椭圆离心率总结汇总

1、关于椭圆离心率X2设椭圆 2a2 y b21( a b0)的左、右焦点分别为 F1、圆上存在点P,使F1PF290 ,求离心率e的取值范围。解法1:利用曲线范围，如果椭设 P (x, y)，又知 F1 ( c, 0), F2 (c, 0)，则F1P (x c，y)， F2P (x c，y) 由 Fi PF2 90，知 F1P F2P， 则 FiP F2P 0，即(x c)(x c) y20222得xy c将这个方程与椭圆方程联立，消去2 2 2, 22 a c a bx2,2a b但由椭圆范围及知0y,可解得可得22x a2 22, 2a c a b2a2 c从而得所以e解法2:由椭圆定义知F

2、1PF290b2b2，即 c2c 2e a t，.2厅，1)利用二次方程有实根2|PFj IPF2I 2a IPF1I2IPF2I22IPF1IIPF2I 4a又由 F1PF290，知|PFIPF2I2 IM 4c2 则可得 IPF1IIPF2I 2(a2 c2)这样，IPFJ与IPF2I是方程u2 2au 2(a2 c2)0的两个实根，因此4a28(a2 c2)0e2a2因此e , 1)2解法3:利用三角函数有界性记 PF1F2，PF2 F1IPF1I IPF2I 尸冋 sinsin sin90，由正弦定理有IPF1I IPF2I sin sinIF1F2Ic11ea sinsin2 sin

3、cos2 2而0 II90知0452i2Acos12 2又IPF1I IPF2I 2a，IF1F2I 2c,则有2 cos2从而可得e 12解法4:利用焦半径由焦半径公式得|PF11 a ex， |PF2| a ex又由 | PF112 |PF2|2 |F1 F2|2，所以有a 2cx ex a 2cx ex 4cc 222c a2e且xa，则知0即a2 e2x2 2c2，x2又点P( x，y)在椭圆上,x2a2，即解法2 22c a 2 2 a e2云，D5:利用基本不等式由椭圆定义，有2a |PF1|IPF2I平方后得2 2 2 2 24a|PFi| IPF2I 2| PF1IIPF2I

4、2（|PFj 門| ）2 22|FiF2| 8cc2 1、2得与 1 所以有e 鼻，1)a2 22解法6:巧用图形的几何特性由F1PF290，知点P在以厅汗2| 2c为直径的圆上。又点P在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点P故有c bc2b2 a2 c22，由此可得e1)水深火热的演练一、直接求出a, c或求出a与b的比值，以求解e。c cc2a2 b2b2在椭圆中，e , e22 12a a aa . a1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于2.已知椭圆两条准线间的距离是焦距的2倍，则其离心率为13. 若椭圆经过原点，且焦点为F1 (1,0), F2(3,0),则椭圆的离心率为

5、一_2_4. 已知矩形 ABCD AB= 4, BC= 3，则以A B为焦点，且过 C D两点的椭1圆的离心率为。25.若椭圆2y21,(a b 0)短轴端点为P满足PF1bPF2，则椭圆的离心率为e126.已知1 (mm n2 2O.n 0)则当mn取得最小值时，椭圆 二1m n的的离心率为2 27.椭圆笃笃 1(aa b分别为M, N，若b 0)的焦点为F1, F2，两条准线与x轴的交点MN <F1F2 ,则该椭圆离心率的取值范围是8. 已知F1为椭圆的左焦点，A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆2上的点，当PF丄F1A,PO/ ABO为椭圆中心)时，椭圆的离心率为e 。22

6、29. P是椭圆 与+与=1 ( a> b >0) 上 一点，印 F2是椭圆的左右焦点，已知a2b2PFF2 , PFF 2 , FFF2 3 ,椭圆的离心率为e 43 110. 已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，若PF1F215 , PF2F175 ,则椭圆的离心率为311.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为 2，焦点到相应准线的 距离为1,则该椭圆的离心率为 22 2xV12.设椭圆 二 亍=1 (a> b> 0)的右焦点为 F1,右准线为丨1,若过F1ab且垂直于213.椭圆笃ax轴的弦的长等于点 F1到11的距离，则椭圆的离心率是 -。22爲

7、 1 ( a>b>0)的两顶点为 A( a,0)B(O,b),若右焦点 Fb21到直线AB的距离等于一I AFI，则椭圆的离心率是2214.椭圆Xa2 y b21 (a>b>0)的四个顶点为 A、B、C D,若四边形 ABCD的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率是2x15.已知直线L过椭圆 a2每 1 (a>b>0)的顶点 A (a,0 )、B(0,b), b如果坐标原点到直线 L的距离为a，则椭圆的离心率是32 x16.在平面直角坐标系中，椭圆a2y71( a b 0)的焦距为2，以0b2为圆心，a为半径作圆，过点,0作圆的两切线互相垂直，则离心c217.设

8、椭圆务a方程ax2（A ）A.必在圆C.必在圆2y21(a b 0)的离心率为bbx0的两个实根分别为1e ，右焦点为2x1和x2，则点F(c,O),P(xi,X2)2x2x2y2yB.D.必在圆x2 y2以上三种情形都有可能二、构造a, c的齐次式，解出e1.已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是2 以椭圆的右焦点 F2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于N两点，椭圆的左焦点为F1,直线 MF与圆相切，则椭圆的离心率是3.4.5.6.31以椭圆的一个焦点 F为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心 O并且与椭 圆交于M N两点，如果I MFI = I MO，则椭圆的离心

9、率是氈 1设椭圆的两个焦点分别为 R、F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若AF 1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是.2 1已知R、F2是椭圆的两个焦点，过F且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若 ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是3设F1> F2分别是椭圆准线上纵坐标为、3c圆的离心率是22x_2 .2a b（c为半焦距）的点，且 F1F21a b 0的左、右焦点，P是其右F2P，则椭三、寻找特殊图形中的不等关系或解三角形。1.已知内部,F1、F2是椭圆的两个焦点，满足 则椭圆离心率的取值范围是（0,）20的点M总在椭圆R、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点

10、，且 椭圆离心率e的取值范围为,122.已知Fi PF290 ,3.已知FF2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且F1PF260 ,24.设椭圆笃a使/F iQF=120o,椭圆离心率e的取值范围为一6 e 15 .在 ABC 中,AB BC ,cosB718若以A, B为焦点的椭圆一 1椭圆离心率e的取值范围为,121 (a>b>0)的两焦点为Fi、F2,若椭圆上存在一点 Q经过点C，则该椭圆的离心率26 .设F1, F2分别是椭圆笃a右准线上存在P,使线段范围是上3,32y_ b2PF1的中垂线过点0)的左、右焦点，若在其F2，则椭圆离心率的取值7.如图，正六边形ABCDE的顶

11、点A D为一椭圆的两个焦点，其余四个顶点B、C、E、F均在椭圆上，则椭圆离心率的取值范围是、3 1F*E1=-C椭圆离心率的解法椭圆的几何性质中，对于离心率和离心率的取值范 围的处理，同学们很茫然，没有方向性。题型变化很多, 难以驾驭。以下，总结一些处理问题的常规思路，以帮 助同学们理解和解决问题。一、运用几何图形中线段的几何意义。基础题目：如图，0为椭圆的中心，F为焦点，A为顶 点，准线L交0A于B, P、Q在椭圆上，PD丄L于D,QF丄AD于F,设椭圆的离心率为e则e禺I A0|” e=I AF|I BA|I F0|I AO |评：AQP为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，。AO| =a,

12、 | 0F| =c, 有；T| AO| =a, |2BO | =有。c2 2x y题目1:椭圆h + =1(a>b >0)的两焦点为Fi、 a bF2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e?思路：A点在椭圆外，找a、b、c的关系应借助 椭圆，所以取 AF2的中点B,连接BFi ,把已知条 件放在椭圆内，构造 F1BF2分析三角形的各边长 及关系。解：| F1F2 | =2c | BFi | =c | BF2 |c+ ；3c=2a e=-12 2x y变形1 :椭圆h +厂=1(a>b >0)的两焦点为Fi、a bF2 ,点P在椭圆上，

13、使厶OPF为正三角形，求椭圆离心率？解:连接 PF2,贝,OF | = | OF | = | OP| , / FiPH=90 °图形如上图，e=；3-12 2x y变形2:椭圆 h + =1(a>b >0)的两焦点为a bFi、F2 , AB为椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PFi丄X轴，PF2 II AB,求椭圆离心率？b2 PR | = -a| F2F1 | =2c | 0B| =b |OA| =aPF2 II AB| PFi | b| F2 Fi | = a又 t -=a2-c2 a2=5c2 e=5点评：以上题目，构造焦点二角形，通过各边的 几何意义及关系，推导有关

14、a与c的方程式，推 导离心率。二、运用正余弦定理解决图形中的三角形2 2x y题目2:椭圆 孑 + 计=1(a>b >0)，A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，/ ABF=90 ,求e?解：| A0| =a | OF | =c| BF | =a | AB |a -c -ac=0 两边2 2 2 2 2 2a +b +a =（a+c） =a +2ac+c同除以a22 -1+ ,5-1-5 人亠e +e-1=0 e= 2°=2（舍去）变形：椭圆x2 y2-1+5犷 + b=1（a>b >0），e=, A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，求/ ABF

15、?点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题 中分析各边，由余弦定理解决角的问题。答案：90°引申：此类e=一;的椭圆为优美椭圆。性质：1、/ ABF=90° 2、假设下端点为 Bi ,则ABFB四点共圆。3、焦点与相应准线之间 的距离等于长半轴长。总结：焦点三角形以外的三角形的处理方法根据 几何意义，找各边的表示，结合解斜三角形公式， 列出有关e的方程式。2 2x y题目3 :椭圆 h + 厂=1(a>b >0)，过左焦点Fi且a b倾斜角为60°的直线交椭圆与 AB两点，若|FiA | =2 | BF | ,求 e?解：设 | BFi | =m 贝

16、U| AF> | =2a-am | BF2 |=2a-m在厶AF1F2及厶BFF2中，由余弦定理得:两式相除2a-c2a+ca2 c2=m(2a-c)2(a 2-c 2)=m(2a+c)1 2= e=2 e 32 2x y题目4:椭圆 h + =1(a>b >0)的两焦点为F1a b(-c , 0)、F2 (c,0),P是以| F1F2 |为直径的圆与椭圆的一个交点，且 / PF1F2 =5 / PF2Fi ,求 e?分析：此题有角的值，可以考虑正弦定理的应用解：由正弦定理：| F1F2 | F1P |sin F 1PF2sin F 1F2P丨PR |sin PF 1F2根据

17、和比性质：2aI F1F2 | F1P I + | PF2 I变形得:| F1F2 | PF2 | + | F1P |sin F 1PF2sin F1F2P +sin PF 1F2sin F 1PF2sinF HP+sin PF 1F22c=e/ PF1F2 =75 ° Z PER =15sin90 ° sin75 ° +sin153点评：在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知sin F 1PF2e=sin F 1F2P +sin PF 1F222x y变形1:椭圆 h + 厂=1(a>b >0)的两焦点为Fi a b(-c , 0)、F2 (c,

18、0), P 是椭圆上一点，且/F1PF2 =60。，求e的取值范围？分析：上题公式直接应用。解：设/ F1F2P=a,则/ F2F1P=120° - asin F 1PF2e=sin F 1F2P +sin PF 1F2sin60 °sin a +sin(120 ° - a )111>we<12sin( a+30 °) 2222x y变形2:已知椭圆y+厂=1 (t>0) F1F2为椭圆4 4t两焦点，M为椭圆上任意一点(M不与长轴两端点重合)设/ PF1F2 = a/ PF2F1 = p 若 3vtan3g 1< tan v，求

19、e的取值范围?分析：运用三角函数的公式，把正弦化正切sin F 1PF2sin( a + B ) sin a +sin Ba + Ba + B2sincos -2 2a - B22sina + B2 cos解；根据上题结论e=sin f 1F2P +sin PF 1F2aBcos 2 cosa2 -sin sin 2aBaBcos 2 cos +sin -sinaB1- tan - tan =eaB1- tantan q11-e111v< <e<_3 1+e232三、以直线与椭圆的位置关系为背景， 用设而不求的方法找e所符合的关系式.2 2x y题目5:椭圆孑+ ；厂=1(a

20、>b >0)，斜率为1,且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于 A、B两点，OA+OB与话=(3,-1)共线，求e?法一：设 A(xi,yi) ,B(x 2,y 2).2 22 22 2b x +a y =a by=x-c(a 2+b2)x 2-2a2cx+a2c2-a 2b2=02a2cxi+x2=a+?2a2ci+y2=a+?-2c=-2b 2ca2+b2OA+OB=(x i+x2,y i+y2)与(3, -1 )共线，则-(X1+X2) =3(y i+y2)既 a 2=3b2e=3法二：设ab的中点n贝y 2OH0A-OBxiyi-=12 +2ab22X2y22 +2=1abyi-y 2b2 X1+x 22 22 ,xi-x 2a y i+y2-得:b2尹3)a2=3b四、由图形中暗含的不等关系，求离心率的取值范围2 2x y题目6:椭圆 于 +=1(