定积分一元微积分

1、第九章 定 积 分授课教师：胡鹏彦授课对象：05本科第九章 定 积 分第十章 定积分的应用1 平面图形的面积2 由平行截面面积求体积3 平面曲线的弧长与曲率4 旋转曲面的面积5 定积分在物理中的某些应用6 定积分的近似计算第九章 定 积 分1 平面图形的面积1. 由连续曲线 y f (x)( 0), 以及直线 x a, x b和x轴所围曲边梯形的面积为( )dd .bbaaAf xxy x如果在a, b上不都是非负的, 则所围图形的面积( ) dd .bbaaAf xxyx第九章 定 积 分1 平面图形的面积由上下两条连续曲线 y f1(x)与 y f2(x)以及直线 x a, x b(ab)

2、所围的平面图形的面积为21( )( ) d .baAfxf xx例1求由抛物线 y2 x与直线x 2y 3 0所围平面图形的面积A.(1)第九章 定 积 分1 平面图形的面积2. 曲线C由参数方程给出, 在, 上 y(t)连续, x(t)连续可微且x(t) 0.( ), ( ), ,xx tyy tt 由曲线C及直线x x() a, x y() b和x轴所围( ) ( ) d .Ay t x tt图形的面积计算公式为(2)(3)第九章 定 积 分1 平面图形的面积( ) ( ) d .Ay t x tt(3)例2 求由摆线 x a(tsin t), y a(1cos t)(a0)的一拱与x轴所

3、围平面图形的面积.例3 求椭圆22221xyab所围的面积.第九章 定 积 分1 平面图形的面积3. 曲线C由极坐标方程给出, 其中r( )在, 上连续, 2. 由曲线C( ), ,rr 与两条射线 , 所围成的平面图形(扇形)的21( )d .2Ar面积计算公式为(5)例4 求双纽线 r2 a2cos 所围平面图形的面积.第九章 定 积 分2 由平行截面面积求体积设为三维空间中的一立体, 它夹在垂直于x轴的两平面x a与x b之间(ab), 称之为. 若在任意一点xa, b处作垂直于x轴的平面, 它截的截面面积是x的函数, 记为A(x), xa, b, 称之为的.本节给出由截面面积函数求立体

4、体积的一般计算公式和旋转体的体积公式.第九章 定 积 分2 由平行截面面积求体积设截面面积函数A(x)是a, b上的一个连续函数. 对0121:.nnT axxxxxba, b作分割过各分点作垂直于x轴的平面x xi, i 1, 2, , n,它们把切割成n个薄片. 设A(x)在每个小区间xi xi1, xi上的最大, 小值分别为Mi与mi, 那么每一薄片的体积Vi满足.iiiiim xVMx 第九章 定 积 分2 由平行截面面积求体积因为A(x)为连续函数, 从而在a, b上可积, 所以当1niiVV满足于是, 的体积|T |足够小时, 能使其中为任意小的正数. 由此知道11.nniiiii

5、im xVMx11,nniiiiiiixMmx第九章 定 积 分2 由平行截面面积求体积其中A(i)Mi(或mi), 所以有| |0| |011limlimnniiiiTTiiVMxm x或( )d .baVA xx | |01lim,niiTiAx(1)例1 求由两个圆柱面x2 y2 a2与z2 x2 a2所围立体的体积.第九章 定 积 分2 由平行截面面积求体积例2 求由椭球面所围立体(椭球)的体积.设A, B为位于同一区间a, b上的两个立体, 其体积分别为VA, VB. 若在a, b上它们的截面面积函数A(x)与B(x)皆连续, 且A(x) B(x), 则由公式(1)推知VA VB.截

6、面面积相等则体积也相等.2222221xyzabc第九章 定 积 分旋转体的体积设 f 是a, b上的连续函数, 是由平面图形0 | |( )|, yf xaxb绕x轴旋转一周所得的旋转体. 截面面积函数为2( )d .baVf xx由公式(1), 得到旋转体 的体积公式为(2)2( )( ) , .A xf xxa b2 由平行截面面积求体积第九章 定 积 分2( )d .baVf xx(2)例3 试用公式(2)导出圆锥体的体积公式.例4 求由圆 x2 (y R)2 r2(0 r R)绕x轴旋转一周所得环状立体的体积.2 由平行截面面积求体积第九章 定 积 分3 平面曲线的弧长与曲率.CAB

7、设平面曲线这n条弦成为C的一条内接折线. 记1111max, ,niiTiii niTP PsP P 分别表示最长弦的长度和折线的总长度.一 平面曲线的弧长0121, , , , , ,nnAPP PPPB在C上从A到B依次取分点它们成为对曲线C的一个分割, 记为T. 用直线段联结T中相邻两点, 得到C的n条弦1iiP P(i1,2, n),第九章 定 积 分3 平面曲线的弧长与曲率定义10lim,TTss对于曲线C的无论怎样的分割T, 如果存在有限极限则称曲线C是的, 并把极限s定义为曲线C的.第九章 定 积 分3 平面曲线的弧长与曲率定义2( ), ( ), ,xx tyy tt 设平面曲

8、线C由参数方程给出. 如果x(t)与y(t)在, 上连续可微, 且x(t)与y(t)不同时为零(即则称曲线C为一条.),22( )( )0, ,xtytt (1)第九章 定 积 分3 平面曲线的弧长与曲率定理10.122( )( )d .sxtytt设曲线C由参数方程(1)给出. 若C为一光滑曲线, 则C是可求长的, 且弧长为(2)第九章 定 积 分3 平面曲线的弧长与曲率( ), , yf xxa b若曲线C由直角坐标方程表示, 把它看作参数方程时, 即为所以 f (x)在a, b上连续可微时, 此曲线即为一光滑曲线. 这时弧长公式为, ( ), , .xx yf xxa b21( )d .

9、basfxx(4)第九章 定 积 分3 平面曲线的弧长与曲率( ), ,rr 又若曲线C由极坐标方程表示, 把它化为参数方程, 则为由于因此当r( )在, 上连续, 且r( )与r( )不同时为( )cos , ( )sin , ,.xryr 22( )( )d .srr(5)零时, 此极坐标曲线为一光滑曲线. 则弧长公式为2222( )( )( )( ),xyrr第九章 定 积 分3 平面曲线的弧长与曲率例1 求摆线一拱的弧长.(sin ),(1 cos )(0)xa ttyat a例2 求悬链线的弧长.ee2xxy从x0到xa0一段例3 求心形线(1 cos )(0)raa的周长.第九章

10、定 积 分3 平面曲线的弧长与曲率注意22( )( )( )d .ts txy曲线(1)由端点P0到动点P(x(t), y(t)的弧长为由于被积函数是连续的, 因此(6)22ddd,dddsxyttt22dddd .sxyt称s(t)的微分ds为.第九章 定 积 分3 平面曲线的弧长与曲率这里引入一个刻画曲线上各点处弯曲程度的量: 二 曲率考察由参数方程给出的光滑曲线C. 设(t)表示曲线在点P(x(t), y(t)处切线的倾角, (tt)(t)表示动点由P沿曲线. 它是描述曲线局部性态的又一个重要标志.( ), ( ), ,xx tyy tt (1)移至Q(x(tt), y(tt)时切线倾角

11、的增量.第九章 定 积 分3 平面曲线的弧长与曲率PQ若则称此极限K为曲线C在点P处的曲率.Ks之长为s, 则称为弧段00dlimlim,dtsKsss PQ的平均曲率. 如果存在有限极限第九章 定 积 分3 平面曲线的弧长与曲率由C光滑, 故有所以曲率的计算公式为( )( )arctan,( )y ttx t或3222d( )( )( )( )( ).d( )( )( )tx t y tx t y tss txtyt又若x(t)与y(t)二阶可导, 则由弧微分公式可得( )( )arccot.( )y ttx t3222.x yx yKxy 第九章 定 积 分3 平面曲线的弧长与曲率若曲线由

12、y f (x)表示, 则相应的曲率公式为322.1yKy例4 求椭圆上曲率最大和最小的点.cos , sin , 02xat ybtt 第九章 定 积 分3 平面曲线的弧长与曲率设曲线C在其上一点P处的曲率K0. 过点P作一个半径为1K径和圆心称为曲线C在P处的和.的切线, 并在点P近旁与曲线位于切线的同侧, 称该的圆, 使它在点P处与曲线C有相同圆为曲线C在点P处的或. 曲率圆的半曲线在点P与曲率圆既有相同的切线, 又有相同的曲率和凸性.第九章 定 积 分4 旋转曲面的面积若令一 微元法反之, 若所求量是区间a, x端点x的函数, 即 (x), xa, b, 而且当x b时, (b) 为所求

13、量.当 f (x)为连续函数时, d f (x)dx, 且( )( )d ,xaxf tt( )0, ( )( )d .baabf xx第九章 定 积 分4 旋转曲面的面积若在任意小区间x, xxa, b上, 的微小增量这里 f 为一连续函数, 且有则定积分能够近似地表示成x的线性形式( ),f xx ( )dbaf xxd( )d ,f xx 就是所求的结果.(1)(2)上述方法通常称为.第九章 定 积 分4 旋转曲面的面积应用微元法时要注意:2) 要给出正确的的表达式(1).1) 所求量关于区间a, b是代数可加的;,Ayxdd ;Ayx( ),VA xxd( )d ;VA xx21,sy

14、x 2d1d .syx第九章 定 积 分4 旋转曲面的面积设平面光滑曲线C的方程为二 旋转曲面的面积这段曲线绕x轴旋转一周得到的旋转曲面的面积为(不妨设 f (x)0).( ), , yf xxa b22( ) 1( )d .baSf xfxx(3)第九章 定 积 分4 旋转曲面的面积过x轴上点x与xx分别作垂直于x轴的平面, 它们22( )()Sf xf xxxy在旋转曲面上截下一条狭带. 当x很小时, 此狭带的面积近似于一圆台的侧面积, 即22 ( )1,yf xyxx第九章 定 积 分4 旋转曲面的面积则由 f (x)的连续性可知2d2( ) 1( )d .Sf xfxx所以有22 (

15、)1yf xyxx22( ) 1( )().f xfxxox 由于2200lim0, lim11( ),xxyyfxx 22( ) 1( )d .baSf xfxx(3)第九章 定 积 分4 旋转曲面的面积如果光滑曲线C由参数方程给出, 且 y(t)0, 则曲线C绕x轴旋转所得旋转曲面( ), ( ), ,xx tyy tt 222( )( )( )d .Sy txtytt(4)的面积为第九章 定 积 分上4 旋转曲面的面积222( )( )( )d .Sy txtytt(4)例1计算圆的弧段绕x轴旋转所得球带的面积.222xyR22( ) 1( )d .baSf xfxx(3)在12,x xR R 例2 计算由摆线旋转所得曲面的面积.33cos,sinxat yat绕x轴第九章 定 积 分5 定积分在物理中的某些应用一 液体静压力例1如图所示为一管道的圆形闸门(半径为3米).求水平面到直径时闸门所受的水的静压力.第九章 定 积 分5 定积分在物理中的某些应用例3 设有一半径为r的圆弧形导线, 均匀带电, 电荷密度为, 在圆心正上方距圆弧所在平面为a的二 引