函数的奇偶性 (2)

1、xy0宝马奔驰东风雪铁龙丰田请请你你欣欣赏赏四川曹家大院一景曹家多子院大门二道门水镜台请请你你欣欣赏赏曹家大院某院晋祠鼓楼晋祠硕亭太谷民居门墩石狮子请请你你欣欣赏赏 2(1)(2)|1(3)(4)f xxf xxf xxf xx 请在不同坐标系上画出以下图象，请在不同坐标系上画出以下图象，并根据对称性进行分类并根据对称性进行分类.xyof(x)=x2xyof(x)=|x|观察下图，思考并讨论以下问题：观察下图，思考并讨论以下问题：(1) (1) 这两个函数图象有什么共同特征吗？这两个函数图象有什么共同特征吗？(2) (2) 从解析式上如何体现上述特征？从解析式上如何体现上述特征？xyof(x)

2、=|x|图象：关于图象：关于y轴对称轴对称解析式：解析式： f (-x)=f (x)xyof(x)=x2 x-3-2-1012394101492( )f xxxyof(x)=x2 对于f(x)内的任意一个x, 都有f(-x)=f(x)22()()( )fxxxf x xyof(x)=|x| x -3 -2 -101233210123( )f xx()( )fxxxf x 对于f(x)内的任意一个x, 都有f(-x)=f(x)一一.偶函数的定义偶函数的定义: XY0A（-2，4）-22B（-2，4）f(x)=X2. 11114242.)(;)()(;)(ffff)()()(xfxxf2对定义域内

3、的任意对定义域内的任意x,都有都有 1定义：定义：如果对于函数如果对于函数f(xf(x) )定义域内任意定义域内任意 一个一个x x，都有，都有f(-x)=f(xf(-x)=f(x),),那么函数那么函数f(xf(x) ) 就叫做偶函数。就叫做偶函数。如：如：f(x)=x4+3; g(x)=|x|XY0A（-2，4）B（-2，4）f(x)=X2-22图像间的关系：图像间的关系： 关于关于y轴对称轴对称2偶函数图像的对称性： 偶函数图像间的关系：偶函数图像间的关系： 关关y于轴对称于轴对称2( )1f xx22( )11f xx证明以下函数是偶函数 观察函数观察函数f( (x)=)=x和和f(

4、(x)= 1/)= 1/x的图象的图象( (下图下图) )，你，你能发现两个函数图象有什么共同特征吗？能发现两个函数图象有什么共同特征吗？图象：关于原点对称图象：关于原点对称解析式解析式式：式： f (-x)=-f (x) 如果对于函数如果对于函数f(x)的定义域内的任意的定义域内的任意一个一个x，都有，都有f(x)= f(x)，那么，那么f(x)就就叫做叫做奇奇函数函数 2奇函数奇函数奇函数的特征奇函数的特征:1.1.解析式的基本特征：解析式的基本特征：2.2.奇函数的图像关于原点对称奇函数的图像关于原点对称f (-x)=-f (x) 如果一个函数如果一个函数f(x)f(x)是奇函数或偶函数

5、，是奇函数或偶函数，那么我们就说函数那么我们就说函数f(x)f(x)具有奇偶性具有奇偶性.奇函数的定义：如果对于函数奇函数的定义：如果对于函数f(xf(x) )的定的定义域内义域内任意任意一个一个x x，都有都有f(-x)=-f(xf(-x)=-f(x) )，那么函数，那么函数f(xf(x) )就叫做奇函数。就叫做奇函数。如：如：.)();()(xxfkxkxf30若函数是奇函数或偶函数，则称（）若函数是奇函数或偶函数，则称（）函数具有函数具有奇偶性奇偶性。二奇函数的定义图像特征：图像特征：关于原点对称。关于原点对称。奇函数图像的对称奇函数图像的对称性：性：关于原点对称关于原点对称xyo)(0

6、kxKy(-a, f(-a)-aa(a, f(a)xoy奇函数图像的对称性：奇函数图像的对称性：关于原点对称关于原点对称例例1.根据下列函数图象根据下列函数图象,判断函数奇偶性判断函数奇偶性.112)(2xxfyxyxxxf)(yx-122 , 1,)(2xxxfyx-11 1 , 1,)(3xxxf 思思 考考 ? 1.函数奇偶性对定义域有什么要求吗? 2.一个函数不是奇函数就是偶函数吗? 定义域关于原点对称定义域关于原点对称非奇非偶非奇非偶奇函数既奇又偶偶函数(1) (1) 先求定义域，看是否关于原点对称；先求定义域，看是否关于原点对称；判断下列函数的奇偶性：判断下列函数的奇偶性：4(1)

7、 ( ) f xx2 (3) ( ), 1,2f xxx 3 (2) ( )f xx用定义判断函数奇偶性的步骤：用定义判断函数奇偶性的步骤：(1) (1) 先求定义域，看是否关于原点对称；先求定义域，看是否关于原点对称；(2)(2)再判断再判断f(-(-x)=-)=-f( (x) )或或f(-(-x)=)=f( (x) )是否恒成立是否恒成立. .定义域关于原点对称是函数为偶函数或奇函数的前提条件。(3)(3)根据定义，作出结论根据定义，作出结论例、判断下列函数是否具有奇偶性：例、判断下列函数是否具有奇偶性：（1 1）f(xf(x)=x)=x3 3+2x; (2)f(x)=2x+2x; (2)

8、f(x)=2x4 4+3x+3x2 2 解：解：（1 1）f(-xf(-x)=(-x)=(-x)3 3+2(-x)+2(-x) = =-x-x3 3-2x-2x=-(x=-(x3 3+2x),+2x),即：即： f(-x)=-f(xf(-x)=-f(x).). f(x f(x)=x)=x3 3+2x+2x是奇函数是奇函数)()()()()()(Rxxfxxxf04 032(2)f(-x)=2(-x)(2)f(-x)=2(-x)4 4+3(-x)+3(-x)2 2 =2x =2x4 4+3x+3x2 2 即：即：f(-x)=f(xf(-x)=f(x) ) f(x f(x)=2x)=2x4 4+3

9、x+3x2 2是偶函数是偶函数例例2 2 已知函数已知函数y=f(xy=f(x) )是偶函数，它在是偶函数，它在y y轴右轴右边的图象如图所示，画出函数边的图象如图所示，画出函数y=f(xy=f(x) )在轴左在轴左边的图象。边的图象。注：注： 而函数的而函数的奇偶性奇偶性是函数的是函数的整体整体性质；性质；函数的函数的单调性单调性是函数的是函数的局部局部性质性质. .21(1) ( ) xf xx判断下列函数的奇偶性：判断下列函数的奇偶性：课堂练习课堂练习:(3) ( )1 f xx (5) ( )0f x 3 (2) ( )2f xxx(4) ( )5f x (6) ( ) |2|2|f xxx22(7) ( )11f xxx 本课小结1、两个定义：对于、两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个定义域内的任意一个x, 如果都有如果都有f(x)=-f(x) f(x)为奇函数为奇函数 如果都有如果都有f(x)=f(x) f(x)为偶函数为偶函数2、