平面上的直线与斜率

1、歐亞書局2.3 平面上的直線與斜率平面上的直線與斜率歐亞書局2.3 平面上的直線與斜率平面上的直線與斜率學習目標 用線性方程式的斜截式繪圖。 求經過兩點的直線斜率。 用點斜式寫出直線的方程式。 求平行線以及垂直線的方程式。 用線性方程式做為實際生活問題的模型並解之。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-21歐亞書局斜率的使用斜率的使用 連結兩個變數的最簡單數學模型是線性方程式線性方程式 (linear equation) y mx b。這種方程式稱為線性，是因為其圖形是直線。當 x 0時，直線與 y 軸相交於 y b，如圖 2.31 所示。也就是 y 截距為 (0, b)。這條直

2、線的坡度或斜率為 m。斜率斜率 (slope) 即直線在由左至右水平移到 1 個單位時垂直上升 (或下降) 的單位數，如圖 2.31 所示。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-21歐亞書局斜率的使用斜率的使用第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-21 圖圖2.31歐亞書局斜率的使用斜率的使用 線性方程式寫成 y mx b 時稱為斜截式斜截式 (slope-intercept form)。一旦確定直線的斜率以及 y 截距，描繪其圖形就是相當簡單的事。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-21歐亞書局斜率的使用斜率的使用第二章函數、圖形與極限第二章函數、

3、圖形與極限P.2-22 注意下列的範例中，沒有任何直線是垂直的。垂直線的方程式為x a垂直線垂直線因為這類的方程式不能寫成 y mx b 的形式，所以垂直線的斜率是沒有定義的，如圖 2.32 所示。歐亞書局斜率的使用斜率的使用第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-22 圖圖2.32歐亞書局範例 1描繪線性方程式的圖形 描繪下列線性方程式的圖形。a. y = 2x + 1b. y = 2c. x + y = 2第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-22歐亞書局範例 1描繪線性方程式的圖形 （解）a. 因為 b 1，所以 y 截距為 (0, 1)。此外，因為斜率 m 2

4、，所以直線每往右移動 1 個單位就會上升 2 單位，如圖 2.33(a) 所示。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-22歐亞書局範例 1描繪線性方程式的圖形 （解） b. 將方程式寫成 y (0)x 2，可得 y 截距為 (0, 2) 以及斜率為 0。零斜率意味著直線是水平的，也就是不會上升或下降，如圖2.33(b) 所示。P.2-22歐亞書局範例 1描繪線性方程式的圖形 （解）c. 將方程式寫成斜截式。 x + y = 2 寫出原方程式寫出原方程式 y = x + 2 兩邊減兩邊減 x y = (1)x + 2 寫成斜截式寫成斜截式可得 y 截距為 (0, 2)。此外，因為斜

5、率是 m 1，所以直線每往右移動 1 個單位就會下降一單位，如圖 2.33(c) 所示。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-22歐亞書局範例 1描繪線性方程式的圖形 （解）第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-22 圖圖2.33歐亞書局範例 1描繪線性方程式的圖形 （解） 在實際生活問題中，斜率可解釋為比例或比率。當 x 軸和 y軸的單位相同時，則斜率沒有單位而只是一個比例比例 (ratio)。當 x軸和 y 軸的單位不同時，則斜率表示比率比率 (rate) 或變化率變化率 (rate of change)。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-23

6、歐亞書局檢查站檢查站 1 1 描繪下列線性方程式的圖形。a. y 4x 2b. x 1第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-23歐亞書局範例 2 ： 決策斜率視為比例的應用 輪椅坡道的建議最大斜率是 0.083。一家公司安裝一個輪椅坡道，其水平長度為 24 呎以及高度為 22 吋，如圖 2.34 所示。此坡道是否比建議的更陡峭？(資料來源：資料來源：美國障礙法案手冊美國障礙法案手冊)第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-23 圖圖2.34112歐亞書局範例 2斜率視為比例的應用 （解） 坡道的水平長度為 24 呎或者為 12(24) 288 吋，所以坡道的斜率是所以

7、此坡道並沒有比建議的陡峭。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-23 0.07622288垂直變化量斜率水平變化量吋吋歐亞書局檢查站檢查站 2 2第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-23 如果範例 2 的坡道在水平的長度為 26 呎時升高到 27 吋，是否比建議的坡道陡峭？歐亞書局範例 3斜率做為變化率的應用 一家製造公司確定生產 x 單位產品的總成本是 C 25x 3500，對此方程式的直線，說明 y 截距和斜率的實際意義。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-23歐亞書局範例 3斜率做為變化率的應用 （解） y 截距 (0, 3500) 表示生產

8、零單位的成本為 $3500。此為生產的固定成本固定成本 (fixed cost，不管生產多少單位都必須支付此成本)，斜率m 25 表示每生產一單位的成本是 $25，如圖 2.35 所示。經濟學家將每一單位的成本稱為邊際成本邊際成本 (marginal cost)，如果生產增加一單位，則邊際或額外的成本是 $25。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-23歐亞書局範例 3斜率做為變化率的應用 （解）第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-23 圖圖2.35歐亞書局檢查站檢查站 3 3 一家小公司購買一部影印機且在 t 年後的價值為 V 175t 875，對此方程式的直線

9、，說明 y 截距和斜率的實際意義。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-23歐亞書局直線的斜率直線的斜率 已知一個非垂直線的方程式，可將方程式寫成斜截式而求出斜率。如果沒有已知方程式，還是可求出斜率。例如，假設要求得經過點 (x1, y1) 和 (x2, y2) 之直線的斜率，如圖 2.36 所示。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-24歐亞書局直線的斜率直線的斜率第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-24 圖圖2.36歐亞書局直線的斜率直線的斜率 沿著直線由左往右移動時，在垂直方向有 (y2 y1) 單位的變化量相當於在水平方向有 (x2 x1)

10、單位的變化量，這兩種變化量以下列符號表示。y y2 y1 y 的變化量以及x x2 x1 x 的變化量(符號 是希臘文 delta 的大寫字母，符號 y 和 x 唸成“delta y”和“delta x”。)第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-24歐亞書局直線的斜率直線的斜率 y 和 x 的比值為經過 (x1, y1) 和 (x2, y2) 之直線的斜率。注意 x 代表一個數，而不是兩個數相乘 ( 和 x)，y 也是一樣。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-242121yyyxxx=斜率歐亞書局直線的斜率直線的斜率第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.

11、2-24歐亞書局直線的斜率直線的斜率 用這個公式求斜率時，減法運算的順序是很重要的。已知直線上的兩點，可任意令其中一點為 (x1, y1)，而另外一點為 (x2, y2)。一旦設定，分子和分母相減的運算順序要一致。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-24歐亞書局直線的斜率直線的斜率 例如，經過點 (3, 4) 和 (5, 7) 之直線的斜率算法為或745332m第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-2433224735m歐亞書局範例 4求直線的斜率 求經過下列每一對點的直線斜率。a. (2, 0) 和 (3, 1) b. (1, 2) 和 (2, 2)c. (0,

12、 4) 和 (1, 1) d. (3, 4) 和 (3, 1)第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-25歐亞書局範例 4求直線的斜率 （解）a. 令 (x1, y1) (2, 0) 和 (x2, y2) (3, 1) ，則可得斜率為如圖 2.37(a) 所示。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-2521211 0321 ()5yymxxyx值的差值的差歐亞書局範例 4求直線的斜率 （解）b. 經過 (1, 2) 和 (2, 2) 的直線斜率是第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-2500 2 2 2.37(b)21()3m 參考圖歐亞書局範例 4求直

13、線的斜率 （解）c. 經過 (0, 4) 和 (1, 1) 的直線斜率是第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-2555 1 4 2.37(c)1 10 m 參考圖歐亞書局範例 4求直線的斜率 （解）第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-25 圖圖2.37d. 經過 (3, 4) 和 (3, 1) 的垂直線斜率是無定義的，因為除以 0 是沒有意義 (參考 圖 2.37(d)。歐亞書局探索探索 範例 4(b) 的直線是一條水平線，求此直線方程式。範例4(d) 的直線是一條垂直線，求此直線方程式。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-25歐亞書局檢查站檢查站

14、 4 4 求經過下列每一對點的直線斜率。a. (3, 2) 和 (5, 18)b. (2, 1) 和 (4, 2)第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-25歐亞書局直線方程式的形式直線方程式的形式 如果 (x1, y1) 是斜率為 m 的非垂直線上的一個點，以及 (x, y) 是直線上的任意其他點，則這個含變數 x 和 y 的方程式可寫成 y y1 m (x x1) 的形式，稱為直線方程式的點斜式點斜式 (point-slope form)。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-2611yymxx歐亞書局直線方程式的形式直線方程式的形式第二章函數、圖形與極限第二章函

15、數、圖形與極限P.2-26 求非垂直線的方程式時，點斜式最好用，應該熟記此方程式以便今後隨時使用。歐亞書局範例 5用點斜式 求斜率為 3 且經過點 (1, 2) 的直線方程式。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-26歐亞書局範例 5用點斜式 （解） 用點斜式，已知 m 3 以及 (x1, y1) (1, 2)。 y y1 = m(x x1) 點斜式點斜式 y (2) = 3(x 1) 代入代入 m、x1 和和 y1 的值的值 y + 2 = 3x 3 化簡化簡 y = 3x 5 寫成斜截式寫成斜截式此直線方程式的斜截式是 y 3x 5，其圖形如圖 2.38 所示。第二章函數、圖

16、形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-26歐亞書局範例 5用點斜式 （解）第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-26 圖圖2.38歐亞書局檢查站檢查站 5 5 求斜率為 2 且經過點 (1, 2) 的直線方程式。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-26歐亞書局直線方程式的形式直線方程式的形式 點斜式可用來求經過點 (x1, y1) 和 (x2, y2) 的直線方程式，首先求此直線的斜率然後用點斜式可得方程式也稱為此直線方程式的兩點式兩點式 (two-point form)。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-26211221,yymxxxx歐亞書局

17、學習提示學習提示 一條直線的兩點式與斜截式相似，以兩點式表示的直線之斜率為何？第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-26211121()yyyyxxxx歐亞書局範例 6預測每股股價 Ruby Tuesday 公司每股股價在 2004 年是 $2.51，而 2005 年是$2.65。用這些資料，寫出以年為變數表示每股股價的線性方程式，然後預測 2006 年的每股股價。(資料來源：資料來源：Ruby Tuesday 公司公司)第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-27歐亞書局範例 6預測每股股價 （解） 令 t 4 表示 2004 年，則兩筆已知的數值用點 (4, 2.

18、51) 和(5, 2.65) 來表示，經過這兩點之直線的斜率為用點斜式，可求得表示股價 y 與年 t 關係的方程式是 y 0.14t 1.95。根據此方程式，在 2006 年的每股股價是 $2.79，如圖 2.39 所示 (這個實例中的預測相當準確，在 2006 年的實際股價是 $2.96)。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-272.652.51540.14m 歐亞書局範例 6預測每股股價 （解）第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-27 圖圖2.39歐亞書局檢查站檢查站 6 6 Energizer Holdings 公司每股股價在 2004 年是 $5.22，

19、在 2005 年是$6.01，將每一股的股價寫成以年為變數的線性方程式，令 t 4 表示 2004 年，然後預測 2006 年的每股股價。(資料來源資料來源：Energizer Hordings公司公司)第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-27歐亞書局直線方程式的形式直線方程式的形式 在範例 6 中所提的預測方法稱為線性外插法線性外插法 (linear extrapolation)。注意，在圖 2.40(a) 中外插點並不在給定兩點之間。當估計的點位於兩個給定點之間，如圖 2.40(b) 所示，這種方法稱為線性內插法線性內插法 (linear interpolation)。第二

20、章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-27歐亞書局直線方程式的形式直線方程式的形式 因為垂直線的斜率沒有定義，它的方程式不能寫成斜截式。然而，每一條直線的方程式都可寫成一般式一般式 (general form)，即其中 A 和 B 不能同時為 0。例如，垂直線 x a 可用一般式x a 0 來表示。下列為五個常用的直線方程式的形式。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-27歐亞書局直線方程式的形式直線方程式的形式第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-27歐亞書局平行線和相互垂直線平行線和相互垂直線 斜率可用來判定兩條非垂直線是否平行、垂直，或者都不是。第二

21、章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-28歐亞書局範例 7求平行線和相互垂直線第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-28 求經過點 (2, 1) 以及a. 與直線 2x 3y 5 平行的直線方程式。b. 與直線 2x 3y 5 垂直的直線方程式。歐亞書局範例 7求平行線和相互垂直線 （解） 將已知的直線方程式寫成斜截式，即由此可得所求的直線斜率為 ，如圖 2.41 所示。235 325 25 2 33xyyxxxy 寫出原方程式兩邊各減斜截式第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-2823m 歐亞書局範例 7求平行線和相互垂直線 （解）a. 與已知之直線平行

22、的直線，其斜率必定是 。所以經過 (2, 1)而與已知之直線平行的直線方程式為23第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-28歐亞書局範例 7求平行線和相互垂直線 （解）b.與已知之直線垂直的直線，其斜率必為 。所以經過 (2, 1) 且與已知之直線垂直的直線方程式為第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-282313-2或歐亞書局範例 7求平行線和相互垂直線 （解）第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-28 圖圖2.41歐亞書局檢查站檢查站 7 7 求經過點 (2, 1) 以及a. 與直線 2x 4y 5 平行的直線方程式。b. 與直線 2x 4y 5 垂直的直線方程式。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-28歐亞書局延伸應用：線性折舊延伸應用：線性折舊 大部分的營業費用在當年度都可扣除。有一種例外就是使用壽命超過一