含参变量的积分

1、§12.3 .含参变量的积分教学目的 掌握含参变量积分的连续性，可微性和可积性定理，掌握含参变量正常积分的求导法则教学要求(1)了解含参变量积分的连续性，可微性和可积性定理的证明，熟练掌握含参变量正常积分的导数的计算公式(2)掌握含参变量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明一、含参变量的有限积分设二元函数在矩形域有定义，一元函数在可积，即积分存在.都对应唯一一个确定的积分（值）.于是，积分是定义在区间的函数，表为称为含参变量的有限积分，称为参变量.定理1.若函数在矩形域连续，则函数在区间也连续.说明：若函数满足定理1的条件，积分与极限可以交换次序.定理2 .若函数与在矩形域连续

2、，则函数在区间可导，且，有 ，或 .简称积分号下可微分. 说明：若函数满足定理2的条件，导数与积分可以交换次序.定理3 .若函数在矩形域连续，则函数在区间可积，且.简称积分号下可积分. 说明：若函数满足定理3的条件，关于不同变数的积分可以交换次序.一般情况，含参变量的有限积分，除被积函数含有参变量外，积分上、下限也含有参变量，即.但，对应唯一一个积分（值），它仍是区间的函数，设 . 下面给出函数在区间的可微性.定理4.若函数与在矩形域连续，而函数与在区间可导，有，则函数在区间可导，且二、例（I）例1. 求函数的导数解：，暂时固定，使，显然，被积函数与在矩形域都连续，根据定理2，有.因为使，所以

3、，有.例2 .求.解：，暂时固定，使，显然，被积函数及其关于r的偏导数，即 与 在矩形区域连续，根据定理2 ，有=设（万能换元），有=从而，.于是， （3）又有 .将在做连续开拓.令函数在区间连续，对等式（3）等号两端求不定积分，有.已知，有 .于是 ， .例3 .证明：若函数在区间连续，则函数是微分方程的解，并满足条件.证明： 逐次应用定理4，求函数的n阶导数，有=，即函数是微分方程的解，显然，当时，.例4. 证明：若函数存在二阶导数，函数存在连续导数，则函数是弦振动方程的解.证明：根据定理4，有于是，即是弦振动方程的解例5 .求积分.解法一 应用积分号下积分法.解： 函数的原函数不是初等函

4、数，函数在0与1没定义，却有极限 .将函数在0与1作连续开拓，即从而，函数在区间连续.已知而函数在闭矩形域连续，根据定理3，有.解法二 应用积分号下微分法.解： 设 根据定理2，有 .两端求不定积分，有 令 ，有 ，即 于是， 令 ，有 三、含参变量的无穷积分设二元函数在区域有定义。，无穷积分都收敛，即都对应唯一一个无穷积分（值）.于是，是区间的函数，表为 ，称为含参变量的无穷积分，有时也简称无穷积分，是参变量.定义 设，无穷积分收敛，若有则称无穷积分在区间I一致收敛。例6 .证明：无穷积分在区间a,b(a>0)一致收敛.证明：设,求无穷积分（将u看做常数） 设有已知有使不等式成立，解得

5、。取于是，有即无穷积分在区间一致收敛.定理5 （柯西一致收敛准则）无穷积分在区间I一致收敛，有.定理6 .若有 ，且无穷积分收敛，则无穷积分在区间一致收敛。例7. 证明：无穷积分在区间一致收敛证明： 有 已知无穷积分收敛，根据定理6，则无穷积分在区间一致收敛.例8.证明： 无穷积分在R一致收敛证明：，有.已知无穷积分，则无穷积分在R一致收敛。定理7 .若函数在区域(a>0)，连续且 在D有界，即，有则当时，无穷积分 在区间I一致收敛.例9 .证明：无穷积分在区间一致收敛。证明： 因为有，所以0不是被积函数的瑕点，因此将被积函数在0作连续开拓。首先证明无穷积分在区间一致收敛由§7

6、.2例6 ，有,有于是，函数在区域D有界，根据定理7，无穷积分在区间一致收敛，再根据柯西一致收敛准则，无穷积分在区间一致收敛.定理8. 若函数在区域，连续且无穷积分 在区间一致收敛。则函数在区间连续。定理9 .若函数在区域，连续且无穷积分 在区间一致收敛，则函数在区间可积，且，即.简称积分号下可积分.定理10.若函数与在区域，连续且无穷积分 在区间收敛，而无穷积分在区间一致收敛，则函数在区间可导，且即 .简称积分号下可微分.四、例（II）例10 .证明：证明： 将被积函数表积分，即-.已知有 而无穷积分收敛。根据定理6，无穷积分在区间一致收敛，根据定理9，交换积分次序，有例11. 求无穷积分解

7、：§12.1例11证明了无穷积分收敛（条件收敛）因为被积函数不存在初等函数的原函数，所以不能直接求这个无穷积分，为此在被积函数中引入一个收敛因子，讨论无穷积分 显然，。无穷积分（）的被积函数及其关于的偏导数，即与在区域连续（连续开拓），已知无穷积分在区间一致收敛（见例），下面证明。，无穷积分在区间一致收敛，事实上有已知无穷积分收敛，由定理，无穷积分在区间一致收敛，根据定理10，有从而下面确定常数C，等式8都成立，有即，对等式（8）等号两端取极限，有即或，于是.下面证明函数在右连续，事实上，已知无穷积分（7）在区间一致收敛，根据定理8，函数在在右连续，对等式（9）等号两端取 极限,有 ，即 .于是 例12. 求无穷积分解：显然，y=0时，=0当，设由例11，有于是，例13 .求无穷积分解： 被积函数是偶函数，有由分布公式与例12，有五、函数和B函数（一） 函数函数称为函数函数的两个性质：1、函数在区间连续2、递推公式 有（二）函数函数称为函数的性质1.对称性 2.递推公式 有即3、事实上，设，有 （11）由公式（11），在下面有几个简单公式：，有 （12）在公式（12）中，令与，有 （13）在公式（13）中，令，有或 ，即六、例（III） 例14.求概率积分与.解：设有于是例15