材料力学（路桥）第9章应力和应变分析 强度理论(1)

1、 94 梁的主应力及其主应力迹线梁的主应力及其主应力迹线95 三向应力状态研究三向应力状态研究应力圆法应力圆法96 复杂应力状态的应力复杂应力状态的应力应变关系应变关系 （广义广义胡克定律）胡克定律）97 复杂应力状态的应变能密度复杂应力状态的应变能密度整理课件94 梁的主应力及其主应力迹线梁的主应力及其主应力迹线zxyzQSbIzxIMy12345P1P2q如图，已知梁发生剪切弯曲(横力弯曲)，其上M、Q 0，试确定截面上各点主应力大小及主平面位置。223122xyxx）（整理课件 A1A2D2D1CO A2D2D1CA1O 2a0 D2A1O 2a0CD1A2 A2D2D1CA1O D2C

2、D1O2a0= 90A1A2单元体：单元体： 1 15 5 x x1 1 3 3 x x2 2 1 1 3 3a0 x x xy3 3 1 1 3 345 xy4 4 1 1 3 3a0 x x xy整理课件主应力迹线（主应力迹线（Stress Trajectories) )： 主应力方向线的包络线曲线上每一点的切线都指示着该点的拉主应力方位（或压主应力方位）。实线表示拉主应力迹线；虚线表示压主应力迹线。拉力压力 1 3 1 3整理课件主应力迹线的画法：主应力迹线的画法：xy11截面截面22截面截面33截面截面44截面截面ii截面截面nn截面截面bacdq 1 3 3 195 三向应力状态研究

3、三向应力状态研究应力圆法应力圆法 1 2xyz 31231、空间应力状态、空间应力状态2、三向应力分析、三向应力分析弹性理论证明：图a单元体内任意一点任意截面上的应力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。图图a图图b整个单元体内的最大剪应力为：231max 1 2xyz 3 max12396 复杂应力状态的应力复杂应力状态的应力应变关系应变关系 （广义广义胡克定律）胡克定律）一、单拉下的应力一、单拉下的应力-应变关系应变关系ExxxyExzE二、纯剪的应力二、纯剪的应力-应变关系应变关系Gxyxy) 0 x,y,z(i,jij)( 0 x,y,zii0zxyzxyz xxyz x y三、复杂

4、状态下的应力三、复杂状态下的应力-应变关系应变关系依叠加原理,得：1 yxzxxyzEEEE xzyyE1yxzzE1GxyxyGyzyzGzxzxzyxxE1 xyz z y xy x主应力主应力-主应变关系：主应变关系：13221E12331E32111E 1 3 2主应力与主应变主应力与主应变方向一致：方向一致：0202tg)()1)(1222tgaayxxyyxxyyxxyEG四、平面应力状态下的应力四、平面应力状态下的应力-应变关系：应变关系：0zzyzx3233112011221E22121E321ExyxyGyxxE21xyyE21zxyE 五、体积应变与应力分量间的关系五、体积

5、应变与应力分量间的关系123Va a a变形前：1112233(1)(1)(1)Vaaa变形后：3211VVV体积应变：)(21 )(21321zyxEE体积应变与应力分量间的关系： 1 3 2a1a2a3例例2 已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变分 别为：24010-6，16010-6，弹性模量E=210GPa，泊松比 为 ， 试求该点处的主应力及另一主应变。3 0 解：自由面上11229621210 10 (2400.3 160) 1044.3MPa10.3E所以，该点处的平面应力状态22129621210 10 ( 1600.3240) 1020.3MPa10.3E 122

6、316960.3 ( 22.344.3) 10210 10 34.3 10E 12344.3MPa 0 20.3MPa ，12344.3MPa 20.3MPa 0 ，9-7 复杂应力状态的应变能密度复杂应力状态的应变能密度1122332221231232131112221 22vE )(31321m 2 3 1图图 a图图 c 3 - m 1- m 2- mbaE)(213210c m图图 b m m222d12233116vE图图 c 3 - m 1- m 2- m m图图 b m m图b单元体的应变能密度（体积改变能密度）：图c单元体的应变能密度（畸变能密度）：2v123126vE例例3 用能量法证明三个弹性常数间的关系。2122vG纯剪单元体的应变能密度为：纯剪单元体应变能密度的主应力表示为：2221231232132221221 0()200()21 vEEE 2 1EG xyA13整理课件知识点的回顾