椭圆专题复习讲义

1、椭圆专题考点1椭圆定义及标准方程题型1:椭圆定义的运用例1 （湖北部分重点中学高三联考 ）椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线， 经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为 2a,焦距为2c,静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿 直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是A. 4aB. 2（a c）C. 2（a+c）D.以上答案均有可能【变式训练】1短轴长为,5，离心率e -的椭圆两焦点为Fi, F2,过Fi作直线交椭圆于 A B两点，则 3 ABF的周长为（）A.3B.6C.12D.241上的一

2、点，M ,N分别为圆（x 3）22y 1和圆2 22.已知P为椭圆25 16(x 3)2 y2 4上的点，贝U PMPN的最小值为A.5B.7C . 13)D.15题型2求椭圆的标准方程例2 设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且 此焦点与长轴上较近的端点距离为4 2 4，求此椭圆方程.【变式训练】3.如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数 k的取值范围是 4椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是.3，求这个椭圆方程.考点2椭圆的几何性质题型1:求椭圆的离心率（或范围）例3 在厶ABC中，

3、A 30°,|AB| 2,S ABC3 若以A, B为焦点的椭圆经过点 C ,则该椭圆的离心率 e .【变式训练】5.如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍A.dB.三,那么这个椭圆的离心率为C.二2D丄26.已知m,n,m+n成等差数列，m,n , mn成等比数列，则椭圆2y_n1的离心率为427.已知点代B是椭圆2x2m题型2:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）2 2例4 已知实数x y满足 1,求x2 y2 x的最大值与最小值42【变式训练】2占 1 (m 0, n 0)上两点，且AOn2 28.如图，把椭圆 乂 1的长轴AB分成8等份，过每个分点作 x轴2516的垂线交椭

4、圆的上半部分于 r,f2,P3,F4,F5,F6,F7七个点，F是椭圆的 一个焦占I 八 '、八、BO,则=则|PFP2FI |F3F| IP4F F5F PeF| |时| 考点3椭圆的最值问题2x例5 椭圆一162y1上的点到直线l:x y 90的距离的最小值为9【变式训练】9.椭圆2 x162'1的内接矩形的面积的最大值为210. P是椭圆笃a2i上占b2FiF2是椭圆的两个焦点，求| PFi | | PF2 |的最大值9与最小值211.已知点P是椭圆 y1上的在第一象限内的点，又A(2,0)、B(0,1),4O是原点，则四边形 OAPB的面积的最大值是 考点4椭圆的综合应

5、用题型：椭圆与向量、解三角形的交汇问题例6 已知椭圆C的中心为坐标原点 O,个长轴端点为 0,1 ,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线I与y轴交于点P( 0, m),与椭圆C交于相异两点 A、B,且AP 3PB .(1) 求椭圆方程；(2)求m的取值范围.2x例7 、从椭圆a2y21(a b 0)上一点P向x轴引垂线，垂足恰为椭圆的左焦点b 若P是该椭圆上的一个动点，求PFJPF2的最大值和最小值； 设过定点M(0,2)的直线I与椭圆交于不同的两点A、B，且 AOB为锐角(其中O为坐标原点)，求直线I的斜率k的取值范围。Fi, A为椭圆的右顶点，B是椭圆的上顶点，且OP(0).、求该椭

6、圆的离心率、若该椭圆的准线方程是x 2,5，求椭圆方程【变式训练】题型：椭圆与直线的综合问题例8 、设Fi、F2分别是椭圆x22y 1的左、右焦点。例9卜已知N（、5,0） , P是圆M :（x 、5）2 y2 36 （ M为圆心）上一动点，线段PN 的垂直平分线I交PM于Q点。（1）求点Q的轨迹C的方程；（2）若直线y x m与曲线C相交于A、B两点，求 AOB面积的最大值。2 2例10卜已知椭圆笃爲 1（a b 0）的一个焦点与抛物线 y2 4.3x的焦点F重合, a b且椭圆短轴的两个端点与F构成正三角形。（1）求椭圆的方程；2）若过点（1,0）的直线l与椭圆交于不同两点P、Q，试问在x

7、轴上是否存在定点E（m,0），使PE|qE恒为定值？若存在，求出E的坐标及定值；若不存在，请说明理由。例11卜 已知椭圆的中心为坐标原点O,椭圆短半轴长为 1，动点M（2,t）（t 0）在直线2x （ a为长半轴，c为半焦距）上。c（1）求椭圆的标准方程（2） 求以OM为直径且被直线3x 4y 5 0截得的弦长为2的圆的方程；（3）设F是椭圆的右焦点，过点 F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点 N。求证: 线段ON的长为定值，并求出这个定值。例12 、如图，在平面直角坐标系xoy中，已知Fi( 4,0) , F2(4,0) , A(0,8)，直线y t(0 t 8)与线段AFi、AF2分别交

8、于点P、Q.(1)当t 3时，求以Fi,F2为焦点，且过PQ中点的椭圆的标准方程;(2)过点Q作直线QR / AF1交F1F2于点R，记PRR的外接圆为圆C .求证：圆心C在定直线7x 4y 80上;圆C是否恒过异于点由F1的一个定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理2x例13 、已知椭圆a2y21(a b 0)的右焦点为F(1,0) , M为椭圆的上顶点，O为b2坐标原点，且 OMF是等腰直角三角形。(1)求椭圆的方程；2)是否存在直线I交椭圆于P , Q两点， 且使点F PQM的垂心(垂心：三角 形三边高线的交点)？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由。2x例14 、已知椭

9、圆Cab21(a b0)的离心率为-，直线I过点A(4,0)2B(0, 2),且与椭圆c相切于点p 。(1)求椭圆C的方程；2)是否存在过点 A(4,0)的直线m与椭圆C相交于不同的两点 M、N，使得236 AP 35 AM AN ?若存在，试求出直线 m的方程；若不存在，请说明理由。BDB1八3 1 A -2面积为1时,PFipf2的值为A、0 B、D、3FiPF2X23.椭圆362y91的一条弦被 A(4, 2)平分,那么这条弦所在的直线方程是A. x2yB. 2x y 10 0C. 2x y 2 0D.x 2y 804.在 ABC 中,390 , tanB .若以A, B为焦点的椭圆经过

10、点4C,则该椭圆的离心率e .5.已知R, F2为椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点 若 PF1F2 : PF2F1 :则此椭圆的离心率为 .F1PF21:2:3,6.在平面直角坐标系中，椭圆2_1( a b 0)的焦距为2,以O为圆心，a为半径b的圆，过点2a,0c作圆的两切线互相垂直，则离心率e =基础巩固训练1.如图所示，椭圆中心在原点,F是左焦点，直线AB1与BF交于90 ,则椭圆的离心率为(B 亠C512 22x2.设F1、F_为椭圆+y_=1的两焦点，P在椭圆上，当4综合提高训练2 27、已知椭圆 笃与 1 (a b 0)与过点A(2, 0), B(0, 1)的直线l有且只有一个公共点 a bT,且椭圆的离心率e3.求椭圆方程2x8已知A、B分别是椭圆a圆上，线段PB与y轴的交点(1)求椭圆的标准方程；2爲 1的左右两个焦点， O为坐标原点，点 P( 1,)在椭 b22(2)点C是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于sin A sin BABC,求的值。si nCM为线段PB的中点。9.