武汉理工大学学-生-实-验-报-告-书-CADCAM基础-CADCAM-系统

1、学生学号24实验课成绩武汉理工大学实验课程名称 开课学院 指导老师姓名 学生姓名 学生专业班级学生实验报告书CAD/CAM 基础余世浩朱珩予成型090220112012 学年第一学期实验项目名称CAD/CAM 系统实验成绩实验者朱珩予专业班级成型0902组别同组者实验日期2011 年 10 月13 日第一部分：实验分析与设计(可加页)一、实验内容描述(问题域描述)1:分别用线性插值和抛物线插值求表中当x=2.03处的函数值y。x3.22.72.11.71.41.3y2.22.11.91.61.31.12:简述最小二乘法的原理并用最小二乘法对下表中的数据进行数据拟合。x-3-2-10123y53

2、20-1-3-5二、实验基本原理与设计(包括实验方案设计，实验手段的确定，试验步骤等，用硬件逻辑或者算法描述)实验原理：1) 线性插值线性插值是通过所选两个节点构造一个线性函数g(x)来代替原来的函数f(x),也称为两点插值。设有一个用数表表示的函数f(x)，数表中的离散化了的自变量和因变量的值分别设为x1 , x2 , x3，Xn和yi，y2，y3，yn。欲求自变量x时的函数值，即在点(x,y)处线性插值，步骤为如下所示：(1) 从数表中在插值点的附近选取两个相邻的自变量x ,xi+1,并满足条件 x <x< xi 1。(2) 用过(xi,yi )和(x 1,yi1)两点的直线g

3、(x)代替原来的函数f(x),则插值点的函数值为y (yi i yi)/(x xj (x xjy。2) 抛物线插值抛物线插值是用通过3个节点的抛物线 g(x)来代替原来的函数f(x)，也称三点插值。抛物线插值步骤如下所示：(1)从已知表中，在插值点x的左右选取两点(想xi,yi),(x 1, yi 1),分别记为(x1,y1)，(X2, y2)。它们满足 xzxv x2 。(2) 比较(X- X )和(xi 1-X)的大小，取差值较小的作为取点的延伸方向，从表格中取第三点。(3) 将第三点的坐标代入抛物线方程，得到插值点的函数值y (XX2)(XX3)(Xi X2)(Xi X3) Yl(x X

4、i)(X X3)y(X2 Xi )(X2 X3)(x Xi)(xX2)y3(X3Xi )(X3X2)3) 最小二乘法设由数表中n个节点值构造了函数y* g(x)，用数表中自变量 xi的值代入可以求出其函数值g(Xi)，用 yi* 表示，即 丫； g(x) i =1, 2，n在各节点处所构造函数的值与原函数的值存在误差(y y*)，称其为残差。最小二乘法要求所构造出来的函数保证残差的平方和最小，即(yi2y*)为最小。i 12 n2设拟合的线性函数为 y axb，其残差平方和Q为Qi(y yi)1(yi axi b)i 1Qcn2(Yiaxib)xi 0分别令Q对a和b的偏导数为0,得 ai1Q

5、n2(yiaxib) 0bi1解方程组，得到待定常数 a和b,即n Xj%i 1n2n Xji 1nn2yiXji 1 i 1Xj yi 1 i 1 n(X)2i 1nnXiYiXii 1i 1nn2( 、2 n Xi ( Xi)i 1i 1三、主要仪器设备及耗材微型计算机第二部分：实验调试与结果分析（可加页）< n|x、调试过程（包括调试方法描述、实验数据记录，实验现象记录，实验过程发现的问题等）（1）用线性插值求当x=2.03处的函数值 程序及结果如图；SincLude "stdio.h"main ()Float X6-3.2,2_7,2-1,1_7,1,1.3,

6、 V6=2_2,2_1,1.9,1.651.3,1_1>；Float k1 ,x2,y1int i;ifor(i-O;l<6;i*+) ) hrpAk;x1=Xi+1 ;y1 =Vi+1 ;x2=Xi ;y2=Vi;V=(y2-yi)*(x-xi)/(x2->i)+y1; printf(fn'*ty):c：Q *C: DccuMents and SettingsSXDebuglhoaiework. eze1.847500pi*艳瓷瓷-any key Izo anit irtiie（2）用抛物线插值求当x=2.03处的函数值 程序及结果如图；V6-2.2P2.1>

7、1.9,1 .6,1.3,1.1；float x1f 1/2 T4/3 T x ,1/;int i;scanfC'.&x);for(i=B;i<6;i+)if (x<Kift&x>Xi*1) break;w1=Xi+1;y1-Vi+1：x2-Xi：y2=Vi;1F(k-x1)<(x2-k)<x3-Xi-1;y3=Vi-1;>elses(3=Xi+2 -y3=?i+2-y=(x-K2)*(x-x3)*y1/(x1-x2)»(x1-x3)*(x-x1)*(x-x3)*y2/(K2-x1)*(x2-x3)(x-x1)* (x-x2

8、)*y3/(x3-x1)*(x3-x2);print FCFXn" py);（3）最小二乘法原理：在我们研究两个变量（x, y）之间的相互关系时，通常可以得到一系列成对的数据（x1, y1.x2, y2.xm , ym）;将这些数据描绘在x -y直角坐标系中，若发现这些点在一条直线附近，可以令这条直线方程如（式1-1）。Y 计=a0 + al X （式 1-1）其中：a0、a1是任意实数为建立这直线方程就要确定a0和a1，应用最小二乘法原理，将实测值Yi与利用（式1-1）计算值（Y计=a0+a1X）的离差（Yi -Y计）的平方和刀（Yi - Y计）2最小为 优化判据”。令：$ =刀（

9、YiY 计）2 （式 1-2）把（式 1-1）代入（式 1-2）中得:$ =刀（Yia0 - a1 Xi）2 （式 1-3）当刀（Yi-Y计）平方最小时，可用函数$对a0、a1求偏导数，令这两个偏导数等于零。（式 1-4）（式 1-5）亦即：m a0 + (刀Xi ) al =!式i (-6)(刀 Xi ) a0 + ( 刀 Xi2 ) al =刀(Xi式Y(-7)得到的两个关于aO、 al为未知数的两个方程组，解这两个方程组得出：a0 =(刀 Yi) / m a1(刀 Xi) / m 式 1-8)al = n 刀Xi Y-(刀Xi 刀 Yi) / n呂Xi匹Xi)2 )式 1-9)这时把aO

10、、al代入(式1-1)中，此时的(式1-1)就是我们回归的元线性方程即：数学模型。在回归过程中，回归的关联式是不可能全部通过每个回归数据点(x1, y1. x2, y2.xm,ym),为了判断关联式的好坏，可借助相关系数“ R；统计量“F；剩余标准偏差“S进行判断；“ R越趋近于1越好；“ F的绝对值越大越好；“ S”趋近于0越好。R = EXiYi- m ( EXi / m)( EYi / m)/ SQR另 XiQ 刀Xi / m)2 刀 Yim ( EYi / m)2(式 1-10) *在(式1-1)中，m为样本容量，即实验次数； Xi、Yi分别任意一组实验 X、Y的数值。最小二乘法公式E

11、 (X-X 平)(Y -Y 平)=E (XY-X 平 Y-XY 平 +X 平 Y 平)=EXY-X 平 EY-Y 平 EX+ nX 平 Y 平 =E XY-nX 平 Y 平-nX 平 Y 平+nX 平 Y 平=E XY-nX 平 Y 平E (X -X 平)A2= E (XA2-2XX 平+nX 平 A2)= E XA2- 2nX 平 A2+nX 平 A2=E XA2-nX 平 A2Y=kX+b: k= (XY )平-X 平*Y 平)/ (XA2 -(X 平)卜2 ;b=Y 平-kX 平X 平=1/n EXi； (XY)平=1/n EXiYi最小二乘法拟合对给定数据点(Xi , Yi)(i=0,

12、1,； m)，在取定的函数类中，求p(x) 使误差的平方和 EA2最小，EA2=Ep(Xi) -YiA2。从几何意义上讲，就是寻求与给定点(Xi , Yi)(i=0,1,，- m)的距离平方和为最小的曲线y=p(x)。函数p(x)称为拟合函数或最小二乘解，求拟合函数p(x)的方法称为曲线拟合的最小二乘法。最小二乘法的矩阵形式Ax=b,其中A为nxk的矩阵，x为kx1的列向量，b为nx1的列向量，n>k。这个方程系统称为 Over Determined System，如果 n<k,这个系统就是 Under Determined System。正常来看，这个方程是没有解的，但在数值计算

13、领域，我们通常是计算min |Ax -b|,解出其中的X。比较直观的做法是求解A'Ax=A'b，但通常比较低效。其中一种常见的解法是对A进行QR分解(A=QR ),其中 Q 是 nxk 正交矩阵(Ortho no rmal Matrix ), R 是 kxk 上三角矩阵(Upper Tria ngular Matrix ),然后 min |Ax-b| = min |QRx-b| = min |Rx-Q'b|,用 MATLAB 命令 x=R(Q'*b)可解得 x。最小二乘法的 Matlab实现 一次函数使用polyfit (x,y,1) 多项式函数使用polyfi

14、t (x,y,n), n为次数拟合曲线x=0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0, y=1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60。解：MATLAB 程序如下：x=0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0;y=1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60;p=polyfit(x,y,2)x1=0.5:0.05:3.0;y1=polyval(p,x1);plot(x,y,'*r',x1,y1,' -b')计算结果为：p =0.5614 0.8287 1.1560即所得多项式为 y=0.5614xA2+0.08287x+1

15、.15560 非线性函数使用 lsqcurvefit(fu n,x0,x,y)(4) 用最小二乘法原理进行数据线性拟合。 程序及结果如图；main ()float X7=-3,-2,-1,8,1Float a rb>Kl = 0IM2=BrM3-apx4=8； int i;for(l-l;l<7;1+) xi*=xi*vi； x2+=Xi;x3 + = Vi；b =(K3*KIi-Kl*K2)/(7*K1+-x2*x2); printf所拟舍的直线划T塔Fit吃DociuMents and Sett ingDebtLghoBevork.冃斤巾的言线为*二,.607143冥十0凰i

16、y kt * to contlnuE.21,用线性插值法编写c语言程序后输入2.03输出如图可见两种插值法输出结果略有不同，计算时应该根据实际情况选择合适的插值方法。散点图*前点圏根据作出的散点图不难发现在该问题的解决上抛物线插值法更为准确。汽"C:VDocmen-t? and Sett2.B31.847S0BPresskev to 匚ont inucc'_ *C:Docimpnts and Settinx理工瘙禅、.日ho2,用抛物线值法编写c语言程序后输入 2.03输出如图二、实验结果及分析（包括结果描述实验现象、分析影响因素、讨论、综合分析和结论等）3,最小二乘法编写 c语言程序后输出如图匚不 *C:l)ocii>eKts an