李雅普诺夫第二方法

1、74 李雅普诺夫第二方法李雅普诺夫第二方法 为了分析运动的稳定性,李雅普诺夫提出了两种方法: 第一方法第一方法包含许多步骤，包括最终用微分方程的显式解来对稳定性近行分析，是一个间接的方法。 第二方法第二方法不是求解微分方程组，而是通过构造所谓李雅普诺夫函数（标量函数）来直接判断直接判断运动的稳定性，因此又称为直接法直接法。 李雅普诺夫第二方法目前仍是研究非线性、时变系统最有效的方法，是许多系统控制律设计的基本工具。例例: :考虑如下系统关于零解的稳定性：5xx 首先构造一个正定函数：2( ) v xx( )00,( )00 显然，且。v xxv xx现在，我们考虑 沿上述微分方程的解对时间 的

2、导数，有vt221000 vxxxx( )( )v xvv xx由于正定， 负定，这意味着，从而 必将渐近收敛到零。我们得出了这个结论但却并未求解微分方程。例：例：考虑小阻尼线性振动系统：122120.5xxxxx 阻尼比120,0 xx试研究其平衡状态的稳定性。类似于前例，取一个函数，通常称为 函数：v221211 22(,)322v x xxx xx易于验证，这是一个正定函数。而方程2211 22322,0 xx xxCC 当时表示一个椭圆族。1x2x一般说来，微分方程的解不能求得，故 v 的显式不能得到。但却可求出 v 沿微分方程解的导数：221212212121212(62)(24)(

3、)2() vvvxxxxxxxxxxxxx1x2x当x1和x2不同时为零时，即在相平面上，除原点x1=x2=0外，总有dv/dt0),且当C趋向于零时是一闭的、层层相套的、向原点退缩的超曲面族；2)v(x1,xn)沿着解x1=x1(t),xn=xn(t)的时间导数dv/dt= w(x1,xn)也具有一定的符号性质，例如负定或半负定。正定函数正定函数 v(x) = Ci 0 的等值线示意图：的等值线示意图：这是一族闭的、层层相套的、当C趋向于零时向原点退缩的曲线。1234567CCCCCCCC1C2C3C4C5C6C7一、符号函数的定义一、符号函数的定义0,( , ),0( , )(0, )0

4、我们首先考察定义在上的时变量实值函数这里，并假定为单值连续的，且当 =0时，。例如xttx tv x txvt1)0( 0),)0( )(vtxxv xv xxv x（）若 不显含 ,只是 的函数，当时有（且（有非零解0,则称为常正常负）函数。定定7 7- -1 12 2义义2212021( , )(),01v x txxttt就是这样的函数。22121 2( )2v xxxx x是一个常正函数。例例：)0( 0)0)xv xv xxv x 若当0时有（，且（仅有零解 =0,则称（为正定（负定）函数。2212( )v xxx是一个正定函数。例例：02( , )( , )0( 0),v x tt

5、txv x t （ ）若在,上恒有2212021( , )(),01v x txxttt就是一个常正函数。例例：lim( , )0注意到在这个例子中。tv x t常正（负）函数又称为半正（负）定函负数统数号数。称常常正正、常常函函常常函函。( , )(v x t则称为常正 常负）函数。0( )( , )( )( , )xw xttv x tw xv x t 若当存在正定函数，使得对于成立，则称为正定函数；22120222121( , )(1)(),0,1( )v x txxtttw xxx正定，只要取就可看出。例例：负数统称号数正正定定、定定函函定定函函。号号数数统称变号数（3）不不是是常常和

6、和定定函函的的函函函函。12( )v xx x是变：号函数。例例0( , )( )( , )ttv x tw xv x t 若对于，成立，则称为负定函数。 例例： 变号 v(x1, x2) = x1x2x1x2+22120( , )()()0)0tv x taexxatt（是上的。：正定函数例例22120( , )()0tv x texxtt：是上的常正（半正定）函数。例例正定和常正函数的例子：2212221( , )v x txtxtx不具无限小上界，只要取；例例：04( , )( )( , )( )lim( , )0（）称是具无限小上界的，若存在正定函数，使得，即对一致。xv x tw x

7、v x tw xv x tt2212( , )sin而具无限小上界，只要取v x txt x2212( )=w xxx即可。本节讨论方程关于平衡状态 x = 0 的稳定性。( , )(0, )0;Rnxf x tft，二、几个主要定理二、几个主要定理1212, , ( , ) ,TTnnxx xxf x tf ff( )(0)0(739)xf xf，或11( )( )( )( )nniiiiiidxdv xv xv xf xdtxdtx1212( )( )( )( )( )( )( )( )Tnnf xf xv xv xv xv xf xxxxxf x首先，对函数 v(x) 沿方程(7-39)

8、解对时间 t 求导数：v(x,t)正定（负定），且沿方程（7-39）1( , )()( , )( , )0(0)(740)Tniiivvv x tf x ttxvvf x ttx则（7-39）的零解稳定i.s.L。定理定理7-20*（Lyapunov,1892)：( , ),(0, )0739xf x tft（）的始于x、t 的运动的导数注：注：1)这是一个充分条件充分条件；2)若f 从而 v 不显含t，则结论为1( )()( )( )0( 0)nTiiivvv xf xf xxx( ),(0)0 xf xf这 里 ，几何解释几何解释（仅讨论v(x)的情形）：1x2x1x2x 由于v(x)正定

9、， v(x)=C是一个闭的曲面族，层层相套、随 而向原点退缩。又由 半负定知v(x)的值沿着运动轨道只能减小或保持定值而不会增加，这表明系统关于原点（零解）是稳定的。v0C 例例：考虑系统：1221 xxxx22121 12 21 22 1( )(),2220,720,0, 取则（）根据定理系统关于零解李氏稳定。因可知相轨迹必在等值线上。v xxxvx xx xx xx xv事实上，我们有：2222121020( )( )( )( )xtxtxtxt。定理定理7-21* 若v(x)正定（负定），且v(x)沿方程 （7-39）dx/dt=f(x), f(0)=0 解的导数1( )()( )( )

10、0(0)(740)nTiiidv xvvf xf xdtxx则（7-39）的零解渐近稳定。几何解释：几何解释： 由于v(x)正定， v(x)=C是一个闭的曲面族，层层相套、随C 趋向于零而向原点退缩。而dv/dt 负定则说明：在任一点x处，v(x) 的值都是减小的，从而在任一点x 处，运动的轨线都从v(x)=C的外部穿越v(x)=C 走向内部。这表明，limt0 x(t)=0，即原点（零解）是渐近稳定的。1x2x例：例：考虑小阻尼线性振动系统：12212 xxxxx120,0 xx研究其平衡状态的稳定性。2212( ),若取则有v xxx2121 221221222()20 vvvxxx xx

11、xxxxx此时只能用定理7-20判断系统李氏稳定，尽管事实上该系统是渐近稳定的。这说明：a) 能构造出v(x)，满足定理7-21*，从而判定系统渐近稳定；b) 能构造出v(x)，仅满足定理7-20*，只能得出稳定的结论；c) 甚至连满足定理7-20*的v(x)也构造不出来，这时我们对系统稳定与否无法作出任何结论。1) 对一个系统，构造一个合适的 v 函数是十分重要的。若原点是渐近稳定的，但并不预先知道这一点，则可能出现如下三种情况：定理定理7-21* 若v(x)正定（负定），v(x)沿方程（7-39）的导数且沿方程（且沿方程（7-39）的非零解）的非零解 ，dv/dt 不恒为零不恒为零，则（7

12、-39）的零解渐近稳定。v()(0)0(739)，xf xf2）定理7-21*对dv/dt负定的要求可以削弱。我们有：1( )()( )( )0( 0)740 *nTiiivvv xf xf xxx（）定理定理7-22* 若有一个v(x), 满足(1)在原点的某个邻域x 0的区域，这种区域可能包含若干个子区域 uj 。 uj的边界是由v=0和x = 所组成。0,v(2) 在某个子区域，v 沿（7-39）解的导数 则（ 7-39）的零解是不稳定的。v(x)00v0v0v定理定理7-20*定理定理7-21*定理定理7-21*v(x)0 v(x)0渐近稳定渐近稳定不恒为零不恒为零渐近稳定渐近稳定稳定

13、稳定 定理定理7-22*的几何意的几何意义：义：x1x2v0： uj (j=1,2,3)u2u1u30v定理定理7-25 时不变动态方程 的零解是渐近稳定的充分必要条件是对给定的任一个正定对称阵任一个正定对称阵N，都存在唯一的正定对称阵唯一的正定对称阵M，使得AxxT A MMAN（744）三、线性系统二次型三、线性系统二次型 v 函数函数 为什么要研究这个问题？ 在控制律的设计中，通常由于A阵的参数并不确切知道，则定理7-25的充分性条件告诉我们，只要构造一个v函数，其沿方程的导数是负定的，则系统一定渐近稳定。因此，定理7-25以及其构造Lyapunov函数的思想在控制系统控制律设计中具有十

14、分重要的意义。 证明：证明：充分性充分性：若对任给正定对称阵N，都存在唯一的正定对称阵M，使(7-44)成立，要证明系统渐近稳定。为此，构造 Lyapunov 函数：( ) MTv xxx对其沿方程的解微分，有由定理7-21*知零解渐近稳定。()0 A MMANTTTvxxxx必要性：必要性：要证明若dv/dt=Ax渐近稳定，则对任意给定的对称正定阵N，有唯一的正定对称阵M存在，使得(7-44)成立。为此，考虑矩阵微分方程(0)0TXA X+XA,X=N且令(7 - 44)T AMMAN不难验证其解为TteeAAtXN对0000( )(0)()()(Re ( )0,( )0)()()TTdtd

15、tdtdtl XXAXXAAXN=AXXA(0)0XA X+XA,X=NT积分并注意到系统渐近稳定的假设， 有MM；T00()()TTTttTxxxeedtxexex dtAAtAAtMNN()()00 AAtNAM且。又由于 阵均具负实部，故积分有界，必正定。因此方程(7-44)成立。tTexexx00,AAtMXNTtdteedt则易于验证它是正定对称阵。首先，其次，注意到令M阵的唯一性：阵的唯一性：为此将方程（7-44）写成1122 A MM ANA MM ANTT两式相减得1212()()0AMMMMAT1212)(0AAA(MMMM)ATtTtee因此，12)0AA(MMTttdee

16、dt12)AA(MMCTtteet012 MMCt12lim)0AA(MMTtttee120CMM 。证完完。又定 理定 理 5 - 1 3 设 A 、 F 和 G C 分 别 是 矩阵，则方程 ,nn rr rn有 阵P唯一存在的充要条件为F与A无相同的特征值。 rn(:)(533)r nr rr qq nPAFPGCWM阵唯一性的简单证明方法：阵唯一性的简单证明方法：考虑定理5-13: 对(5-33)进行转置并令r=n, FT= A, CTGT= N, P=M（注意M已是对称的）, 有(7-44)A PP FC GA PP FNA MMAN TTTTTTTTT这里，用到了M为对称正定阵的假

17、设。于是，M唯一存在的充要条件是A与AT无相同的特征值。由于A渐近稳定，所有的根均具负实部，上述条件显然成立，即：()( ),()( )0,AAAATTijiji ji j llll证证完。完。几点说明：几点说明：1. 矩阵方程（744）给出了构造这个二次型v函数的具体途径，在指定正定对称的N阵后可求解（7-44）所定义的(1/2)n(n+1)个未知量的代数方程组。定理的结论表明A若是渐近稳定时，这个代数方程组有唯一解存在;2. 在求解（744）时比较简单的是取N为单位阵;3. 当A中含有未确定参数时，可以先指定一个N阵，而后解（744）所确定的代数方程组，从而得到M阵，用Sylvester

18、定理写出M阵正定的条件，这样就可得到系统稳定时，A中的待定参数应满足的条件。应当指出，这些待定参数应满足的应当指出，这些待定参数应满足的条件是和条件是和N阵的选择无关的阵的选择无关的。4. 需要引起注意的是，定理7-25并不意味着以下命题成立，即例例7 10 111 2,132 5AM显然A的特征值均有负实部，M正定，但按（744）计算出的22226N却不是正定的。“A渐近稳定，渐近稳定，M正定，由（正定，由（744）式所得的）式所得的N一定正定。一定正定。” 例例7-9 考虑二维系统 111121221222 xaaxxaaxA A求系统渐近稳定时参数应满足的条件。令N=I，由（7-44）式

19、可得 11121111211222112122222220100221aamaaaamaamA 上述方程组的系数矩阵A1的行列式为 744T （）A AM MM M A AN N22121211mmmmM11122112212211122det()4()()4() det()AAaaaaaaaa若detA10，方程组就有唯一解，其解为 22212212 2221 1122112 2221 111122det()2det()()det(aaa aa aa aa aaaA)MAA)由M正定的Sylvester 判据可得 2222212221221111222det( )det( )01det()2

20、()det( )aaaamaa1AAAA（）2由 （ ） ： 必 须(3)、(4)即系统渐近稳定时参数应满足的条件。13由（），并考虑到（ ），应有11 2212 21det03Aa aa a（ ）221122122121122()()det()024() det( )aaaaaaMA及（ ）1122()04aa（ ）有正定对称解的充分必要条件为xx A渐近稳定。定理定理7-26 若定理7-25（7-44）中的N取为半正定对称阵半正定对称阵，且有xTNx沿 =Ax的任意非零解不恒为零不恒为零，则矩阵方程xATX+XA=N （7-46）注注：关于定理7-26 “xTNx沿方程的非零解不恒为零”的

21、条件不能少。例例1:1: A渐近稳定，N半正定，不能保证M正定1210100,110000ANM1. 这是因为xTNx沿方程的非零解恒为零。事实上，容易算出但此时2. 若将N分解为 N=1 0T1 0:=CTC，则易于验证 (A，C)不可观测。100N。Txxx若2201(0)txe xx因为Txx这说明沿方程的非零解恒为零，不满足定理条件。N N20200 xxx 是非零解。1210100,000100ANM例例2. N半正定，M正定，不能保证A渐近稳定。分析：分析：1. xTNx沿方程的非零解0.5110101,00;txx exx 2. 令C=1 0, N=CTC, 可知(A, C)不可

22、观测。但 xTNx=x12 ，故xTNx=x12恒为零，即沿非零解恒为零。22020,0,xxxxTNx沿方程的非零解不恒为零，这时(A, C)可观测,定理满足。112411441110,0100A AN NM M例例3：( )(0)(0)0Attttetex texxe 结论：结论： “xTNx沿方程的非零解不恒为零, ”可用(A, C)可观测代替，这里N= CTC。进而，我们有： 定理定理7-26* 时不变动态方程 的零解渐近稳定的充分必要条件是对应的Lyapunov方程 Axx A MMANT（744）在给定（A, N)为可观测的半正定阵N下，方程(7-44)的解M为正定。关于定理的证明

23、关于定理的证明：1) 因为N为半正定矩阵，总可以将其分解为 N=CTC 的形式。易于证明（例如用反证法），(A, N)可观测可推得(A, C)可观测。2) 必要性证明：必要性证明：类似于定理7-25：由系统零解已渐近稳定，则任给使(A，N)可观测的半正定阵N，由积分00AAAAM=NC CTTtttTteedteedt确定的矩阵M必满足(7-44)且为正定（可观测性Gram矩阵）。3) 充分性证明：充分性证明：若在给定（A, N)为可观测的半正定阵N下，方程(7-44)的解M为正定，要证此时系统必定渐近稳定。为此，考虑0000(*)TTTtxxxxxexANC CCC000|0ACCttexx

24、微分（*）式，有00000|0AACACACAtttexexx100CAnx这说明使 的x是零解，即沿方程的非零解dv/dt不恒为零。由定理7-21*，系统必渐近稳定。 证完。证完。0Txx N00100 CCACAnxx例题例题7-11： 考虑如下三阶多项式：321230sa sa s a注注: 以上证明可以去掉，根据“(A,C) 可观测当且仅当 =0”这一命题就立即可以看出x00。013232123213( )( )( )DsDsD ssa sa s asa s a sa 令定义系统如下：110101( )( )1( )( )( )( )1( )/( )DsDsg sD sDsDsDsDs

25、假定D0(s)和D1(s)无公因子。则D(s) 为Hurwitz 多项式当且仅当系统g(s)稳定。将D0(s)/D1(s)展开：试证明劳斯判据：系统渐近稳定当且仅当劳斯表的第一列所有元素大于零。01 23121113( )()/1( )Dss aaaasDsaa sa2131123111 3212311()/1()sa saas a aaasa ass a aaaa12311sssaaa101123( )11( )1( )1( )/( )11Dsg sD sDsDssssaaa则3221311 231031sasaaa aasasa劳斯表：11111211232123231 3311()()ababaa aaba aaba abaaa不难验证，g(s)可由下列系统实现：11sa3x21sa2x31sa1xuy322111000110011100