三重积分习题

1、常见的二次曲面常见的二次曲面1. 柱面柱面2. 锥面锥面3. 椭球面椭球面4. 双曲面双曲面5. 抛物面抛物面1x+ y=1yozx1z=xy. 所所围围成成的的区区域域 与与 0 , 1 : zyxxyzzyxzyxfIddd ),( 计计算算习题习题10-3 第第1(1)题题z =01x+ y=1ozx1yz=xy. 所所围围成成的的区区域域 与与 0 , 1 : zyxxyzzyxzyxfIddd ),( 计计算算习题习题10-3 第第1(1)题题11z =0ozxx+ y=1y Dxyzz ,y,xfyxI0)d(dd。zz , y,xfyxxyxd )(dd01 010 。z=xy.

2、 所所围围成成的的区区域域 与与 0 , 1 : zyxxyzzyxzyxfIddd ),( 计计算算习题习题10-3 第第1(1)题题1Dxy10 xz y习题习题10-3 第第1(2)题题习题习题10-3 第第1(3)题题azob12222 byaxyxcz=xy.区区域域。 所所围围成成的的在在第第一一卦卦限限的的及及0 1, )0( c : 2222 zbyaxcxyzzyxzyxfIddd ),( 计计算算习题习题10-3 第第1(4)题题zz = 0a12222 byaxcz=xyyxb.o区区域域。 所所围围成成的的在在第第一一卦卦限限的的及及0 1, )0( c : 2222

3、zbyaxcxyzzyxzyxfIddd ),( 计计算算习题习题10-3 第第1(4)题题azoxy cz=xyb.区区域域。 所所围围成成的的在在第第一一卦卦限限的的及及0 1, )0( c : 2222 zbyaxcxyzzyxzyxfIddd ),( 计计算算习题习题10-3 第第1(4)题题机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束20/37azoxy cz=xyb.zzyxfyxIDcxyd ),(dd zzyxfyxcxyaxaabd ),(dd Dxy:cxyz 围成围成 1 2 byax,y,xz = 0直角坐标直角坐标：上顶上顶：下底下底 由由 是是曲曲顶顶

4、柱柱体体, , 用哪种坐标？用哪种坐标？abDxyy x04. 计算三重积分计算三重积分 。其中。其中 是由曲面是由曲面 dxdydzzxy32 xyz 与平面与平面 ， 及及 所围成的闭区域。所围成的闭区域。 xy 1 x0 z分析分析: 由于积分区域和被积函数不具有利用由于积分区域和被积函数不具有利用“先二后一先二后一”、 柱面柱面 坐标和球面坐标计算的特点坐标和球面坐标计算的特点, 故本题考虑利用直角坐标来计算故本题考虑利用直角坐标来计算.解解: (1) 求求 （如图）在平面（如图）在平面 上的投影区域为上的投影区域为 xoyxyD10 ,0 : xxyDxy(2) 确定上顶曲面确定上顶

5、曲面 及下顶曲面及下顶曲面 。1 2 0 xyz(3) 转化为先对转化为先对 后对后对 的三次积分计算：的三次积分计算：zyx ,因为当因为当 时满足时满足 ， ,0 x0 yxyDyx ) ,(。因此。因此1 xyz :2 0: zzoxyz xy yx dxdydzzxy32 xyDdzzxydxdyxy 0 32 xyDdxdyyx6541 xdyyxdx 0 651 0 413641 习题习题10-3 第第7题题8. 计算三重积分计算三重积分 . 其中其中 是由锥面是由锥面 zdxdydz 22yxRhz 与平面与平面 所围成的闭区域。所围成的闭区域。 hz )0 , 0( hR被竖坐

6、标为被竖坐标为 的平面所截的平面闭区域为圆域的平面所截的平面闭区域为圆域 z22222 :hzRyxDz 故本题利用直角坐标系中故本题利用直角坐标系中“先二后一先二后一”的方法计算比较简便；的方法计算比较简便；222 :RyxDxy 所以本题也可采用柱面坐标计算所以本题也可采用柱面坐标计算解法解法1：利用利用“先二后一先二后一”方法计算。方法计算。由于由于 ， 0 ,) ,( | ) , ,(hzDyxzyxz 面上的投影区域为圆域面上的投影区域为圆域考虑到积分区域考虑到积分区域 在在 坐标坐标 xoy 分析分析 由于被积函数由于被积函数 只与变量只与变量 有关有关, 且积分区域且积分区域 z

7、 zzyxf ) , ,(xyzoRRhzD其中其中 ，故，故 22222 :hzRyxDz zdxdydz zDhdxdyzdz 0 hdzhzRz 0 222 hdzzhR 0 3222241hR 解法解法2：利用柱面坐标计算。利用柱面坐标计算。在柱面坐标下在柱面坐标下 20 ,0 , :RhzRh故有故有 zdxdydz hRhRdzzdd 0 2 0 RdRhh 0 2222)(212RRhh042222)421( 2241hR 注意：注意：从上面两种解法的过程来看从上面两种解法的过程来看, 虽然本题可用两种方法虽然本题可用两种方法来计算，但来计算，但“先二后一先二后一”法相对简便。法

8、相对简便。机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束26/379(2). 计算三重积分计算三重积分 , 其中其中 是由圆锥面是由圆锥面 zdxdydz 22yxz 与上半球面与上半球面 所围成的闭区域。所围成的闭区域。 222zxy分析：分析：本题可考虑用直角坐标系中的本题可考虑用直角坐标系中的“先二先二后一后一”法和柱面法和柱面坐标方法进行计算。坐标方法进行计算。 解法解法1：利用利用“先二后一先二后一”方法计算。方法计算。因因 ( , , )|( , ), 02zxyzxyDz 由于当由于当 时，时， ； 01z222 :zyxDz 而当而当 时，时， 。 12z222: 2zDxyz yzxo12D故需用平面故需用平面 将积分区域将积分区域 划分为两部分：划分为两部分：1z 21 1( , , )|( , ), 01zxyzxyDz 其中其中2( , , )|( , ), 12zxyzxyDz zdxdydz 21zdxdydzzdxdydz 1 2 0 1zzDDzdzdxdyzdzdxdy 1 222 0 1(2)zz dzzzdz124240111()44zzz2于是，得于是，得解法解法2：利用柱面坐标计算。利用柱面坐标计算。在柱面坐标下在柱面坐标下2: 2, 01, 02z