项目n维向量与向量组线性相关性

1、项目项目n维向量与向量组线性维向量与向量组线性相关性相关性2向量通常写成一行：向量通常写成一行：有时也写成一列：有时也写成一列：12naaa 称为行向量。称为行向量。称为列向量。称为列向量。 它们的区别它们的区别只是写法上只是写法上的不同。的不同。分量全为零的向量分量全为零的向量 称为零向量。称为零向量。 0,0,0 如果如果 n 维向量维向量 12,na aa 12,nb bb 的对应分量都相等，即的对应分量都相等，即 1,2,iiabin 就称这两个，记为就称这两个，记为 12,na aa 称为向量称为向量 的负向量的负向量 ),(21naaa3定义定义6.3 向量向量 1122,nnab

2、 abab 称为向量称为向量 12,na aa 12,nb bb 的和，记为的和，记为 由向量的加法和负向量定义由向量的加法和负向量定义,定义向量的减法：定义向量的减法：() 定义定义6.4 设设k为数域为数域R中的数，向量中的数，向量 12,nka kaka称为向量称为向量 12,na aa 与数与数k的数量乘积。记为的数量乘积。记为k 任务任务20-2（）（） n维向量的线性运算维向量的线性运算各分量全为实数的向量称为实向量各分量全为实数的向量称为实向量.本书只讨论实向量本书只讨论实向量.4 0)4(0)3()()(2()1( kkklklkkllk )8()7()()()6(1)5( 注

3、：注：（1）对任意的向量）对任意的向量, 存在唯一的零向量存在唯一的零向量, o使得使得o（2）对任意的向量）对任意的向量, 存在唯一的负向量存在唯一的负向量, 使得使得()o （4）如果）如果0, 则则00 或或 00; ( 1); 00. （3）向量的加法和数乘运算统称为向量的线性运算向量的加法和数乘运算统称为向量的线性运算,它它满足下面的运算律满足下面的运算律:(5)全体全体n维实向量构成的集合叫做维实向量构成的集合叫做n维向量空间。记维向量空间。记 .nR51. 线性组合与线性表示线性组合与线性表示任务任务20-3(6.3.3) 线性相关性线性相关性 给定向量组给定向量组12:,mA

4、对于任何一组实数对于任何一组实数12,mk kk向量向量1122mmkkk 称为向量组称为向量组A的一个的一个线性组合，线性组合，12,mk kk称为这个线性组合的系数。称为这个线性组合的系数。定义定义6.5给定向量组给定向量组12:,mA 和向量和向量 如果存在一组实数如果存在一组实数12,m 使得使得1122mm 则称向量则称向量 是向量组是向量组A的线性组合，的线性组合，或称向量或称向量 能由向量组能由向量组A线性表示。线性表示。 6案例如：案例如：12342100050100,3001000001 有有210005010025303001000001 1234=2530 即即所以，称所

5、以，称 是是 的线性组合，的线性组合，或或 可以由可以由 线性表示。线性表示。 1234, 1234, 7判断向量判断向量 可否由向量组可否由向量组 线性表示。线性表示。 12,m 向量向量 可由向量组可由向量组 线性表示的线性表示的 充分必要条件是：充分必要条件是： 12,m 以以12,m 为系数列向量，以为系数列向量，以 为常数项列向量为常数项列向量的线性方程组有解，且一个解就是线性表示的系数。的线性方程组有解，且一个解就是线性表示的系数。线性方程组的矩阵表示和向量表示：线性方程组的矩阵表示和向量表示： mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa221122222121

6、112121118令令111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa 1122nmxbxbxbxb方程组可表示为方程组可表示为Axb 12,nA 若若则方程组的向量表示为则方程组的向量表示为1122nnxxxb 9线性相关与线性相关与 线性无关线性无关.,A0,:6 . 62122112121线性无关称向量组否则线性相关称向量组使得如果存在不全为零实数给定向量组定义mmmmm，。kkkkkkA案例案例1：用定义判断线性相关性。：用定义判断线性相关性。(1) 向量向量, ,o 线性线性_关。关。(2) 向量向量, , 线性线性_关。关。相相相相10判断线性相关性的定理判断线性相关性的定

7、理n维向量组维向量组 线性相关线性相关m ,21.0有有非非零零解解 Ax mA ,21 其中其中反之反之,n维向量组维向量组 线性无关线性无关m ,21.0只只有有零零解解 Ax 12,mA 其其中中11案例案例 TTT7 , 4 , 2,5 , 2 , 0,1 , 1 , 1:321 已知已知试讨论向量组试讨论向量组 及向量组及向量组 的线性相关性的线性相关性.321, 21, 解：设数解：设数123,k k k使得使得1122330kkk成立。成立。即即123102012401570kkk 未知量为未知量为123,k k k系数行列式系数行列式1021240157 齐次线性方程组有齐次线

8、性方程组有非零解，所以向量非零解，所以向量123, 线性相关。线性相关。向量向量12, 对应分量不成比案例，所以线性无关。对应分量不成比案例，所以线性无关。12案例案例 n维向量维向量 TnTTeee1 , 0 , 0,0 , 1 , 0,0 , 0 , 121 讨论它们的线性相关性讨论它们的线性相关性.neeeE,21结论结论: 线性无关线性无关解解:上述向量组又称上述向量组又称基本向量组或单位坐标向量组基本向量组或单位坐标向量组.问题问题: n=3时时,321,eee分别是什么？分别是什么？13一些结论一些结论(1) 单个零向量线性相关单个零向量线性相关,单个非零向量线性无关；单个非零向量线性无关；(2) 包含零向量的任何向量组线性相关；包含零向量的任何向量组线性相关；(4) 有两个向量相等的向量组线性相关；有两个向量相等的向量组线性相关；(3) 基本向量组基本向量组 线性无关线性无关;neee,2114 (5) mn时，时， m 个