第三章 正弦交流电电路当电路中的当电路中的激励激励(电源电源)为正弦量时，电路中为正弦量时，电路中各部分的各部分的响应响应(电压或电流电压或电流)也为正弦量，也为正弦量， 这这样的电路就是正弦电路。样的电路就是正弦电路。交流发电机所产生的电动势和正弦信号发生交流发电机所产生的电动势和正弦信号发生器所输出号电压都是器所输出号电压都是随时间按正弦规律变化随时间按正弦规律变化的。因此，正弦电路是电工学中很重要的部的。因此，正弦电路是电工学中很重要的部分。分。本章即讨论有关正弦电路的一些本章即讨论有关正弦电路的一些基本概念基本概念、基本理论基

2、本理论和和基本分析方法基本分析方法。3-1 正弦电压与电流 前两章所讨论的都是直流电路，其中的电流和电压的大小和方向都是不随时间变化的。0I, Ut正弦电压和电流都正弦电压和电流都是按正弦规律周期是按正弦规律周期性随时间变化的，性随时间变化的，其波形图可用正弦其波形图可用正弦曲线来表示：曲线来表示：0i, ut+_正弦电压与电流 图中：“+”表示电流(或电压)为正值，称为正半周，电流(或电压)的实际方向与参考方向一致 ；“”表示电流(或电压)为负值，成称为负半周，实际方向与参考方向相反。0i, ut+_uiR正半周正半周uiR负半周负半周 正弦电压和正弦电流等物理量，统称为正弦量。正弦量的特征

3、表现在变化的快慢、大小及初值三个方面，它们分别由频率(或周期)、幅值(或有效值)和初相位来确定。Tf1 正弦电压与电流正弦电压与电流所以称频率、幅值和初相位为正弦量的三要素。所以称频率、幅值和初相位为正弦量的三要素。一一. 频率与周期频率与周期正弦量变化一次所需的时间正弦量变化一次所需的时间(秒秒)称为周期称为周期T。每。每秒钟时间内变化的次数称为频率秒钟时间内变化的次数称为频率 f 。频率是周期的倒数，即频率是周期的倒数，即工程中常用的一些频率范围：工程中常用的一些频率范围： 我国电力的标准频率为我国电力的标准频率为50Hz；国际上多采用此标准，但美、日等国采用标准为60Hz。fT 22正弦

4、电压与电流正弦电压与电流中频电炉的工作频率为5008000Hz；高频电炉的工作频率为200300kHz；无线电工程的频率为104301010Hz。低频电子工程的频率为2020103Hz。正弦量变化快慢的衡量有时还用正弦量变化快慢的衡量有时还用角频率角频率 来描述。来描述。它与频率和周期的关系为它与频率和周期的关系为有效值有效值是从电流的热效应来规定的：在同一周期时间内，正弦交流电流 i 和直流电流 I 对同一电阻具有相同的热效应，就用 I 表示 i 的有效值。有效值。二. 幅值与有效值正弦电压与电流正弦电压与电流正弦量在任一瞬间的值称为瞬时值瞬时值，用小写字母表示，如e、i、u分别表示电动势、

5、电流和电压的瞬时值。瞬时值中最大的值称为幅值幅值或最大值，如Em、Im、Um分别表示电动势、电流和电压的幅值。正弦交流电流正弦交流电流的数学表达式为：i =Imsint说明说明或或计量计量正弦交流电时一般不用幅值或瞬时值，而有效值。如民用电的220V和工业用电的380V。可见，可见，有效值有效值与幅值的数学关系为方均根方均根。TRdtiA02即即对于R，在一个周期内，正弦 交流电流 i 所作的功为正弦电压与电流正弦电压与电流同样，同样，对于同一R，在一个周期时间T内，直流电流 I 所作的功为RTIA2应该有应该有RTIRdtiAT202代入代入 i = Im sin t，并解出，并解出I ，得

6、，得21102202mTmTItdtITdtiTI sin正弦电压与电流正弦电压与电流 同理，对于正弦交流电压2mEE 2mU tUum sin其有效值其有效值(方均根方均根) TdtuTU021正弦电动势正弦电动势 e 的有效值的有效值(方均根方均根)为为例 题例 题 已知 u= Um sin t , Um =310V, f =50Hz，试求有效值试求有效值U 和和 t =0.1s 时的瞬时值。时的瞬时值。解解22023102 mUUV010100310210 sinsin).(ftUum三三. 相位及初相位相位及初相位 正弦量是随时间变化的，选取不同的计时零点，正弦量的初始值就不同。为加以

7、区分引入相位及初相位的物理量。正弦电压与电流正弦电压与电流)sin( tIim0it+_ 正弦电流的一般表达式为其中( t+ )为正弦电流的相位相位， 称为初相位。初相位。两个同频率正弦量的两个同频率正弦量的相位比较：相位比较：)sin(1 tUum对于对于)sin(2 tIim定义定义 =( 1 2)为相位差或初相差。为相位差或初相差。正弦交流电的广泛应用，是因为其电力的产生、传正弦交流电的广泛应用，是因为其电力的产生、传输和变换既方便快捷又灵活简单，不仅电阻电路中输和变换既方便快捷又灵活简单，不仅电阻电路中的响应为正弦量，也在电感及电容电路中为正弦量的响应为正弦量，也在电感及电容电路中为正

8、弦量响应。响应。正弦电压与电流正弦电压与电流当 =( 1 2) 0 时，称时，称 u 比比 i 越前越前 角；角；)sin(1tUum对于对于)sin(2 tIim当 =( 1 2) 0 时，称时，称 u 比比 i 滞后滞后 角；角；当 =( 1 2) = 0 时，称时，称 u 与与 i 同相同相。当 =( 1 2) = 180 时，称时，称 u 与与 i 反相反相(相位相相位相反反)，或相差，或相差1803-2. 正弦量的相量表示法正弦量的相量表示法 正弦量具有幅值、频率及初相位三个基本特征量，表示一个正弦量就要将这三三要素要素表示出来。 表示一个正弦量可以多种方式，这也正是分析和计算交流电

9、路的工具。三角函数表示法：)sin( tUum0ut+_正弦波形图示法: (见右图) 相量表示法。相量表示法。相量表示法相量表示法 用相量表示正弦量，其基础是用复数表示正弦量。用相量表示正弦量，其基础是用复数表示正弦量。在复数平面复数平面建立直角坐标系OX为实轴、OY为虚轴。设在复平面复平面上一复数A(a,b).在直角坐标系上可表示为.jyx0AabA = a + jb用极坐标系则表示为.A = r / 变换关系为：22bar abarctg 或： cosra sinrb代入后，可得代入后，可得jyx0Aab A=r (cos + j sin )考虑欧拉公式：考虑欧拉公式：2 jjeecosj

10、eejj2 sin可改写为：A = r e j 也可简记为：A = r 由此可得到复数的三种表示法，即直直 角坐标式角坐标式、指数式指数式及极坐标式极坐标式，三者可以互换。其中直角坐标式直角坐标式便于进行加减加减运算、指数式指数式及 极坐标式极坐标式便于进行乘除乘除运算。现令有向线段现令有向线段OA绕原点绕原点O以角速度以角速度作逆时针旋作逆时针旋转，可得转，可得A点在纵轴上的投影坐标为点在纵轴上的投影坐标为 y = |OA| sin ( t+ )jyx0A 比较正弦电压 u = Um sin ( t+ ) yA点的轨迹点的轨迹在复平面上的位置用复数可表示为：A= r cos( t+ )+j

11、sin( t+ ) = r e j( t+ ) = r / t + 可改写为可改写为A= r e j e j t其中其中A= r e j 相当于初始值。相当于初始值。与前面讨论的复数表示法一致。与前面讨论的复数表示法一致。通过上面讨论可知通过上面讨论可知复数量jyx0A动点A(复数)坐标的为A(t)=r cos ( t+ ) + j r sin( t+ ) = r e j( t+ ) = r / t+ u = Um sin( t+ )正弦量至此，定义用复平面上的至此，定义用复平面上的静止静止量量(复数复数)表示正弦表示正弦量，记为量，记为 jmmeUU jUeU或或(幅值电压幅值电压相量相量)

12、(有效值电压有效值电压相量相量)A= r( cos + j sin )A = r e j 幅值相量与瞬时值之间的关系幅值相量与瞬时值之间的关系 旋转相量：A=r cos ( t+ ) + j r sin( t+ ) = r e j( t+ ) = r t + 相量(复数)：A= r( cos + jsin ) = r e j 交流电瞬时值：u = Um sin( t+ )将相量相量(r e j )乘上一个时间因子(e j t)，得到复数圆的轨迹，对其取虚部虚部的结果就是正弦量的瞬时值正弦量的瞬时值。虚单位虚单位 j 的数学意义和物理意义的数学意义和物理意义 j = e j90 jj = j 2

13、 = e j90 e j90 = e j180= 1 oxjyj1 jj21jj3j41同理jj 314 j及由此，可认为虚单位 j 是复平面上角度为90的旋转因子。乘以 j 是向正方向旋转90；除以 j 是向负方向旋转90。即例例题题 3-3试写出表示uA=220 2 sin314t V,的相量，并画出相量图。解解分别用有效值相量uB=220 2 sin(314t120 ) V,uC=220 2 sin(314t+120 ) V,AUBUCU表示uA、 uB和uC则VUA2200/220VjUB)2321(220120/220VjUC)2321(220120/220它们的相量图为：(右图)1

14、20120AUBUCU例例3-4 对如图电路，设AttIim)45sin(100)sin(111AttIim)30sin(60)sin(222试求总电流 i 。解解i i 1i 2本题可用几种方法求解计算。1. 用三角函数式求解tIItIIttIttItItIiiimmmmmmmmcos)sinsin(sin)coscos() 2sincoscos(sin)sincoscos(sin)sin()sin(2211221122111221121两个同频率正弦量相加仍得到一个正弦量，两个同频率正弦量相加仍得到一个正弦量，设此正弦量为设此正弦量为i i 1i 2tItItIimmmcossinsinc

15、os)sin(则22112211sinsinsincoscoscosmmmmmmIIIIII因此，总电流 i 的幅值为212221122211)sinsin()coscos(mmmmmIIIII总电流 i 的初相位为)coscossinsin(22112211mmmmIIIIarctg212221122211)sinsin()coscos(mmmmmIIIII)coscossinsin(22112211mmmmIIIIarctg由此，代入数据I m1=100A, I m2=60A, 1=45,2= 30则AIm1297 .407 .122)307 .70()527 .70(22220218)5

16、27 .70307 .70(arctgAti)0218sin(129故得2. 用正弦波求解100sin ( t+45 )60sin ( t30 )129sin ( t18.3 )0it2. 用相量图求解304518.33-3. R、L及及C的交流电路的交流电路 在考虑电阻、电感或电容元件时，都将它们看成是理想元件。即只考虑其主要因素而忽略其次要因素。 交流电路与直流电路对电阻、电感或电容的作用结果都不同。 电容对直流电路相当于开路；电感对直流电路相当于短路。 而在交流电路中电容有充放电现象存在，有电流通过电感有自感电动势出现而阻碍电流变化。一一. 电阻与电阻电路电阻与电阻电路 如图，选择电流和

17、电压的参考方向。根据欧姆定律可得RiuRui iRu或即电阻端电压与其电流成正比。若设tIimsin则tUtRIummsinsin显然mmRIU或IRU 如果用相量表示，将有 比较上面，可知交流电路中的电阻，其电流和电压相位相同。这就是相量形式的欧姆定律。也可写成tIimsintUumsinRUImmIRU0/mmII0/ II或0/mmUU或0/UU且mmIRU或Riu.UI或RUI电阻在交流电路中的功率特性(1)瞬时功率： 在任意瞬时，电压瞬时值u与电流瞬时值 i的乘积，称为瞬时功率，用字母p表示。电阻的瞬时功率为电阻的瞬时功率为tIUiuppmmR2sin)2cos1 (2tIUmm)2

18、cos1 (tIU瞬时功率是在一个直流分量UI的基础上，另加一个幅值为UI的正弦量。但总有 p 0。(2)平均功率平均功率：在一个周期内，电路消耗电能的平均速率，即瞬时功率的平均值，称为平均功率。TTdttUITpdtTP00)2cos1 (11交流电路中电阻元件的平均功率为交流电路中电阻元件的平均功率为RURIIU/22例例一100 电阻接入50Hz、有效值为10V的电源上，问电流是多少？若频率改为5000Hz呢？因电阻与频率因电阻与频率无关，所以无关，所以mAARUI1001 .010010二二. 电感与电感电路电感与电感电路 电感元件电感元件 e设一匝线圈，当通过它的磁通发生变化时，线圈

19、中要产生感应电动势。其大小为dtde根据物理学中的法拉第电磁感应定律，线圈中的感应电动势为dtde对于N匝线圈，其感应电动势为但匝线圈的N倍其中：=N 称为磁通链。dtddtdNeiueLiueLL当线圈中有电流 i 通过时， 或 与 i 成正比，即iLNiNiL或L为线圈的电感(或自感)，它是线圈的结构参数。进而：dtdiLeL电感的单位是亨利(H) 物理学中已导出均匀密绕线圈的电感为iueLiueLLlSNL2对于电感电路，应用基尔霍夫定律可列出方程：0Leu或dtdiLeuL自感电动势的方向符合楞茨定律可得ttudtLiudtLi0011电感元件在某一时刻对能量转换量为 即电感元件中的电

20、流增大时，磁场的能量增大；在此过程中电感的能量在增大，即电感从电源取用能量。当电流减小时，磁场能量减小，磁能转换为电能，即电感元件向电源放还能量。20021LiLidiuidttt当设电流为参考相量时，tIimsin则电感端电压为dtdiLu计算得 比较上面，在电感元件电路中，在相位上电压比电流超前90(相位差=+90)。tLIdttIdLummcos)sin()90sin()90sin(tUtLImmiu2t写成相量，有0/.mmII90/.mmUU电感电路相量形式的欧姆定律 前已导出0/.mmII90/.mmUU或其中LIUmmLjLIUmm90/.190/ 190jej由前两式得：其中L

21、Lj和分别称为感抗感抗和复感抗复感抗。其值与频率成正比。电感电路的功率计算 当得到电感元件的电压和电流的变化规律即相互关系后，可知电感元件瞬时功率的变化规律为：)90sin(sinttIUuippmmLtIUttIUmmmm2sin2cossintIU2sin可见，p是以幅值为UI、角频率为2t 变化的交变量。当u 与 i 的瞬时值为同号时，p 0，电感元件取用功率取用功率(为负载)，磁能增加磁能增加；当u 与 i 的瞬时值为同号时，p 0，电感元件发发出功率出功率(相当于电源)，电感元件的磁能减少磁能减少。 电感元件平均功率为：02sin111000TTTtdtUITuidtTpdtTPLX

22、IIUQ2可见，电感元件在电路中没有能量损耗，只与电源间进行能量交换。这种能量交换的规模，用无功功率Q来衡量。电感电路的功率计算即电感元件的平均功率为零。无功功率的单位是乏乏(Var)或千乏乏(kVar)。规定无功功率为瞬时功率规定无功功率为瞬时功率pL的幅值的幅值UI，即，即为加以区别平均功率亦称为有功功率有功功率。例例 一电感交流电路，L=100mH，f=50Hz，(1)已知tisin27A，求电压 ；(1)已知VU30/127.，求电流 ，解u.I并画相量图。(1) 由题知感抗为 X L= L=2 500.1=31.4则由相量形式的欧姆定律知：VILjU90/2200/74 .3190/

23、 1.Vtu)90sin(2220(2) 电流为ALjUI120/490/4 .3130/127.电流为相量图分别为：Ati)120sin(2490/220.U0/ 7.I30/127.U120/ 4.I(1)(2)亦可根据电感元件电流、电压瞬时值关系用解析法计算。(1)中电感元件的瞬时功率为01100TTuidtTpdtTP电感元件的无功功率为)(245735VarUIQL三. 电容元件极其电路 当一线性电容元件与正弦电源联接时，选择 u 及 i 的参考方向如右图：iuC根据电磁学理论，电压变化时，电容器极板上的电荷量也要发生变化，在电路中要引起电流dtduCdtdqi如果电容器加正弦电压tUumsin则tCUdtduCimcos)90sin(tCUm)90sin(tIm 可见，当电容器所加电压为正弦量时，其中通过的电流也为正弦量。 在电容元件的电路中，电流比电压上的相位要越前90( = 90)。由上面讨论可知CUImm或CmmXCIUIU1ui2本课程规定，电压比电流电压比电流的相位差越前时，相位的相位差越前时，相位差差 为正；