归纳推理

1、归 纳 推 理 前提 当n=0时，n2-n+11=11 当n=1时，n2-n+11=11 当n=2时，n2-n+11=13 当n=3时，n2-n+11=17 当n=4时，n2-n+11=23 当n=5时，n2-n+11=31 结论 对于所有的自然数n, n2-n+11的值都是质数11,11,13,17,23,31都是质数4=2+26=3+363+3，83+5，105+5, 125+7，147+7，165+11,18 =7+11,， 100029+971 1002=139+863,前提: “任何一个大于任何一个大于2 2的偶数都的偶数都可以表示为两个素数之和可以表示为两个素数之和”-歌德巴赫猜想

2、歌德巴赫猜想结论:哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture) 目前最佳的结果是中国数学家陈景润於目前最佳的结果是中国数学家陈景润於19661966年证明的，称为陈氏定理年证明的，称为陈氏定理 .“.“任何充份大任何充份大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而後的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而後者仅仅是两个质数的乘积。者仅仅是两个质数的乘积。” ” 通常都简称这通常都简称这个结果为大偶数可表示为个结果为大偶数可表示为 “ “1 + 2 ”1 + 2 ”的形式。的形式。从个别事实中推演出一般性的结论,称为归纳推理.归纳推理的几个特点:1.归纳是依据特殊现象推断一般现象

3、,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围.2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性.3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上. 归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析的基础上.提出带有规律性的结论.需证明归纳推理的一般步骤：归纳推理的一般步骤：试验、观察概括、推广猜测一般性结论 例例1.已知数列已知数列an的第的第1项项a1=1，且，且（n=1 , 2 , ),试归纳出这个数列的通项公式试归纳出这个数列的通项公式.11nnnaaa分别把分别把n=1,2,3,4代入代入 得得:11nnnaaa23451111,234

4、5aaaa归纳归纳:1nan 可用可用证明证明这个猜想是正确的这个猜想是正确的.取倒数得：取倒数得：1111 nnaa例例2.有三根针和套在一根针上的若干金属片有三根针和套在一根针上的若干金属片.按下按下列规则列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上把金属片从一根针上全部移到另一根针上.1.每次只能移动一个金属片每次只能移动一个金属片;2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面较大的金属片不能放在较小的金属片上面.试推测试推测:把把n个金属片从个金属片从1号针移到号针移到3号针号针,最少需要最少需要移动多少次移动多少次?123123(1)1f n=1时时,123(2)3f n=2时时,n=1

5、时时,(1)1f 123(3)7f n=3时时,(2)3f n=2时时,n=1时时,(1)1f 1233(2)1(2)ff 1 3(2)3f n=2时时,n=1时时,(1)1f (3)fn=3时时,123(3)f 15 n=4时时,n=3时时,(2)3f n=2时时,n=1时时,(1)1f (3)7f (2)1(2)ff 1 (3)f(4)f (4)f 15n=4时时,n=3时时,(2)3f n=2时时,n=1时时,(1)1f (3)7f (2)1(2)ff 1,1( )2 (1)1,2nf nf nn (3)1(3)ff 归纳归纳:( )21nf n 例例3(2004春季上海春季上海)根据图

6、中根据图中5个图形及相应点的个个图形及相应点的个数的变化规律数的变化规律,试猜测第试猜测第n个图形中有个图形中有 个个点点.(1)(2)(3)(4)(5)21nn例例4(2005年广东年广东)设平面内有设平面内有n条直线条直线(n3),其中有其中有且仅有两条直线互相平行且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一任意三条直线不过同一点点.若用若用f(n)表示这表示这n条直线交点的个数条直线交点的个数,f(4)= ,当当n4时时,f(n)= .(用用n表示表示)5(3)(2)2ff(4)(3)3ff(5)(4)4ff( )(1)1f nf nn累加得累加得:( )(2)234(1)f nfn1(

7、2)(1)2nn例2:数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E,然后用归纳法推理得出它们之间的关系.多面体多面体面数面数(F)(F)顶点数顶点数(V)(V)棱数棱数(E)(E)三棱锥三棱锥四棱锥四棱锥三棱柱三棱柱五棱锥五棱锥立方体立方体正八面体正八面体五棱柱五棱柱截角正方体截角正方体尖顶塔尖顶塔4 46 64 45 55 56 65 59 98 8多面体多面体面数面数(F)(F)顶点数顶点数(V)(V)棱数棱数(E)(E)三棱锥三棱锥四棱锥四棱锥三棱柱三棱柱五棱锥五棱锥立方体立方体正八面体正八面体五棱柱五棱柱截角正方体截角正方体尖顶塔尖顶塔4 46 64 45 55 56 65 59 9

8、8 86 66 68 86 612128 812126 61010多面体多面体面数面数(F)(F)顶点数顶点数(V)(V)棱数棱数(E)(E)三棱锥三棱锥四棱锥四棱锥三棱柱三棱柱五棱锥五棱锥立方体立方体正八面体正八面体五棱柱五棱柱截角正方体截角正方体尖顶塔尖顶塔4 46 64 45 55 56 65 59 98 86 66 68 86 612128 812126 610107 77 79 916169 91010151510101515F+V-E=2F+V-E=2猜想欧拉公式* *-.-.111111练习：f(n)=1+(nN )计算得练习：f(n)=1+(nN )计算得23n23n3535f(2)=,f(4)2,f(8),f(16)3,f(2)=,f(4)2,f(8),f(16)3,2222推测当n2时,有推测当n2时,有7(32)2,fLL2.归纳推理的一般步骤归纳推理的一般步骤:(1)通过观察个别情况发现某些相同性质通过观察个别情况发现某些相同性质;(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题一般性命题(猜想猜想).（简称（简称）?部分整体部分整体个别个