椭圆轨道上行星运动速度和能量

1、行星在椭圆轨道上运动的速度和能量【摘要】本文用万有引力和开普勒定律，结合椭圆的对称性，讨论了行星沿椭圆轨道运动 中速度的变化规律以及行星在运动中的能量变化情况。【关键词】行星运动的速度、椭圆轨道、行星、机械能守恒、动能、引力势能【正文】一、在近日点和远日点两个速度的比较行星经过近日点和远日点时，运动的曲率半径相同，这是因为椭圆具有对称性。这样的话,设这个曲率半径是对于经过近日与远日点时分别有:ai 二2Vi由（1）（ 2）可得:GM2V|2ri2V2a2GM222ri即:另外，在近日点时riepep1 -ecos二1 e在远日点时r2 =epep1 ecosO 1 - e代入（1）式有vL 1

2、 e v2 1 -e上面的问题也可以按照下面的过程思考:由开普勒第三定律知1 2 "A r(5)2已知行星在近日点和远日点无径向速度，故横向速度等于其合速度，有6)v =r日)将(6)代入(5)有:Arv2对于近日点和远日点来说，有：riVi = r2v2。稍做变形就可以得到上面的结果了，从略。二、行星运动到一般位置的速度在极坐标中Vr =r ,v 厂 3 ,其中Vr、V，分别表示径向速度和横向速度。ep由椭圆方程r得:1 ecos 日ep =1 -ecos)两边对时间求导，有:epr 二 esin " r整理可得：29)Lsin “P行星运动的速度为:2 22；2曲宀r2

3、V = . VrV.=2ecos 日 +e2ep即:10)r2 ：-2v.1 -2ecos e ，”ep这个结果中只有 二是变量，其它都是常数，特别是r2二为常数。这表明: 0乞二岂:时，v是增函数，v随二的减小而增大；:2二时，v是减函数，v随二的增大而减小。实际上，由于reP，所以上面的结果也可以用r来说明:1 -ecos0 一二_ 时，v是增函数，v随r的减小而增大；二“：v “： 2二时，v是减函数，v随r的增大而减小。三、行星运动过程中的能量由动能的表达式及（10）式可知：厂m（1 2ecos日 +e2 ） | r2日.k2ep下面我们讨论行星运动中的掠面速度表达式：椭圆面积：S 二

4、二ab,（12）其中a、b分别表示椭圆的长轴和短轴，对椭圆方程r Pe 来说，1 -ecos 日当 =0时，r Pe ,（13）1 -e当V -二时，pe1 e如图1所示,可知:A r2 =2a.(15)可得:r1用红色的线段来表示，r2用绿色的线段来表示。由( 13) (14)a16)2-c=、：a2 _(ae jep17)将（16）(17)式代入（12）式可知:ep1 -e2_ep_J-e212 2: e p18)掠面速度2-e从而有:T 1 - e2将（19）式代入（11）可知:2-eE _ m1 - 2ecosr e21ep4-2e4T21 -e2ml2ecos eH3 d-e2 丿e

5、p4二2ml -2ecosr eT23aepT2上式中最后一个因子 笃出现在开普勒第三定律中，我们知道，它是一个常数，在这里我们T2用k来表示这个值。有：0aOE4r k m(1 2ecos日 +e )(20)ep2另外，由“从开普勒定律到牛顿万有引力定律”一文知道:2GM = 4c. k代入（20）式有:221)匚 _ GM m 1 -2ecos j e EkepF面求行星运动中的引力势能。我们采用传统的方法规定零势能点，即规定无穷远处势能为零。有:Ep雪 =GMm rGMm(22)epr代入上式可得:1 -ecosEpGMm 1 - ecos 二ep23)由（20）（ 23）两式可得行星运

6、动中的机械能总量m 1 - 2ecos： e2GMm 1 - ecos2 i ep J二 GMm 12ecosv e22 2ecos) 2ep= GMme2_12ep2GMm 1 -e=2 epGMm2a即:GMm2a这个结果说明，对于质量相同的行星来说（或者对于质量相同的地球的卫星来说）<1>行星运动过程中机械能守恒;<2>轨道半长轴相等的卫星的能量相等;<3>半长轴为a的椭圆轨道上的行星能量与半径为a的圆轨道上运动的行星相同。F图是半长轴相等的椭圆族，在这些轨道上运动的质量相等的行星具有相等的能量。1-0 s亡a呂咗1-O.4cosi(e)s(i-a s5)出射=hrQ> =5-( 1-Q.?2)6(1-0