数项级数敛散性习题课

1、2022-2-211 第十二章第十二章(1) 习题课习题课数项级数的敛散与幂级数的收敛域数项级数的敛散与幂级数的收敛域三、课外练习题三、课外练习题一、数项级数的审敛法一、数项级数的审敛法二、求幂级数收敛域的方法二、求幂级数收敛域的方法 2022-2-212)(0 xunn 求和求和)(xS展开展开(在收敛域内进行在收敛域内进行)(0 xunn 基本问题：基本问题：判别敛散；判别敛散；求收敛域；求收敛域；求和函数；求和函数；级数展开级数展开.为傅立叶级数为傅立叶级数.xnbxnaxunnnsincos)( 当当为傅氏系数为傅氏系数) 时时,时为数项级数时为数项级数;0 xx 当当nnnxaxu

2、)(当当时为幂级数时为幂级数;nnba ,(2022-2-213一、数项级数的审敛法一、数项级数的审敛法1. 利用利用部分和数列的极限部分和数列的极限判别级数的敛散性判别级数的敛散性2. 正项级数正项级数审敛法审敛法必要条件必要条件0lim nnu不满足不满足发发 散散满足满足比值审敛法比值审敛法 lim n1 nunu 根值审敛法根值审敛法 nnnulim1 收收 敛敛发发 散散1 不定不定 比较审敛法比较审敛法用它法判别用它法判别积分判别法积分判别法部分和极限部分和极限1 2022-2-2143. 任意项级数任意项级数审敛法审敛法为收敛级数为收敛级数 1nnuLeibniz判别法判别法:

3、若若,01 nnuu且且,0lim nnu则交错级数则交错级数nnnu 1)1(收敛收敛 ,概念概念:且余项且余项.1 nnur 1nnu若若收敛收敛 , 1nnu称称绝对收敛绝对收敛 1nnu若若发散发散 , 1nnu称称条件收敛条件收敛2022-2-21511:;1()nnnnnnn判断级数敛散性例例1解解nnnnnnnnu)1(1 ,)11(21nnnn nnnnnnn122)11(lim)11(lim2 ; 10 exxnnxn11limlim ln1limexpxxx 1limexpxx ; 10 e, 01lim nnu原级数发散原级数发散2022-2-216例例2.11ln12的

4、收敛性的收敛性判定级数判定级数 nn解解故故因因),(111ln22 nnn)11ln(limlim222nnunnnn 根据极限审敛法根据极限审敛法, 知所给级数收敛知所给级数收敛.221limnnn . 1 2022-2-217例例3.)cos1(11的的收收敛敛性性判判定定级级数数nnn 解解 因为因为)cos1(1limlim2323nnnunnnn 22)(211limnnnnn 根据极限审敛法根据极限审敛法, 知所给级数收敛知所给级数收敛.212 2022-2-218例例4 若级数若级数 11nnnnba 与与均收敛均收敛 , 且且nnnbca , ),2,1( n证明级数证明级数

5、 1nnc收敛收敛 .证证 nnnnabac 0, ),2,1( n则由题设则由题设)(1nnnab 收敛收敛)(1nnnac 收敛收敛 1nnc)(1nnnnaac )(1nnnac 1nna收敛收敛2022-2-219解答提示解答提示: 判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性:;1)1(1 nnnn;2) !()2(122 nnn;2cos)3(132 nnnn ;ln1)4(210 nn. )0,0()5(1 sanansn提示提示: (1) ,1lim nnn有有时时当当,Nn 11nn)1(11 nnnn据比较判别法据比较判别法, 原级数发散原级数发散 .因调和级数发散因调和级数发

6、散,0N P322 题题22022-2-2110利用比值判别法利用比值判别法, 可知原级数发散可知原级数发散.用比值法用比值法, 可判断级数可判断级数 12nnn因因 n 充分大时充分大时,ln1110nn 原级数发散原级数发散 . :2) !()2(122 nnn:2cos)3(132 nnnn :ln1)4(210 nn: )0,0()5(1 sanansn用比值判别法可知用比值判别法可知:时收敛时收敛 ;时时, 与与 p 级数比较可知级数比较可知时收敛时收敛;1 s时发散时发散.再由比较法可知原级数收敛再由比较法可知原级数收敛 .1 s1 a时发散时发散.1 a1 a 21nn发散发散,

7、收敛收敛,2022-2-2111 设正项级数设正项级数 1nnu和和 1nnv 12)(nnnvu也收敛也收敛 .提示提示: 因因,0limlim nnnnvu存在存在 N 0,nnnnvvuu 22,又因又因)(222nnvu )()(2Nnvunn 利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确.都收敛都收敛, 证明级数证明级数当当n N 时时2)(nnvu P323 题题32022-2-2112 设级数设级数 1nnu收敛收敛 , 且且,1lim nnnuv 1nnv是否也收敛？说明理由是否也收敛？说明理由.但对任意项级数却不一定收敛但对任意项级数却

8、不一定收敛 .,)1(nunn 问级数问级数提示提示: 对对正项级数正项级数,由比较判别法可知由比较判别法可知 1nnv级数级数 1nnu收敛收敛 , 1nnvnnnuv lim收敛收敛,级数级数发散发散 .nnn)1(lim1 1 例如例如, 取取nnvnn1)1( P323 题题42022-2-2113;1ln)1()3(1 nnnn 讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:;1)1()1(1 npnn;sin)1()2(1111 nnnn .! )1()1()4(11 nnnnn提示提示: (1) P 1 时时, 绝对收敛绝对收敛 ;0 p 1 时时,

9、条件收敛条件收敛 ;p0 时时, 发散发散 .(2) 因各项取绝对值后所得因各项取绝对值后所得强强级数级数 原级数绝对收敛原级数绝对收敛 .故故 ,111收敛收敛 nn P323 题题52022-2-2114 11ln)1()3(nnnn)11(ln1lnnnnun 因因单调递减单调递减, 且且但但nnn1ln1 nknkk1ln)1ln(lim)1ln(lim nn 所以原级数所以原级数仅条件收敛仅条件收敛 .kknk1ln1 nlim由由Leibniz判别法知级数判别法知级数收敛收敛 ;0lim nnu2022-2-2115 11! )1()1()4(nnnnn因因 nnuu12)2(!

10、)2( nnn1)111(12 nnnn1! )1( nnn n11 e所以原级数绝对收敛所以原级数绝对收敛 .2022-2-2116敛敛？是是条条件件收收敛敛还还是是绝绝对对收收敛敛？如如果果收收散散，是是否否收收判判断断级级数数 1ln)1(nnnn例例5解解,1ln1nnn ,11发散发散而而 nn,ln1ln)1(11发散发散 nnnnnnn即原级数非绝对收敛即原级数非绝对收敛2022-2-2117,ln)1(1级级数数是是交交错错 nnnn由莱布尼茨定理：由莱布尼茨定理：xxnnxnlnlimlnlim , 01lim xx, 0ln11limln1lim nnnnnnn),0(ln

11、)( xxxxf),1(011)( xxxf2022-2-2118,), 1(上单增上单增在在,ln1单单减减即即xx ,1ln1时时单单减减当当故故 nnn),1()1ln()1(1ln11 nunnnnunn所以此交错级数收敛，所以此交错级数收敛，故原级数是条件收敛故原级数是条件收敛2022-2-2119?1)1(,2112敛敛是绝对收敛还是条件收是绝对收敛还是条件收试问交错级数试问交错级数收敛收敛设级数设级数 nuunnnnn例例6),(2122baab 利用不等式利用不等式解解11)1(22 nununnn有有,112122 nun2022-2-2120均收敛，均收敛，和和因为因为 1

12、21211nnnnu收敛，收敛，故故 12211nnnu由比较审敛法知，由比较审敛法知，收敛，收敛， 121)1(nnnnu即原级数绝对收敛即原级数绝对收敛2022-2-2121?11,)1(,11是否收敛是否收敛试问级数试问级数发散发散且级数且级数单调减少单调减少设正数列设正数列 nnnnnnnuuu例例7,单调减少单调减少由于正数列由于正数列nu解解; 0,lim aaunn且且存在存在故故,)1(1发散发散而级数而级数 nnnu,)1(01收收敛敛将将得得到到否否则则由由莱莱布布尼尼兹兹审审敛敛法法蕴蕴含含了了 nnnua),与题设矛盾与题设矛盾2022-2-2122, 1110 a于是

13、有于是有.111收敛收敛即几何级数即几何级数nna ,aun 又因为又因为nnnau 1111.111收敛收敛故由比较审敛法知故由比较审敛法知nnnu 2022-2-2123二、求幂级数收敛域的方法二、求幂级数收敛域的方法 标准形式幂级数标准形式幂级数: 先求收敛半径先求收敛半径 R , 再讨论再讨论Rx 非标准形式幂级数非标准形式幂级数通过换元转化为标准形式通过换元转化为标准形式直接用比值法或根值法直接用比值法或根值法处的敛散性处的敛散性 . 求下列级数的敛散区间求下列级数的敛散区间:;)11()2(12 nnnxn.2)4(21nnnxn 练习练习:P323 题题72022-2-2124

14、1 解解 nnnnnna)11(limlim 当当ex1 因此级数在端点发散因此级数在端点发散 ,enn 1)11(nneu nn)11( nn)11( )(01 ne. )1,1(ee e 时时, 12)11()2(nnnxn,1eR exe11 即即时原级数收敛时原级数收敛 .故收敛区间为故收敛区间为2022-2-2125nnnxn212)4( )()(lim1xuxunnn 解解 因因)1(2121 nnxn22x nnxn22,122 x当当时，时，即即22 x,2时时当当 x故收敛区间为故收敛区间为. )2,2( 级数收敛级数收敛;一般项一般项nun 不趋于不趋于0, nlim级数发散级数发散; 2022-2-2126例例8 .)1(31的收敛半径的收敛半径求幂级数求幂级数nnnnxn 解解 分