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1、多媒体教学课件复变函数论 第三章第三章 复积分复积分第第3.1节复积分的概念节复积分的概念1 1、复变函数的积分复变函数的积分：2 2、几个引理几个引理：3 3、柯西定理柯西定理：MathSNNU0za1z1kzkkznzb1nzC复积分的定义及计算复积分的定义及计算 定义3.1设复函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在光滑或逐段光滑的简单曲线 上有定义。沿从a到b的方向在L上依次取分点：其中 ，在每个弧段上任取一点 ，作和式0121,.,nnazz zzzb1(1,2,., )kkzz knkkki11()nkkkfzLABkkkzxiy其中1kkkkkzzzxi y 11max0(

2、)( )lim()k nknkkLkzf zLf z dzfz 设。当时，和式的极限存在，则称该极限为沿曲线 的积分，记作 沿L的负方向的积分记为 。显然，f(z)在L上可积，则必在L上有界。( )Lf z dz分实部与虚部，有1111()(,)(,)(,)(,)(,)(,)nnkkkkkkkkkknkkkkkkknkkkkkkkfzu a biv a bxi yu a bxv a byiv a bxu a by 若假定f(z)在L上连续，从而u,v在L上连续，并且当 时， ，于是得( )()()CCCCf z dzudxvdyivdxudyuiv dxidy011max0maxy0kkk n

3、k nx 及（3.3）（3.3）提供了一种计算复积分化为曲线积分的方法，其从形式上可以看作f(z)=u+iv与dz=dx+idy相乘后分开实虚部所得。若已知L的参数方程：复积分的计算( )( )( ),z tx tiy tt ( )( )( )Cf z dzf z tz t dt（3.4）当是分段光滑简单曲线时，我们仍然可以得到这些结论。复变函数的积分的性质：复变函数的积分的性质：复变函数积分的基本性质：设f(z)及g(z)在简单曲线C上连续，则有（1）（2）是一个复常数；其中,d)(d)(CCzzfzzf;d)(d)(d)()(CCCzzgzzfzzgzf（3）其中曲线C是由光滑的曲线 连接

4、而成；（4）nCCCCzzfzzfzzfzzfd)(.d)(d)(d)(21nCCC,.,21,d)(d)(CCzzfzzf积分是在相反的方向上取的。复变函数的积分的性质：复变函数的积分的性质：如果C是一条简单闭曲线，那么可取C上任意一点作为取积分的起点，而且积分当沿C取积分的方向改变时，所得积分相应变号。（5）如果在C上，|f(z)|M，而L是曲线C的长度，其中M及L都是有限的正数，那么有，MLzzfC|d)(|证明：因为两边取极限即可得结论。MLzzMzzfknkkknkkk| )(|111111例1、设C是连接 及Z两点的简单曲线，那么如果是C闭曲线，即 ，那么积分都是零。0z0dzZz

5、C).(21d202zZzzC0zZ 例例2(2(一个重要结论）一个重要结论）例2、设C是圆 ，其中 是一个复数， 是一个正数，那么按反时针方向所取的积分证明：令 于是 从而 | zizzC2diezddiiez .2dd20iizzC3.2 基本定理 通过上节的例1、例2，我们得出一个简单结论： 积分的值与积分的值与f(z)的解析性有关！的解析性有关！问题： 1825年柯西给出了问题的回答，即为柯西定理，它是研究解析函数理论的基础，故称为复变函数的基本定理。1、柯西积分定理定理3.1（柯西定理） 设f是区域D内的解析函数，L0，L1是区域D内具有相同起点和终点的简单光滑弧或者是区域D内的简单

6、光滑封闭曲线，若他们在D内同伦，即L0L1(D), 则：特别地，当简单光滑封闭曲线L0在D内同伦于零，即L00(D)时，则01LLff00Lf 基本定理的证明一般情况下，证明比较复杂，我们下面采用一个条件证明：( )( )0LLLGGDfzDLDCRf z dzudxvdyivdxudyvuuvdxdyidxdyxyxyGL设区域是一个单连通区域，在 内处处连续， 是 内一条分段光滑的简单闭曲线，则由条件和格林公式，其中，为 所围的闭区域。假设f(z)在D内处处连续，即基本定理的推广v定理3.2（单连通域的柯西定理）若f在单连通域D内解析，则对于D内任一逐段光滑封闭曲线L，有v定理3.3若L是

7、一简单逐段光滑封闭曲线，D是以L为边界的有界单连通域，f在 上连续，且在D内解析，则有DDL0Lf 0Lf 基本定理的推广0011201(,( )0,( )( ).knnLnLkLDLLLLLLLLLfDDfz dzLDfz dzfz dz定理： 多连通域柯西定理）设是以为边界的有界n+1连通区域，其中是简单闭光滑曲线内部互相外离的n条简单封闭光滑曲线（以后简称这样的曲线 为复合闭路），若 在上连续,在内解析，则 其中取关于区域的正向，或写为 L1LnL0.2 2 原函数原函数定理3.5 设f在单连通域D内解析，则变上限积分确定的函数在D内解析且那么函数F(z)称为f(z)在区域是D内的一个不

8、定积分或原函数.( )( ).F zf z0( )( )zzF zfd证明：设z是D内的任一点，取 ;作连接z与 的直线段l=z,z+z,取| z|充分小，总可使 ，于是,0zzDzzzlD000()( )( )( )zzzzzzzzF zzfdfdfd考虑()( )1( ) ( )( )zzzF zzF zf zff z dzz（3.24）因函数f(z)在z处连续，即对 ，使得当 时，有( )( )f Zf z0,0, Zz取 ，当 时， ，上式更成立，于是对（3.24）有估计式()( )1( )( )( )zzzF zzF zf zff zdzz证毕。0,z Zlzz定理3.6设f在单连通