复数的运算(一)

1、复数的运算复数的运算法则法则复数加减运算复数加减运算的几何意义的几何意义问题引入问题引入例例 1例例21.1.复数加、减法的运算法则：复数加、减法的运算法则：已知两复数已知两复数z1=a+bi, z2=c+di（a,b,c,d是实数）是实数） 即即: :两个复数相加两个复数相加( (减减) )就是就是 实部与实部实部与实部, ,虚部与虚部分别相加虚部与虚部分别相加( (减减).).(1)加法法则加法法则：z1+z2=(a+c)+(b+d)i; (2)减法法则减法法则：z1- -z2=(a- -c)+(b- -d)i. (a+bi i )(c+di i) = (ac) + (bd)i i例例1

2、1、计算、计算(13i i )+(2+ +5i i) + +(- -4+9i+9i)2.2.复数的乘法法则：复数的乘法法则：2acadibcibdi)()acbdbcad i（ (2) (2)复数的乘法与多项式的乘法是类似的复数的乘法与多项式的乘法是类似的，只是在，只是在运算过程中把运算过程中把 换成换成1 1，然后实、虚部分别合并，然后实、虚部分别合并. .说明说明:(1):(1)两个复数的积仍然是一个复数；两个复数的积仍然是一个复数； i2(3)(3)易知复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律易知复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律即对于任何即对于任何z1 , z2 ,z3 C,有有,(

3、)(),().zzzzzzzzzzz zzz zz z12211231231231 21 3例例2()()abi cdi例例2.2.计算计算(2i i )(32i i)(1+3i+3i) 复数的乘法与多项复数的乘法与多项式的乘法是类似的式的乘法是类似的. . 我们知道多项式的乘法用我们知道多项式的乘法用乘法公式可迅速展开乘法公式可迅速展开, , 运算运算, ,类似地类似地, ,复数的乘法也可大胆复数的乘法也可大胆运用乘法公式来展开运算运用乘法公式来展开运算. .注意注意 a+bi 与与 a- -bi 两复数的特点两复数的特点.思考：设思考：设z= =a+ +bi ( (a, ,bR ),R )

4、,那么那么定义定义:实部相等实部相等, ,虚部互为相反数虚部互为相反数的两个复数叫做互为的两个复数叫做互为共轭复数共轭复数. .复数复数 z= =a+ +bi 的共轭复数记作的共轭复数记作?zz, zzabi即即?zzzzzzzzzz12121212, 另外不难证明另外不难证明:一步到位一步到位! !例例3.计算计算(a+bi)(a- -bi)类似地类似地 我们知道我们知道,两个向量的和满足平行四边形两个向量的和满足平行四边形法则法则, 复数可以表示平面上的向量，复数可以表示平面上的向量，那么复数那么复数的加法与向量的加法是否具有一致性呢？的加法与向量的加法是否具有一致性呢？设设z1=a+bi

5、 z2=c+di,则则z1+z2=(a+c)+(b+d)ixOyZ1(a,b)ZZ2(c,d)吻合吻合! !这就是复数加法的几何意义这就是复数加法的几何意义. .类似地类似地, ,复数减法复数减法: :Z1(a,b)Z2(c,d)OyxZOZ1- -OZ2这就是复数减法的几何意义这就是复数减法的几何意义. .练习练习1.计算计算:(1)i+2i2+3i3+2004i2004;解解:原式原式=(i- -2- -3i+4)+(5i- -6- -7i+8)+(2001i- -2002- -2003i+2004)=501(2- -2i)=1002- -1002i.2.已知方程已知方程x2- -2x+2

6、=0有两虚根为有两虚根为x1, x2, 求求x14+x24的值的值.解解:,12 , 1ix . 8)2()2()1 ()1 (22444241 iiiixx注注: :在复数范围内方程的根与系数的关系仍适用在复数范围内方程的根与系数的关系仍适用. .3.3.已知复数已知复数 是是 的共轭复数，求的共轭复数，求x的值的值 )R() 23(222 xixxxxi204 解：因为解：因为 的共轭复数是的共轭复数是 ，根据复数相等的定义，根据复数相等的定义，可得可得i204 i204 .2023 , 4222xxxx 6323xxxx或或或或解得解得所以所以 3 x7.7.在复数集在复数集C内，你能将

7、内，你能将 分解因式吗？分解因式吗？xy221.计算计算:(1+2 i )2 2.计算计算(i- -2)(1- -2i)(3+4i)- -20+15i- -2+2i- -3- -i8 8( (x+yi)(x- -yi)例例1 1 设设 ，求证：，求证： （1） ；（；（2） i2321 012 . 13 证明：证明： （1）22)2321()2321(11ii ; 0 4323412321 ii22)23(23212)21(2321iii （2）33)2321(i )2321()2321(2ii )2321)(2321(ii 22)23()21(i 14341 。两个虚数的差还是虚数两个虚数的差还是虚数虚数虚数两个纯虚数的差还是纯两个纯虚数的差还是纯。的共轭复数是的共轭复数是纯虚数纯虚数互为共轭复数互为共轭复数、是实数，则是实数，则如果如果、下列命题中正确的是、下列命题中正确的是例例)4()3(ZZ)2(ZZZZ)1(32121 (2)(2)互为共轭复数。互为共轭复数。与与则则若若互为共轭复数。互为共轭复数。与与则则若若互为共轭复数。互