n维向量及其相关性

1、9.3 n维向量及其相关性维向量及其相关性 第九章：线性方程组第九章：线性方程组唐山职业技术学院数学课件系列唐山职业技术学院数学课件系列一、一、n维向量的定义维向量的定义二、线性相关与线性无关二、线性相关与线性无关三、总结三、总结四、练习及作业四、练习及作业 复习与导入复习与导入计算器计算器函数大全与绘图工具函数大全与绘图工具上页上页下页下页返回返回.27435,123, 632321321321xxxxxxxxx20016752332321xxxxxx复习：复习：求线性方程组的解。答案：对应的方程组为显然，不可能有满足方程的解。9.3 n维向量及其相关性维向量及其相关性唐山职业技术学院数学课

2、件系列唐山职业技术学院数学课件系列计算器计算器函数大全与绘图工具函数大全与绘图工具上页上页下页下页返回返回9.3 n维向量及其相关性维向量及其相关性唐山职业技术学院数学课件系列唐山职业技术学院数学课件系列导入：导入： 许多科学领域研究的线性方程组涉及的未知数成百上千，本节将二三维向量推广到n维，以解多个未知数的线性方程。应用的方法与列矩阵十分相似。计算器计算器函数大全与绘图工具函数大全与绘图工具上页上页下页下页返回返回9.3 n维向量及其相关性维向量及其相关性唐山职业技术学院数学课件系列唐山职业技术学院数学课件系列一、一、n维向量的定义维向量的定义1 1、n维向量概念：维向量概念：一个 n维向

3、量就是由 n个数组成的有序数组。 可表示为： ),(21naaa2、 n维向量的分量：维向量的分量： ia),(21naaa称为向量的分量. 计算器计算器函数大全与绘图工具函数大全与绘图工具上页上页下页下页返回返回9.3 n维向量及其相关性维向量及其相关性唐山职业技术学院数学课件系列唐山职业技术学院数学课件系列3 3、n维向量的字母表示：维向量的字母表示：,),(21naaa),(21naaa常用小写希腊字母来代表向量.如可写成：=n),(,),(2121nnbbbaaa),2, 1(nibaii4 4、向量的相等：、向量的相等：维向量：的对应分量都相等，即：就称这两个向量是相等的，记作：.n

4、 维向量之间的基本关系是用向量的加法和数量乘法表达的. 如果计算器计算器函数大全与绘图工具函数大全与绘图工具上页上页下页下页返回返回9.3 n维向量及其相关性维向量及其相关性唐山职业技术学院数学课件系列唐山职业技术学院数学课件系列5、向量的加法：、向量的加法：已知向量： 记作： ),(,),(2121nnbbbaaa， ，如果),(2211nnbababa，则 为向量 6、零向量：、零向量：与 的和， 。 分量全为零的向量称为零向量，记作： O =)0 , 0 , 0(7、负向量：、负向量：向量 ),(21naaa称为向量 ),(21naaa的负向量 ，记为 计算器计算器函数大全与绘图工具函数

5、大全与绘图工具上页上页下页下页返回返回9.3 n维向量及其相关性维向量及其相关性唐山职业技术学院数学课件系列唐山职业技术学院数学课件系列8、向量的加法运算律：、向量的加法运算律：(1)交换律： ; .(2)结合律： )()(3) 00)(4) )(9、数乘向量：、数乘向量：(1) 数乘向量:设 k为数域 P中的数， ),(21naaa为向量，则向量 k为数乘向量。记作： k= ),(21nkakaka计算器计算器函数大全与绘图工具函数大全与绘图工具上页上页下页下页返回返回9.3 n维向量及其相关性维向量及其相关性唐山职业技术学院数学课件系列唐山职业技术学院数学课件系列(2) 数乘向量运算律：数

6、乘向量运算律： a、 kkk)(； b、 lklk )(c、 )()(kllk； d、 1e、 00； f、 ) 1(10、维向量空间： (1) 维向量空间:以数域 中的数作为分量的 维向量的全体，同时考虑到定义在它们上面的加法和数量乘法，称为数域 上的 维向量空间.g、 00 k； h、 如 0,0k， 则： 0kn nnnPnnPn计算器计算器函数大全与绘图工具函数大全与绘图工具上页上页下页下页返回返回9.3 n维向量及其相关性维向量及其相关性唐山职业技术学院数学课件系列唐山职业技术学院数学课件系列nn 在 时，3维实向量空间可以认为就是几何空间中全体向量所成的空间. 以上已把数域 上全体

7、 维向量的集合组成一个有加法和数量乘法的代数结构，即数域 上 维向量空间.3nPnP(2)行向量：向量通常是写成一行：),(21naaa(3)列向量：有时也可以写成一列： naaa21说明：行向量与列向量。它们的区别只是写法上的不同.计算器计算器函数大全与绘图工具函数大全与绘图工具上页上页下页下页返回返回9.3 n维向量及其相关性维向量及其相关性唐山职业技术学院数学课件系列唐山职业技术学院数学课件系列二、线性相关与线性无关二、线性相关与线性无关 kk1、线性组合的系数：、线性组合的系数： 向量 称为向量组 的一个线性组合，如果有数域 中的数 ，使：其中 叫做这个线性组合的系数.s,21Pskk

8、k,21sskkk2211skkk,21 一般向量空间除只有一个零向量构成的零空间外，都含有无穷多个向量，这些向量之间有怎样的关系，对于弄清向量空间的结构至关重要。 两个向量之间最简单的关系是成比例.所谓向量 与 成比例就是说有一数 使：计算器计算器函数大全与绘图工具函数大全与绘图工具上页上页下页下页返回返回9.3 n维向量及其相关性维向量及其相关性唐山职业技术学院数学课件系列唐山职业技术学院数学课件系列 例如，任一个 维向量 都是 的一个线性组合. 向量 称为 维单位向量. 零向量是任意向量组的线性组合. 当向量 是向量组 的一个线性组合时，也说 可以经向量组 线性表出.n),(21naaa

9、) 1 ,0,0(, )0, 1 ,0(, )0,0, 1 (21nn,21ns,21s,212、向量组之间的关系：、向量组之间的关系： 如果向量组 中每一个向量 都可以经向量组 线性表出，那么向量组 t,21),2, 1(tiis,21t,21计算器计算器函数大全与绘图工具函数大全与绘图工具上页上页下页下页返回返回9.3 n维向量及其相关性维向量及其相关性唐山职业技术学院数学课件系列唐山职业技术学院数学课件系列就称为可以经向量组 线性表出.s,21(1) 等价向量组:如果两个向量组互相可以线性表出，它们就称为等价.说明：每一个向量组都可以经它自身线性表出.同时，如果向量组 可以经向量组 线性

10、表出，向量组 可以经向量组 线性表出，那么向量组 可以经向量组线性表出.t,21s,21s,21p,21t,21(2)向量组之间等价具有以下性质： 、反身性：每一个向量组都与它自身等价. 、对称性：如果向量组 与 等价，那么向量组 与 等价.abs,21t,21t,21s,21计算器计算器函数大全与绘图工具函数大全与绘图工具上页上页下页下页返回返回9.3 n维向量及其相关性维向量及其相关性唐山职业技术学院数学课件系列唐山职业技术学院数学课件系列 、传递性：如果向量组 与 等价， 与 等价，那么向量组 与 等价.cs,21t,21t,21p,21s,21p,213、线性相关、线性相关1： 如果向

11、量组 中有一个向量可以由其余的向量线性表出，那么向量组 线性相关. 可表示为 或 说明：(1)任意一个包含零向量的向量组一定是线性相关的.(2)向量组 线性相关就表示 或者 (这两个式子不一定能同时成立).s,21)2( ss,2121k12k21,21k12k(3)若 为实数域，且为三维时，就表示向量 与 共线.三 个P12计算器计算器函数大全与绘图工具函数大全与绘图工具上页上页下页下页返回返回9.3 n维向量及其相关性维向量及其相关性唐山职业技术学院数学课件系列唐山职业技术学院数学课件系列向量 线性相关的几何意义就是它们共面.321,4、线性相关、线性相关2： 如果有数域 中不全为零的数

12、，使：向量组 称为线性相关。说明：以上两个线性相关定义在 的时候是一致的.Pskkk,2102211sskkks,21) 1( s2s5、线性无关：、线性无关： 没有不全为零的数 ，使：就称为线性无关；或者说，向量组 称为线性无关，如果由 可以推出：skkk,2102211sskkks,2102211sskkk021skkk计算器计算器函数大全与绘图工具函数大全与绘图工具上页上页下页下页返回返回9.3 n维向量及其相关性维向量及其相关性唐山职业技术学院数学课件系列唐山职业技术学院数学课件系列说明说明：如果一向量组的一部分线性相关，那么这个向量组就线性相关.换句话说，如果一向量组线性无关，那么它

13、的任何一个非空的部分组也线性无关.特别地，由于两个成比例的向量是线性相关的，所以，线性无关的向量组中一定不能包含两个成比例的向量. 结论：(1)单独一个零向量线性相关，单独一个非零向量线性无关.(2)由 维单位向量 组成的向量组是线性无关的.nn,216、判断一个向量组线性相关还是线性无关：、判断一个向量组线性相关还是线性无关：设齐次线性方程组为： . 0,0,0221122221121221111ssnnnssssxaxaxaxaxaxaxaxaxa计算器计算器函数大全与绘图工具函数大全与绘图工具上页上页下页下页返回返回9.3 n维向量及其相关性维向量及其相关性唐山职业技术学院数学课件系列唐

14、山职业技术学院数学课件系列（1）向量组 线性无关的充要条件是： 齐次线性方程组只有零解.例1：判断向量 是否线性相关.例2：在向量空间 里，对于任意非负整数 ， 线性无关.例3：若向量组 线性无关，则向量组 也线性无关.s,21)9 , 7, 1 (),0 , 1 , 2(),3 , 2, 1 (321xPnnxxx, 12321,13322134 ,5,27、线性相关定理：、线性相关定理： 设 与 是两个向量组.如:(1)向量组 可以经 线性表出，(2) ，r,21s,21r,21s,21sr 计算器计算器函数大全与绘图工具函数大全与绘图工具上页上页下页下页返回返回9.3 n维向量及其相关性维向量及其相关性唐山职业技术学院数学课件系列唐山职业技术学院数学课件系列则向量组 必线性相关.8、推论：、推论：(1)推论1：如果向量组 可以经向量组 线性表出，且 线性无关，那么 .(2)推论2:任意 个 维向量必线性相关.(3)推论3:两个线性无关的等价的向量组，含有相同个数的向量r,21r,21s,21r,21sr 1nn计算器计算器函数大全与绘图工具函数大全与绘图工具上页上页下页下页返回返回9.3 n维向量及其相关性维向量及其相关