时课题：向量内积的坐标运算与距离公式

1、第2-3课时 课 题：向量内积的坐标运算与距离公式教学目标：要求学生掌握平面向量内积的坐标公式（2）要求学生掌握平面向量长度的坐标公式掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式能用所学知识解决有关简单问题 .教学重点：平面向量内积的坐标公式教学难点：平面向量内积的应用（平面向量内积的坐标公式的简单运用）教学过程：一、复习引入:1. 两个非零向量夹角的概念已知非零向量a与b，作OA = a , OB = b，则Z AOB = 9 （o< 9 < n ） 叫 a与b的夹角2. 平面向量内积的定义：已知两个非零向量 a与b ,它们的夹角是9 ,则数量| a | b |co

2、s二叫a与b的数量积，记作 a b，即有a b = | a | b |cos二,（0< 9 < n ）.并规定0与任何向量的数量积为0.3向量的内积的几何意义：内积a b等于a的长度与b在a方向上投影| b |cos二的乘积.4.两个向量的内积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.1e a = a e =| a |cosv；2 a _b ：= a b = 03当a与b同向时，a b=I a | b | ;当a与b反向时，a b = -|a | b |.特别 2 的 a a = | a| 或| a I= a aa b- -_4 cos 71 =; 5 I a b I

3、 < | a II b |a|b|5平面向量内积的运算律交换律：a b = b a数乘结合律：（，a）b =，（ a b ） = a（ b ）分配律：（a + b ） c = a c + b c、讲解新课:1. 平面两向量内积的坐标公式已知两个非零向量 a = (a1,a2), b =(b|,b2)，试用a和b的坐标表示a b .设i是x轴上的单位向量，j是y轴上的单位向量，那么a,i a2j，b1i b2j所以 a b = (a1i a2 j)(b1i b2 ja1b1i2 a1b2i j b1a2i j a2b2 j2又 i i = 1， j j = 1， i j = j i = 0

4、，所以 a b = a1b a2b2这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即a b = ad a2b22. 平面内两点间的距离公式- 2 2 2 2 2(1) 设 a = (a1 ,a2)，贝U | a |= a1a2 或 |a |二 a1a?.(2) 如果 A(x1，yJ、B(X2,y2)，那么 dA,B=| AB |二打&1 - X2)2 厲-y2)2 (平面内两点 间的距离公式)3. 向量垂直的判定设a =(&1, a?) , b (b|,b?)，则 a 丄 ba1 b<i*a? b?= 04. 两向量夹角的余弦(0 _二_：)cos Tl =a b

5、|a| |b|x 1 x 2y22 2.2 2X1y1x 2目 2三：讲解范例：例 1.已知 a = (3, -1 ) , b = (1, -2 ).求 a b , | a | , | b |,< a , b >.解： a b =3x 1+(-1) x (-2)= 5 |a|= . a2a；=. 32(-1)2=、10|b |= .b；b；=.12(-2)2=、.5- a b542t co s< a , b > =|a | |b | J10 J52-, 0二 < a, b >=45例2.已知A,B两点的直角坐标分别是 A(-2 , 5),耳3 , -4)，求

6、dw解：dA,B=7B =J3_(-2)P + (_4_5f = J25 + 81 =7106例3.已知 ABC的三顶点坐标分别为 A（2 , -1） , B（4 , 1） , C（6 , -3），证明 ABC是等腰 三角形（本例引导学生根据两点间距离公式计算各边长度，比较后得出结论）证明：|AB = . （4 一2）2 1 一 一1 I2 4 4=2,2岡=v（4）（-lf = J4+16 = 245|ac = ： （6 -2）2 -3壬1 F =如16 4 = 2、5因此 BC = AC,从而 ABC是等腰三角形.例 4.已知：点 A（ 1，2），B（2，3），C（-2，5）.求证：AB

7、_ AC .证明：/ AB= （2，3）（ 1，2） = （1，1）AC = （-2， 5） - （1， 2） = （-3， 3）又 AB AC= （1，1 ）（ -3，3） =0 AB _ AC四、课堂练习1.已知 a =（3 ，-1），b = （1，2），求满足x a = 9与x b = -4的向量x.解：设x = （ t，S），3t -s=9t 2s = -4s - -3- x = （2，-3）2.已知a =（1，v 3）， b =（ x/3 +1，贝U a与b的夹角是多少？分析：为求a与b夹角，需先求a b及Ia I !b丨，再结合夹角0的范围确定其值.解：由a =（1，.3 （ , 3 1）=4，|=2，| b I=22.记a与b的夹角为则cosJT4评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定3.右 a =（-4 ，3），b=（5，6），贝y 3| a | 4 a b =A.23B.57C.63D.834.已知 A（1，2），B（2，3），C（-2，5），则 ABC（）A.直角三角形B锐角三角形C.钝角三角形D.不等边三角形5. a=(2 , 3), b =(-2 , 4)，则(a +b ) ( a - b )=.6. 已知 A(1 , 0) , B(3 , 1) , C(