中考数学压轴题汇编及答案

1、2016年中考数学压轴题汇编（1）一解答题（共30小题）1（2016 模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（4，0），B（0，4），C（2，0）三点（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，的面积为S求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标2（2015 ）如图，直线2与抛物线26（a0）相交于A（，）与B（4，m），点P是线段上异于A、B的动点，过点P作x轴于点D，交抛物线于点C（1）求抛物线的解析式；（2）

2、是否存在这样的P点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求为直角三角形时点P的坐标3（2015 ）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M（1）求抛物线的解析式与对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接，在直线的下方的抛物线上，是否存在一点N，使的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由4（2015 ）如图，抛物线x2交x轴于点A（3，0）与点B，交y轴于点C（0，3）（1）求抛物线的函数表达式；（2）若

3、点P在抛物线上，且S4，求点P的坐标；（3）如图b，设点Q是线段上的一动点，作x轴，交抛物线于点D，求线段长度的最大值5（2015 ）如图，E的圆心E（3，0），半径为5，E与y轴相交于A、B两点（点A在点B的上方），与x轴的正半轴交于点C，直线l的解析式为4，与x轴相交于点D，以点C为顶点的抛物线过点B（1）求抛物线的解析式；（2）判断直线l与E的位置关系，并说明理由；（3）动点P在抛物线上，当点P到直线l的距离最小时求出点P的坐标及最小距离6（2015荆门）如图，在矩形中，5，4，点D为边上一点，将沿直线折叠，使点B恰好落在边上的点E处，分别以，所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系（1

4、）求的长及经过O，D，C三点抛物线的解析式；（2）一动点P从点C出发，沿以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，；（3）若点N在（1）中抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由7（2015盘锦）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线23交x轴于A（1，0）与B（5，0）两点，交y轴于点C，点D是线段上一动点，连接，将线段绕点D顺时针旋转90°得到线段，过点E作

5、直线lx轴于H，过点C作l于F（1）求抛物线解析式；（2）如图2，当点F恰好在抛物线上时，求线段的长；（3）在（2）的条件下：连接，求的值；试探究在直线l上，是否存在点G，使45°？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由8（2015益阳）已知抛物线E1：2经过点A（1，m），以原点为顶点的抛物线E2经过点B（2，2），点A、B关于y 轴的对称点分别为点A，B（1）求m的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式；（2）如图1，在第一象限内，抛物线E1上是否存在点Q，使得以点Q、B、B为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，P为第

6、一象限内的抛物线E1上与点A不重合的一点，连接并延长与抛物线E2相交于点P，求与P的面积之比9（2015徐州）如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以为直径在第一象限内作半圆，B为半圆上一点，连接并延长至C，使，过C作x轴于点D，交线段于点E，已知8，抛物线经过O、E、A三点（1）°（2）求抛物线的函数表达式（3）若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以P、O、A、E为顶点的四边形面积记作S，则S取何值时，相应的点P有且只有3个？10（2015乌鲁木齐）抛物线22与x轴交于A，B两点（），与y轴交于点C（1）求点A，B，C的坐标；（2）点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度

7、向点B运动，同时点E也从点O出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，设点P的运动时间为t秒（0t2）过点E作x轴的平行线，与相交于点D（如图所示），当t为何值时，+的值最小，求出这个最小值并写出此时点E，P的坐标；在满足的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点F，使为直角三角形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由11（2015佛山）如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数x2+4x刻画，斜坡可以用一次函数刻画（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标；（2）小球的落点是A，求点A的坐标；（3）连接抛物线的最高点P与点O、A得，求的面积；（4）在上方的抛物线上存

8、在一点M（M与P不重合），的面积等于的面积请直接写出点M的坐标12（2015天水）在平面直角坐标系中，已知x2（b、c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形的顶点A的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限（1）如图，若抛物线经过A、B两点，求抛物线的解析式（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线上并沿方向滑动距离为时，试证明：平移后的抛物线与直线交于x轴上的同一点（3）在（2）的情况下，若沿方向任意滑动时，设抛物线与直线的另一交点为Q，取的中点N，试探究是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由13（2015常德）如图，曲线y1抛物线的一部分，且表达式为：

9、y1=（x22x3）（x3）曲线y2与曲线y1关于直线3对称（1）求A、B、C三点的坐标与曲线y2的表达式；（2）过点D作x轴交曲线y1于点D，连接，在曲线y2上有一点M，使得四边形为筝形（如果一个四边形的一条对角线被另一条对角线垂直平分，这样的四边形为筝形），请求出点M的横坐标；（3）设直线与x轴交于点N，试问在线段下方的曲线y2上是否存在一点P，使的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由14（2015自贡）如图，已知抛物线2（a0）的对称轴为直线1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B（1）若直线经过B、C两点，求直线与抛物线的解析式；（2）在抛物线的

10、对称轴1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之与最小，求出点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴1上的一个动点，求使为直角三角形的点P的坐标15（2015凉山州）如图，已知抛物线2（3）9的顶点C在x轴正半轴上，一次函数3与抛物线交于A、B两点，与x、y轴交于D、E两点（1）求m的值（2）求A、B两点的坐标（3）点P（a，b）（3a1）是抛物线上一点，当的面积是面积的2倍时，求a，b的值16（2015铜仁市）如图，关于x的二次函数2的图象与x轴交于点A（1，0）与点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使为等腰

11、三角形？若存在请求出点P的坐标）；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在上向点B运动，另一个点N从 点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，面积最大，试求出最大面积17（2015资阳）已知直线（k0）过点F（0，1），与抛物线2相交于B、C两点（1）如图1，当点C的横坐标为1时，求直线的解析式；（2）在（1）的条件下，点M是直线上一动点，过点M作y轴的平行线，与抛物线交于点D，是否存在这样的点M，使得以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）

12、如图2，设B（mn）（m0），过点E（01）的直线lx轴，l于R，l于S，连接、试判断的形状，并说明理由18（2015苏州）如图，已知二次函数2+（1m）xm（其中0m1）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l设P为对称轴l上的点，连接、，（1）的度数为；（2）求P点坐标（用含m的代数式表示）；（3）在坐标轴上是否存在着点Q（与原点O不重合），使得以Q、B、C为顶点的三角形与相似，且线段的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由19（2015临沂）在平面直角坐标系中，O为原点，直线2x1与y轴交于点A，与直线x交于点B，点

13、B关于原点的对称点为点C（1）求过A，B，C三点的抛物线的解析式；（2）P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为Q当四边形为菱形时，求点P的坐标；若点P的横坐标为t（1t1），当t为何值时，四边形面积最大？并说明理由20（2015巴中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数24（a0）的图象与x轴交于A（2，0）、C（8，0）两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D（1）求该二次函数的解析式；（2）如图1，连结，在线段上是否存在点E，使得为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若点P（m，n）是该二次函数图象上的一个动点（其中m0，n0），连结，求

14、面积的最大值及此时点P的坐标21（2015黔东南州）如图，已知二次函数y1=x2的图象与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴的交点为B，过A、B的直线为y2（1）求二次函数y1的解析式及点B的坐标；（2）由图象写出满足y1y2的自变量x的取值范围；（3）在两坐标轴上是否存在点P，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，求出P的坐标；若不存在，说明理由22（2015孝感）在平面直角坐标系中，抛物线x2与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线4经过A，C两点（1）求抛物线的解析式；（2）在上方的抛物线上有一动点P如图1，当点P运动到某位置时，以，为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上，求出此时点

15、P的坐标；如图2，过点O，P的直线交于点E，若：3：8，求k的值23（2015眉山）如图，已知抛物线2的顶点D的坐标为（1，），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，A点的坐标为（4，0）P点是抛物线上的一个动点，且横坐标为m（l）求抛物线所对应的二次函数的表达式；（2）若动点P满足不大于45°，求P点的横坐标m的取值范围；（3）当P点的横坐标m0时，过P点作y轴的垂线，垂足为Q问：是否存在P点，使？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由24（2015桂林）如图，已知抛物线x2与坐标轴分别交于点A（0，8）、B（8，0）与点E，动点C从原点O开始沿方向以每秒1个单位长度移动

16、，动点D从点B开始沿方向以每秒1个单位长度移动，动点C、D同时出发，当动点D到达原点O时，点C、D停止运动（1）直接写出抛物线的解析式：；（2）求的面积S与D点运动时间t的函数解析式；当t为何值时，的面积最大？最大面积是多少？（3）当的面积最大时，在抛物线上是否存在点P（点E除外），使的面积等于的最大面积？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由25（2015遂宁）如图，已知抛物线2经过A（2，0），B（4，0），C（0，3）三点（1）求该抛物线的解析式；（2）在y轴上是否存在点M，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P（t，0）为线

17、段上一动点（不与A，B重合），过P作y轴的平行线，记该直线右侧与围成的图形面积为S，试确定S与t的函数关系式26（2015重庆）如图，抛物线x2+23与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D与点C关于抛物线的对称轴对称，直线与y轴交于点E（1）求直线的解析式；（2）如图1，直线上方的抛物线上有一点F，过点F作于点G，作平行于x轴交直线于点H，求周长的最大值；（3）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以为边的矩形若点T与点Q关于所在直线对称，求点T的坐标27（2015兰州）已知二次函数2的图象经过点（2，1）（1）求二

18、次函数2的解析式；（2）一次函数4的图象与二次函数2的图象交于点A（x1、y1）、B（x2、y2）两点当时（图），求证：为直角三角形；试判断当m时（图），的形状，并证明；（3）根据第（2）问，说出一条你能得到的结论（不要求证明）28（2015丹东）如图，已知二次函数2的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接、（1）请直接写出二次函数2的表达式；（2）判断的形状，并说明理由；（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点N的坐标；（4）若点N在线段上运动（不与点B、C重合），过点N作，交于点M，当面积最大时，求此时点

19、N的坐标29（2015潍坊）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2842（m0）与y轴的交点为A，与x轴的交点分别为B（x1，0），C（x2，0），且x2x1=4，直线x轴，在x轴上有一动点E（t，0）过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、直线的交点分别为P、Q（1）求抛物线的解析式；（2）当0t8时，求面积的最大值；（3）当t2时，是否存在点P，使以A、P、Q为顶点的三角形与相似？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由30（2015珠海）如图，折叠矩形的一边，使点C落在边的点D处，已知折痕5，且=，以O为原点，所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线l：x2经过点E，且与边相交于

20、点F（1）求证：；（2）若M是的中点，连接，求证：；（3）P是线段上一点，点Q在抛物线l上，且始终满足，在点P运动过程中，能否使得？若能，求出所有符合条件的Q点坐标；若不能，请说明理由2015年中考数学压轴题汇编（1）参考答案与试题解析一解答题（共30小题）1（2016贵阳模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（4，0），B（0，4），C（2，0）三点（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，的面积为S求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行

21、四边形，直接写出相应的点Q的坐标【考点】二次函数综合题；待定系数法求二次函数解析式菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）先假设出函数解析式，利用三点法求解函数解析式（2）设出M点的坐标，利用S即可进行解答；（3）当是平行四边形的边时，表示出的长，再根据平行四边形的对边相等列出方程求解即可；当是对角线时，由图可知点A与P应该重合【解答】解：（1）设此抛物线的函数解析式为：2（a0），将A（4，0），B（0，4），C（2，0）三点代入函数解析式得：解得，所以此函数解析式为：；（2）M点的横坐标为m，且点M在这条抛物线上，M点的坐标为：（m，），S=×4×（m24）+

22、5;4×（m）×4×4=m2282m8=m24m，=（2）2+4，4m0，当2时，S有最大值为：4+8=4答：2时S有最大值4（3）设P（x，x24）当为边时，根据平行四边形的性质知，且，Q的横坐标等于P的横坐标，又直线的解析式为x，则Q（x，x）由，得|x（x24）4，解得0，4，2±20不合题意，舍去如图，当为对角线时，知A与P应该重合，4四边形为平行四边形则4，Q横坐标为4，代入x得出Q为（4，4）由此可得Q（4，4）或（2+2，22）或（22，2+2）或（4，4）【点评】本题考查了三点式求抛物线的方法，以及抛物线的性质与最值的求解方法2（2015

23、枣庄）如图，直线2与抛物线26（a0）相交于A（，）与B（4，m），点P是线段上异于A、B的动点，过点P作x轴于点D，交抛物线于点C（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求为直角三角形时点P的坐标【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】几何综合题；压轴题【分析】（1）已知B（4，m）在直线2上，可求得m的值，抛物线图象上的A、B两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值（2）要弄清的长，实际是直线与抛物线函数值的差可设出P点横坐标，根据直线与抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，

24、进而得到关于与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出的最大值（3）当为直角三角形时，根据直角顶点的不同，有三种情形，需要分类讨论，分别求解【解答】解：（1）B（4，m）在直线2上，4+2=6，B（4，6），A（，）、B（4，6）在抛物线26上，解得，抛物线的解析式为2x286（2）设动点P的坐标为（n，2），则C点的坐标为（n，2n286），（2）（2n286），=2n2+9n4， =2（n）2+，0，当时，线段最大且为（3）为直角三角形，i）若点P为直角顶点，则90°由题意易知，y轴，45°，因此这种情形不存在；）若点A为直角顶点，则90°如答图31，过

25、点A（，）作x轴于点N，则，过点A作直线，交x轴于点M，则由题意易知，为等腰直角三角形，3，M（3，0）设直线的解析式为：，则：，解得，直线的解析式为：3 又抛物线的解析式为：2x286 联立式，解得：3或（与点A重合，舍去）C（3，0），即点C、M点重合当3时，2=5，P1（3，5）；）若点C为直角顶点，则90°2x286=2（x2）22，抛物线的对称轴为直线2如答图32，作点A（，）关于对称轴2的对称点C，则点C在抛物线上，且C（，）当时，2=P2（，）点P1（3，5）、P2（，）均在线段上，综上所述，为直角三角形时，点P的坐标为（3，5）或（，）【点评】此题主要考查了二次函数解

26、析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识3（2015酒泉）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M（1）求抛物线的解析式与对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接，在直线的下方的抛物线上，是否存在一点N，使的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），可利用两点式法设抛物线的解析式为（x1

27、）（x5），代入A（0，4）即可求得函数的解析式，则可求得抛物线的对称轴；（2）点A关于对称轴的对称点A的坐标为（6，4），连接交对称轴于点P，连接，此时的周长最小，可求出直线的解析式，即可得出点P的坐标（3）在直线的下方的抛物线上存在点N，使面积最大设N点的横坐标为t，此时点N（t，t24）（0t5），再求得直线的解析式，即可求得的长与的面积，由二次函数最大值的问题即可求得答案【解答】解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为（x1）（x5），把点A（0，4）代入上式得：，（x1）（x5）24=（x3）2，抛物线的对称轴是：3；（2）P点坐标为（3，）理由如下：点A（0，4），抛物线的对称轴

28、是3，点A关于对称轴的对称点A的坐标为（6，4）如图1，连接交对称轴于点P，连接，此时的周长最小设直线的解析式为，把A（6，4），B（1，0）代入得，解得，点P的横坐标为3，×3=，P（3，）（3）在直线的下方的抛物线上存在点N，使面积最大设N点的横坐标为t，此时点N（t，t24）（0t5），如图2，过点N作y轴交于G；作于D，由点A（0，4）与点C（5，0）可求出直线的解析式为：4，把代入得：4，则G（t，4），此时：4（t24）=t2+4t，5，S×××（t2+4t）×5=2t2+102（t）2+，当时，面积的最大值为，由，得：24=3，N

29、（，3）【点评】本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键是方程思想与数形结合思想的灵活应用4（2015阜新）如图，抛物线x2交x轴于点A（3，0）与点B，交y轴于点C（0，3）（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P在抛物线上，且S4，求点P的坐标；（3）如图b，设点Q是线段上的一动点，作x轴，交抛物线于点D，求线段长度的最大值【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）把点A、C的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数的方程组，通过解方程组求得系数的值；（2）设P点坐标为（x，x223），根据S4S列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标；

30、（3）先运用待定系数法求出直线的解析式为3，再设Q点坐标为（x，3），则D点坐标为（x，x2+2x3），然后用含x的代数式表示，根据二次函数的性质即可求出线段长度的最大值【解答】解：（1）把A（3，0），C（0，3）代入x2，得：，解得故该抛物线的解析式为：x223（2）由（1）知，该抛物线的解析式为x223，则易得B（1，0）S4S，×3×|x2234××1×3整理，得（1）2=0或x2+2x7=0，解得1或1±2则符合条件的点P的坐标为：（1，4）或（1+2，4）或（12，4）；（3）设直线的解析式为，将A（3，0），C（0，3）

31、代入，得，解得即直线的解析式为3设Q点坐标为（x，3），（3x0），则D点坐标为（x，x223），（x223）（3）=x23（）2+，当时，有最大值【点评】此题考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质以及三角形面积、线段长度问题此题难度适中，解题的关键是运用方程思想与数形结合思想5（2015济宁）如图，E的圆心E（3，0），半径为5，E与y轴相交于A、B两点（点A在点B的上方），与x轴的正半轴交于点C，直线l的解析式为4，与x轴相交于点D，以点C为顶点的抛物线过点B（1）求抛物线的解析式；（2）判断直线l与E的位置关系，并说明理由；（3）动点P在抛物线上，当点P到直线l的距

32、离最小时求出点P的坐标及最小距离【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）连接，由已知得：5，3，利用勾股定理求出的长，结合垂径定理求出的长，从而得到C点坐标，进而得到抛物线的解析式；（2）求出点D的坐标为（，0），根据，求出90°，判断出直线l与E相切与A（3）过点P作直线l的垂线段，垂足为Q，过点P作直线垂直于x轴，交直线l于点M设M（m，4），P（m，m24），得到4（m24）28=（m2）2+，根据的三个内角固定不变，得到最小最小最小×=，从而得到最小距离【解答】解：（1）如图1，连接，由已知得：5，3，在中，由勾股定理得，4，由垂径定理得，4

33、，3+5=8，A（0，4），B（0，4），C（8，0），抛物线的定点为C，设抛物线的解析式为（x8）2，将点B的坐标代入上解析的式，得644，故，（x8）2，x24为所求抛物线的解析式，（2）在直线l的解析式4中，令0，得4=0，解得，点D的坐标为（，0），当0时，4，点A在直线l上，在与中，90°，90°，90°，即90°，因此，直线l与E相切与A（3）如图2，过点P作直线l的垂线段，垂足为Q，过点P作直线垂直于x轴，交直线l于点M设M（m，4），P（m，m24），则4（m24）28=（m2）2+，当2时，取得最小值，此时，P（2，），对于，x轴，又9

34、0°，的三个内角固定不变，在动点P运动的过程中，的三边的比例关系不变，当取得最小值时，也取得最小值，最小最小最小×=，当抛物线上的动点P的坐标为（2，）时，点P到直线l的距离最小，其最小距离为【点评】本题考查了二次函数综合题，涉及勾股定理、待定系数法求二次函数解析式、切线的判定与性质、二次函数的最值等知识，在解答（3）时要注意点P、点M坐标的设法，以便利用二次函数的最值求解6（2015荆门）如图，在矩形中，5，4，点D为边上一点，将沿直线折叠，使点B恰好落在边上的点E处，分别以，所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系（1）求的长及经过O，D，C三点抛物线的解析式；（2）一

35、动点P从点C出发，沿以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，；（3）若点N在（1）中抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）由折叠的性质可求得、，在中，由勾股定理可求得，设，在中，由勾股定理可求得m的值，可求得D点坐标，结合C、O两点，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）用t表示出、的长，可证明，可

36、得到，可求得t的值；（3）可设出N点坐标，分三种情况为对角线，为对角线，为对角线，根据平行四边形的性质可求得对角线的交点横坐标，从而可求得M点的横坐标，再代入抛物线解析式可求得M点的坐标【解答】解：（1）5，4，在中，3，设，则4m，3，53=2，在中，由勾股定理可得222，即m2+22=（4m）2，解得，D（，5），C（4，0），O（0，0），设过O、D、C三点的抛物线为（4），5=a（+4），解得，抛物线解析式为（4）2；（2）2t，52t，在与中，（），52，（3）抛物线的对称为直线2，设N（2，n），又由题意可知C（4，0），E（0，3），设M（m，y），当为对角线，即四边形是平行四边

37、形时，则线段的中点横坐标为=1，线段中点横坐标为，互相平分，=1，解得2，又M点在抛物线上，×22+×2=16，M（2，16）；当为对角线，即四边形是平行四边形时，则线段的中点横坐标为，线段中点横坐标为=3，互相平分，=3，解得6，又M点在抛物线上，×（6）2+×（6）=16，M（6，16）；当为对角线，即四边形是平行四边形时，则M为抛物线的顶点，即M（2，）综上可知，存在满足条件的点M，其坐标为（2，16）或（6，16）或（2，）【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、全等三角形的判定与性质、折叠的性质、平行四边形的性质等知识点在（1）

38、中求得D点坐标是解题的关键，在（2）中证得全等，得到关于t的方程是解题的关键，在（3）中注意分类讨论思想的应用本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中7（2015盘锦）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线23交x轴于A（1，0）与B（5，0）两点，交y轴于点C，点D是线段上一动点，连接，将线段绕点D顺时针旋转90°得到线段，过点E作直线lx轴于H，过点C作l于F（1）求抛物线解析式；（2）如图2，当点F恰好在抛物线上时，求线段的长；（3）在（2）的条件下：连接，求的值；试探究在直线l上，是否存在点G，使45°？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由【考点】二次函数

39、综合题菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）利用待定系数法求得即可；（2）根据C的纵坐标求得F的坐标，然后通过，得出3，即可求得的长；（3）先确定C、D、E、F四点共圆，根据圆周角定理求得，由于，即可求得；连接，得出是等腰直角三角形，得出45°，过D点作1，交直线l于G1，过D点作2，交直线l于G2，则1=45°，2=45°，求得直线的解析式为3，即可设出直线1的解析式为，直线2的解析式为2，把D的坐标代入即可求得m、n，从而求得解析式，进而求得G的坐标【解答】解：（1）如图1，抛物线23交x轴于A（1，0）与B（5，0）两点，解得抛物线解析式为x23；（2）

40、如图2，点F恰好在抛物线上，C（0，3），F的纵坐标为3，把3代入x23得，3=x23；解得0或4，F（4，3），4，90°，90°，在与中，（），3，43=1；（3）如图3，连接，1，3，31=2，90°，C、D、E、F四点共圆，在中，4，如图4，连接，90°，45°，过D点作1，交直线l于G1，过D点作2，交直线l于G2，则1=45°，2=45°1，4，E（4，1），C（0，3），直线的解析式为3，设直线1的解析式为，D（1，0），0=×1，解得，直线1的解析式为，当4时，G1（4，）；设直线2的解析式为2，D

41、（1，0），0=2×1，解得2，直线2的解析式为2x2，当4时，2×42=6，G2（4，6）；综上，在直线l上，是否存在点G，使45°，点G的坐标为（4，）或（4，6）【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式，三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质，平行线的性质等，数形结合思想的应用是解题的关键8（2015益阳）已知抛物线E1：2经过点A（1，m），以原点为顶点的抛物线E2经过点B（2，2），点A、B关于y 轴的对称点分别为点A，B（1）求m的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式；（2）如图1，在第一象限内，抛物

42、线E1上是否存在点Q，使得以点Q、B、B为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，P为第一象限内的抛物线E1上与点A不重合的一点，连接并延长与抛物线E2相交于点P，求与P的面积之比【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）直接将（2，2）代入函数解析式进而求出a的值；（2）由题意可得，在第一象限内，抛物线E1上存在点Q，使得为直角三角形，由图象可知直角顶点只能为点B或点Q，分别利用当点B为直角顶点时以及当点Q为直角顶点时求出Q点坐标即可；（3）首先设P（c，c2）、P（d，），进而得出c与d的关系，再表示出与P的面积进而得出答

43、案【解答】解：（1）抛物线E1经过点A（1，m），12=1抛物线E2的顶点在原点，可设它对应的函数表达式为2（a0），又点B（2，2）在抛物线E2上，2×22，解得：，抛物线E2所对应的二次函数表达式为2（2）如图1，假设在第一象限内，抛物线E1上存在点Q，使得为直角三角形，由图象可知直角顶点只能为点B或点Q当点B为直角顶点时，过B作交抛物线E1于Q，则点Q与B的横坐标相等且为2，将2代入2得4，点Q的坐标为（2，4） 当点Q为直角顶点时，则有22B2，过点Q作于G，设点Q的坐标为（t，t2）（t0），则有（2）2+（t22）2+（2t）2+（t22）2=4，整理得：t43t2=0，

44、t0，t23=0，解得t1=，t2=（舍去），点Q的坐标为（，3），综合，存在符合条件的点Q坐标为（2，4）与（，3）；（3）如图2，过点P作x轴，垂足为点C，交直线于点E，过点P作PDx轴，垂足为点D，PD交直线于点F，依题意可设P（c，c2）、P（d，） （c0，cq），P，=，2c=2，=4，【点评】此题主要考查了二次函数综合以及直角三角形的性质与三角形面积求法，根据题意利用分类讨论得出是解题关键9（2015徐州）如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以为直径在第一象限内作半圆，B为半圆上一点，连接并延长至C，使，过C作x轴于点D，交线段于点E，已知8，抛物线经过O、E、A三点（1

45、）90°（2）求抛物线的函数表达式（3）若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以P、O、A、E为顶点的四边形面积记作S，则S取何值时，相应的点P有且只有3个？【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】压轴题【解答】解：（1）是O的直径，90°，故答案为：90；（2）连接，如图1所示，由（1）知，又，是的垂直平分线，10，在中，10，8，6，C（6，8），B（8，4）所在直线的函数关系为，又E点的横坐标为6，E点纵坐标为3，即E（6，3），抛物线过O（0，0），E（6，3），A（10，0），设此抛物线的函数关系式为（x10），把E点坐标代入得：3=6a（610），解得此抛

46、物线的函数关系式为x（x10），即x2；（3）设点P（p，p2），若点P在的左侧，延长交于Q，如右图2，所在直线函数关系式为：（）x当6时，即Q点纵坐标为，3=，S四边形S=×10×3+×（）×6（）（6p），若点P在的右侧，延长交于Q，如右图3，P（p，p2），A（10，0）设所在直线方程为：，把P与A坐标代入得，解得所在直线方程为：，当6时，6，即Q点纵坐标为P，3，S四边形S=（6）=×10×3+（6）=15+（p3）（10p），当P在右侧时，四边形的面积最大值为16，此时点P的位置就一个，令=16，解得，3±，当P在

47、左侧时，四边形的面积等于16的对应P的位置有两个，综上所知，以P、O、A、E为顶点的四边形面积S等于16时，相应的点P有且只有3个【点评】本题主要考查了圆周角定理及二次函数的相关问题，解决这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，然后数形结合解决问题10（2015乌鲁木齐）抛物线22与x轴交于A，B两点（），与y轴交于点C（1）求点A，B，C的坐标；（2）点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点E也从点O出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，设点P的运动时间为t秒（0t2）过点E作x轴的平行线，与相交于点D（如图所示），当t为何值时，+的值最小，求出这个最小值并写出此时

48、点E，P的坐标；在满足的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点F，使为直角三角形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）在抛物线的解析式中，令0，令0，解方程即可得到结果；（2）由题意得：2t，通过得到，即，求得有最小值1，即可求得结果；存在，求得抛物线22的对称方程为3，设F（3，m），当为直角三角形时，当90°时，当90°时，当90°时，根据勾股定理列方程即可求得结果【解答】解：（1）在抛物线的解析式中，令0，即x22=0，解得：x1=2，x2=4，A（2，0），B（4，0），在抛物线的解

49、析式中，令0，得2，C（0，2），（2）由题意得：2t，即，42t，0t2，1（t1）2始终为正数，且1时，1（t1）2有最大值1，1时，有最小值1，即1时，有最小值1，此时2，1，E（0，1），P（2，0）；存在，抛物线22的对称轴方程为3，设F（3，m），2=5，2=（32）22，2=（m1）2+32，当为直角三角形时，当90°时，222，即5+12=（m1）2+32，解得：2，当90°时，222，即（m1）2+3+（32）22=5，解得；0或1，不合题意舍去，当90°时，这种情况不存在，当90°时，222，即（m1）2+32+5=（32）22，解得

50、：7，F（3，2），（3，7）【点评】本题考查了根据函数的解析式求点的坐标，相似三角形的判定与性质，求代数式的最值，勾股定理，存在性问题，在求有关存在性问题时要注意分析题意分情况讨论结果11（2015佛山）如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数x2+4x刻画，斜坡可以用一次函数刻画（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标；（2）小球的落点是A，求点A的坐标；（3）连接抛物线的最高点P与点O、A得，求的面积；（4）在上方的抛物线上存在一点M（M与P不重合），的面积等于的面积请直接写出点M的坐标【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）利用配方法抛物线

51、的一般式化为顶点式，即可求出二次函数图象的最高点P的坐标；（2）联立两解析式，可求出交点A的坐标；（3）作x轴于点Q，x轴于点B根据S梯形S，代入数值计算即可求解；（4）过P作的平行线，交抛物线于点M，连结、，由于两平行线之间的距离相等，根据同底等高的两个三角形面积相等，可得的面积等于的面积设直线的解析式为，将P（2，4）代入，求出直线的解析式为3再与抛物线的解析式联立，得到方程组，解方程组即可求出点M的坐标【解答】解：（1）由题意得，x2+4（x2）2+4，故二次函数图象的最高点P的坐标为（2，4）；（2）联立两解析式可得：，解得：，或故可得点A的坐标为（，）；（3）如图，作x轴于点Q，x轴

52、于点BS梯形S×2×4+×（+4）×（2）××=4+=；（4）过P作的平行线，交抛物线于点M，连结、，则的面积等于的面积设直线的解析式为，P的坐标为（2，4），4=×2，解得3，直线的解析式为3由，解得，点M的坐标为（，）【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到两函数图象交点的求解方法，二次函数顶点坐标的求解方法，三角形的面积，待定系数法求一次函数的解析式，难度适中利用数形结合与方程思想是解题的关键12（2015天水）在平面直角坐标系中，已知x2（b、c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形的顶点A的坐标为（0，1），点C的

53、坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限（1）如图，若抛物线经过A、B两点，求抛物线的解析式（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线上并沿方向滑动距离为时，试证明：平移后的抛物线与直线交于x轴上的同一点（3）在（2）的情况下，若沿方向任意滑动时，设抛物线与直线的另一交点为Q，取的中点N，试探究是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）先求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的函数表达式；（2）如答题图2，设顶点P在直线上并沿方向滑动距离时，到达P，作PMy轴，x轴，交于M点，根据直线的斜率求得P是等腰直角三角形，进而求得抛物线向上平移1个单位，向右平移1个单位，从而求得平移后的解析式，进而求得与x轴的交点，与直线的交点，即可证得结论；（3）如答图3所示，作点B关于直线的对称点B，由分析可知，当B、Q、F（中点）三点共线时，最小，最小值为线段BF的长度【解答】解：（1）等腰直角三角形的顶点A的坐标为（0，1），C的坐标为（4，3）点B的坐标为（4，1）抛物线过A（0，1），B（4，1）两点，解得：2，1，抛物线的函数表达式为：x2+2x1（2）如答题图2，设顶点P在直线上并沿方向滑动距离时，到达P，作PMy轴，x轴，交于M点，点A的坐标为（0，1），点C的坐标