多元数量值函数积分学复习

1、第七章 多元数量值函数积分学71 多元数量值函数积分的概念与性质一、多元数量值函数积分的概念I可积的必要条件 若函数f(M)在几何形体上可积，则f(M)在上闭有界。可积的充分条件 若函数f(M)在有界闭几何形体上连续，则f(M)在上必可积。二、多元数量值函数积分的性质1. 2.3 4 ，则5 设分别是f(M)在闭几何形体上的最大值和最小值，则6 积分中值定理 设函数f(M)在闭几何形体上连续，则在上至少存在一点，使得三、多元数量值函数积分的分类1 二重积分=。2 三重积分=,(1)3 对弧长的曲线积分或4 对面积的曲面积分,1 / 147.2 二重积分计算方法：“画线定限”累次积分积之。说明：

2、 1 方法：“画线”定限（切点D）2 选择积分次序要合适，若先y后x不能积出结果。3 不可积函数 等等例1 计算解 ；习题 1 计算2 计算3 于上连续，求。解 令，则，原式例2 交换积分次序（1）（2） 例4 （函数的奇偶性与区域对称性）引例 和围成区域关于轴对称关于是奇函数关于轴对称，关于是奇函数。规范语言：中被积函数关于是奇函数，区域关于对称， 中被积函数关于奇函数，区域关于对称，则积分为零。反之，被积函数关于是偶函数，区域关于对称，则积分等于一半区间上积分值的二倍。例 计算，其中由，围成，连续。解 作，分区域为，如图原式注：如上奇偶性分析对三重积分，一型线积分，一型曲面积分其结论都是对

3、的。例5 （极坐标）计算双纽线围成区域的面积。解 由对称性 注：（1）对称性分析，（2）极坐标使用原则）例6 计算 例7 计算关于轮换对称性说明：互换，区域若保持不变，微元不变，即可使用，此时被积函数常发生变化。例8 计算，其中连续恒号。解 则。例9 将极坐标形式的累次积分交换积分次序。解 将由构成的区域在直角坐标系中画出积分区域，然后交换积分次序7.3 三重积分7.3.1 概念与形式1性质：与二重积分相同2计算方法：1）直角坐标：投影法截面法2）柱面坐标球面坐标3）一般方法 （2.6）其中。7.3.2 例题例1 计算，其中V：z0，y0，围成的区域。解 。例2 将，分别按直角坐标系，柱坐标系

4、，球坐标系写出累次积分形式，其中V为和围成部分。解 （1）直角坐标系下：（2）柱坐标系下：（3）球坐标系下例3 计算，其中V：与围成区域。解其中 。亦可用柱坐标系例4 设，其中连续。为，求和。解 。例5 ，V：。解 由奇偶性由轮换对称性，故原式 7.4 数量值函数的曲线与曲面积分的计算7.4.1 第一型曲线积分的计算物理解释：视为密度函数，则积分为曲线质量。几何解释：1. 取，积分为曲线弧长。2. 第一型曲线积分，当时，表示以xOy平面上的曲线段L为准线。母线平行于z轴，高度为f (x, y)的柱面面积。一、 计算方法：设参数，化定积分12. 3. 12(此类空间曲线常以隐式方程形式出现)特殊

5、的：平行轴线段，平行轴线段例1 计算，如图ABCDEA解其中 ,故原式例2 设为周长为a的椭圆。计算解 由对称性 ，例3 计算，交线解 由轮换对称性 ，原式习题1计算，摆线 ，（一拱）（2计算，一周 （星形线：）3计算，双纽线的一周（）7.4.2 第一型曲面积分的计算一、物理解释：时得曲面面积二、计算方法：投影，做二重积分1若曲面方程为，则2若曲面方程为，则3若曲面方程为，则三、例题例1 计算，表面解 原式例2 计算，其中是介于，之间的柱面。解 （1）曲面向面投影，由对称性原式，原式解（2）取微元，原式例3 是椭球面的上半部分，点，是在点的切平面，为原点O到切平面的距离。求。解 设是切平面上任

6、意点，则切平面的方程为又由S： ，得，由对称性，故例4 计算，解 依对称性，再轮换对称性，则7.5 数量值函数积分应用举例对几何形体来说，上的可加量的微元的一般形式为，即，其中为的任一子量，为上的连续函数，而且是当时的无穷小。找到微元后以后，对在上积分即得Q，也即7.5.1 几何问题举例7.5.2 质心与转动惯量质心坐标为形心为，其中薄片对x轴及y轴的转动惯量为物体对于轴的转动惯量为，例1求均匀椭圆绕直线的转动惯量，并说明为何值时转动惯量最大。解 若，转动惯量与无关若，绕轴的转动惯量最大。若。，绕轴的转动惯量最大，此时直线为。753 引力物体对位于处的单位质量的质点的引力近似地为 ，其中为引力元素在三个坐标轴上的分量，为引力常数，将在上分别积分，即得F .例1 设平面薄片占有平面上的半圆闭区