向量数乘运算与其几何意义讲义

1、1.1.向量加法三角形法则向量加法三角形法则: :aAbBCba aaAbBbOCba 特点特点:首尾相接首尾相接特点特点:共起点共起点b a b Ba ABAab 2.2.向量加法平行四边形法则向量加法平行四边形法则: :3.3.向量减法三角形法则向量减法三角形法则: :O特点：共起点，连终点，方向指向被减数特点：共起点，连终点，方向指向被减数思考题思考题1:已知向量已知向量 如何作出如何作出 和和 a, aaa( a)( a)( a)? a OAa Ba Ca NMQPa a a OC OA AB BC a a a 记记:aaa3a即即:OC3a. 同理可得同理可得:PN( a)( a)(

2、 a)3a 思考题思考题2: 向量向量 与向量与向量 有什么关系有什么关系? 向量向量 与向量与向量 有什么关系有什么关系? 3a a a 3a (1)向量向量 的方向与的方向与 的方向相同的方向相同, 向量向量 的长度是的长度是 的的3倍倍,即即3a a a 3a 3a3 a . (2)向量向量 的方向与的方向与 的方向相反的方向相反, 向量向量 的长度是的长度是 的的3倍倍,即即3a a 3a a 3a3 a . 一、实数与向量的积的定义：一、实数与向量的积的定义： 如下：，它的长度和方向规定的积是一个向量，记作与向量实数aa aa1 的方向相同；的方向与时，当aa 02的方向相反；的方向

3、与时，当aa 0. 0 00 aa时，或当特别地，是无意义的，但不可以作加减法，即，可以作积，与向量实数aaa注意：注意： 二、实数与向量的积的运算律：二、实数与向量的积的运算律： aa)()( ?6)2(3aaa2)2( 3aa6aaaa )(a5a2a3?32)32(aaaa二、实数与向量的积的运算律：二、实数与向量的积的运算律： ?222babaababa2b2baba22 baba )(二、实数与向量的积的运算律：二、实数与向量的积的运算律： 任意实数，则有：为、为任意向量，设ba, babaaaaaa)( (3) )( (2)()( (1)二、实数与向量的积的运算律：二、实数与向量的

4、积的运算律： )2(3)3(2 )3()2()3( )2(43)( (1)cbacbaababaa12a5b52abc 注：向量与实数之间可以像多项式注：向量与实数之间可以像多项式一样进行运算一样进行运算.例例1：计算题：计算题)0( . 1aaa有何关系？与是共线向量吗？，那么如果baab,. 2？那么是共线向量，与如果abba 3.想一想：想一想：2) 可以是零向量吗可以是零向量吗?思考思考:1) 为什么要是非零向量为什么要是非零向量?三、共线向量基本定理：三、共线向量基本定理： 向量向量 与非零向量与非零向量 共线当且仅当共线当且仅当有唯一一个实数有唯一一个实数 ，使得，使得ababab

5、定理的应用定理的应用:(1)有关向量共线问题有关向量共线问题:BCAB33BCAB 3AC3DEADAE 解：解： 与与 共线共线 ACAE例例2:如图：已知如图：已知试判断试判断 与与 是否共线是否共线 ACAE， 3 3BCDEABADABCDE )0(三点共线、CBABCBCAB(2)证明三点共线的问题证明三点共线的问题:定理的应用定理的应用:(1)有关向量共线问题有关向量共线问题:例例3：设：设a，b是两个不共线的向量，是两个不共线的向量，求证：求证：A，B，D三点共线三点共线.证明：证明：又它们有公共点又它们有公共点BA,B,D三点共线三点共线bababaCDBCBD5382AB5ABBD/， 3 82 baCDbaBCbaAB(2)证明三点共线的问题证明三点共线的问题:定理的应用定理的应用:(1)有关向量共线问题有关向量共线问题: / CDABCDABCDABCDAB直线直线不在同一直线上与(3)证明两直线平行的问题证明两直线平行的问题: )0(三点共线、CBABCBCAB解：解：例例4:在四边形在四边形ABCD中，中，求证：四边形求证：四边形ABCD为梯形为梯形 ， 2baAB， 35 4baCDbaBC 28baCDBCABADBC2BCAD直线直线/BCAD/不在同一直线上与CDAB所以四边形所以四