第四章节拉普拉斯方程格林函数法

1、二 格林公式及其结论2()dddVSVvuvVuSuv Vn 22()d()dVSvuuvvuVuvSnn 格林公式的结论：1 调和函数的积分表达式拉普拉斯方程的基本解222221111lnlnrxyzkrxy三维二维2 牛曼内问题有解的必要条件3 平均值公式4 拉普拉斯方程解的唯一性问题调和函数在区域内任一点的值可以通过积分表达式用这个函数在区域边界上的值和边界上的法向导数来表示。0111()( )d4Suu MuSn rrn ufn22()d()dVSvuuvvuVuvSnn d0SuSn取1v d0Sf S 021()d4aku Mu Sa狄氏问题的解唯一确定，牛曼问题的解除了相差一常数

2、外也是唯一确定的。三 格林函数 r)(2Mu1()4u Mr02)(rr Mu01()4MMu Mr0原点处点电荷电量 ， r0点电荷密度M),(zyx处点电位00M),(000zyx0r即 处点电荷电量00rr 点电荷密度M),(zyx处点电位1M101rr F112)(rr FMu11()4MMFu Mr2M202rr F222)(rr FMu22()4MMFu Mr11222)(rrrrFFMu121244MMMMFFrr0( )F2()( )u MF 001()( )d4MMu MFVr20u ),(0MMG纯点源产生的场（不计初始条件和边界条件的影响）0001()()d4MMu MF

3、 MVr001(,)4MMG M Mr自由空间的格林函数线性系统( ) t( )h t线性系统( )f t( )( )f th t0000000011(,)()()d()d44MMMMG M MF MF MMF MMrrr1 格林函数定义0|,)(02uMu内rr000d)(),()(VMFMMGMu0|,)(2uMFMu内0(,)G M M)(|,)(2MfuMFMu内）（2()0,|()u Muf M内000(,)()()dG M Mu Mf MSn 对泊松问题对拉普拉斯问题000000d)(),(d)(),()(SMfnMMGVMFMMGMu2 拉普拉斯方程的格林函22()d()dVSv

4、uuvvuVuvSnn ()d0SvuuvSnnu，v均为调和函数0111()( )d4Suu MuSn rrn 0001111()()()d44SMMMMvuu MuvSnn rrn0114MMvrv为调和函数，且满足0011()() d4SMMu MuvSnr 0()dSGu MuSn 0011()4MMG Mvr2()0,|()u Muf M内3 区域的格林函数和狄氏问题的解电象法求格林函数 在区域外找出区域内一点关于边界的象点，在这两个点放置适当的电荷，这两个电荷产生的电位在曲面边界上相互抵消。这两个电荷在区域中形成的电位就是所要求的格林函数。101141),(0MMMMrrMMG半空

5、间的格林函数0114MMvrv为调和函数，且满足0011()4MMG Mvrzddqqpxo0MMr1MMrzddqqxo0MMr1MMr1M0MMyxyxfyxuzyxzuyuxu,),()0 ,(0, 0222222101141),(0MMMMrrMMG2020202020204141zzyyxxzzyyxx00(,)()()dG M Mu Mf MSn 00(,)|( , )dzG M Mf x ySz例1 求解下列定解问题解：20202020202004141),(zzyyxxzzyyxxMMG00(,)()|( , )dzG M Mu Mf x ySz0000|),(zzMMG2/3

6、20202021zzyyxxz02/320202002/320202000|44zzzyyxxzzzzyyxxzz 0002/3202020dd)(21)(yxMfzzyyxxzMuyxyxfyxuzyxzuyuxu,),()3 ,(3, 0222222),(0000zyxM)6 ,(0001zyxM104141),(0MMMMrrMMG0(,)()()dG M Mu Mf MSn 20202020202064141zzyyxxzzyyxx03(,)|( , )dzG M Mf x ySz3 z例2 求解下列定解问题解：四分之一空间的格林函数 3210111141),(0MMMMMMMMrrrrMMG球内的格林函数 210RrrOMOM010