特别解析：线性规划求最值

1、特别解析：线性规划求最值特别解析：线性规划求最值亠、目标函数线的平移法：利用直线的截距解决 最值问题x 2 0面区域上运动，则(A) :-2, 1(C) : 1, 2的取值范围是(./打2 -4；2,(D) : 1,2和守丈k rgj x+2y-2=O 考虑 z x y ,y x z，这是斜率为1且随z变化的一族y（B）x-20解析：由线性约束条件画出可行域, 变形为 平行直线.z是直线在y轴上的截距.当直线满足约 束条件且经过点(2, 0)时，目标函数z x y取 得最大值为2;直线经过点(0, 1)时，目标函 数z x y取得最小值为一 1 .故选(C)注：本题用“交点法”求出三个交点坐标

2、分 别为(0, 1), (2, 1), (2, 0),然后再一一代 入目标函数求出z=x-y的取值范围为1, 2 更为简单.x y 0例2已知实数x、y满足约束条件x y 5 0，则x 3z 2x 4y的最小值为()分析：将目标函数变形可得y 2x 4，所求 的目标函数的最小值即一组平行直y 2x b在经 过可行域时在y轴上的截距的最小值的4倍。解析：由实数x、y满足的约束条件，作可 行域如图所示：当一组平行直线L经过图中可行域三角形 ABC区 域的点C时，在y轴上的截距最小，又C(3, 3)，故 z 2x 4y 的最小值为 Zmin 2 3 4 ( 3)6。二、数行结合，构造斜率法：利用直线

3、的斜率解 决最值问题x y 2 0,，则z丿的最大值x2y 3 0,例6 已知x y 4 0,求z x2 y2 10y 25的最小值.2x y 5 0,例8 已知x y 4 0,求z x2 y2 10y 25的最小2x y 5 140)租赁费（元）甲设 备510200乙设 备620300x 6 y 10 5x 2y 14 J5x 6y 50则满足的关系为 10x 20y 140 即:x 0,y0作出不等式表示的平面区域,当z 200x 300y对应的6直线过两直线x 5y 10的交点(4,5)时，目标函数x 2y 14z 200x 300y取得最低为2300兀.附：线性规划常见题型及解法亠、求

4、线性目标函数的取值范围x + y =2x=2例1、若x、y满足约束条件x 2y 2 ，则z=x+2y的取值范围x y 2 是 ()A、2,6B、2,5 C、3,6D、( 3,5解：如图，作出可行域，作直线I : x+2y=0，将l向右上方平移，过点A( 2,0 )时, 有最小值2，过点B (2,2 )时，有最大值6，故选A、求可行域的面积2x y 60例2、不等式组x y 3 0表示的平面区域的y 2面积为（1）解：如图作出可行域，$ ABC即为所求，S梯形OMBC减去 S梯形OMAC 即可三、求可行域中整点个数例3、满足|x| + |y| 2的点（x , y）中整点（横 纵坐标都是整数）有（

5、13 个）解：|x| + |y| 0）取得最x 3小值的最优解有无数个，a的值为y Jr x - y + 5 =x + y = 54Ox=3 x()A、一 3B、3C、一 1五、求非线性目标函数的最值3x - y 3A、13 JB13，C、13D、D、 1解：如图，作出可行域，作直线I : x+ay =0，要使目 标函数z=x+ay(a0)取得最小 值的最优解有无数个，则将I向右上方平 移后与直线x+y = 5重合，故a=1，选D例5、已知x、y满足以下约束条件2x y 20x 2y 4 0，贝V Z=x2+y2的最大值和3x y 3 0最小值分别是()解：如图，作出可行域,x 2+y2是点(

6、x， y) 到原点的距离的平方，故最大值为点A(2,3 )到原点 的距离 的平方，即|AO| 2=13， 最小值为原点到直线2x + y 2=0的距离的 平方，即为半，选C5例 6、已知 |2x y + m| V 3y*六、求约束条件中参数的取值范围表示的平面区域包含点（0,0 ）和（一1,1），则m的取值范围是亍.A、（ -3,6）B、（ 0,6）C、（ 0,3）D、（-3,3 ）解：|2x y + m| V 3 等价于：x y m ： 01/12x y m 3 0由右图可知m 3 0 ,故0 V nV 3，选C m 3 0七、比值问题当目标函数形如z 3时，可把z看作是动点 x bP（x,y）与定点Q（b,a）连线的斜率，这样目标函数的最 值就转化为PQ连线斜率的最值。例已知变量x, y满足约束条件X-y + 2w 0,yx 1,则X的取值范围是（）ZVx+ y 7 0,(A) 5, 69 (3 5 u 6 ,+(C) ( 3, 3 u 6 , +3)3