2022年2009年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解四

1、2021 年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解四1（本小题满分 14 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载2x已知 fx=x2ax R 在区间 1 , 1 上是增函数 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载（）求实数a 的值组成的集合 A .可编辑资料 - - - 欢迎下载（）设关于x 的方程 fx=1 的两个非零实根为x 1，x 2.试问：是否存在实数m,使得x可编辑资料 - - - 欢迎下载不等式 m 2+tm+1 |x 1 x 2|对任意 aA 及 t 1 ,1 恒成立？如存在,求m 的取值范畴. 如不存在,请说明理由.本小题主要考查函数的单调性,导数的应用和不等式等有关学问,考查数形

2、结合及分类争论思想和灵敏运用数学学问分析问题和解决问题的才能.满分 14 分.可编辑资料 - - - 欢迎下载解：（） f x=42ax x22x 2=222x 2x 2ax2,2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载 fx 在 1, 1 上是增函数, f x 0 对 x 1 , 1 恒成立,即 x 2ax 2 0 对 x 1, 1 恒成立 . 设x=x 2ax 2 ,方法一：1=1 a2 0,1 a1 , 1=1+a 2 0.对 x 1 , 1 , fx 是连续函数,且只有当a=1 时, f-1=0 以及当 a= 1 时, f 1=0可编辑资料 - - - 欢迎下载 A=a| 1 a 1.方法

3、二：a 0,2或a<0 ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载 1=1+a 2 01=1 a2 00 a 1或 1 a0 1 a 1.对 x 1 , 1 , fx 是连续函数,且只有当a=1 时, f 1=0 以及当 a=-1 时, f可编辑资料 - - - 欢迎下载1=0 A=a| 1 a 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载（）由 2 xx2a = 1 ,得 x2 ax 2=0 , =a 2+8>02x可编辑资料 - - - 欢迎下载 x1 ,x2 是方程 x2 ax 2=0 的两非零实根,2x 1+x 2=a ,可编辑资料 - - - 欢迎下载从而 |x 1 x 2|= x1x

4、 24x1x2 =a8 .可编辑资料 - - - 欢迎下载2x1 x2 = 2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载 1 a 1, |x 1 -x 2|=a28 3.可编辑资料 - - - 欢迎下载要使不等式 m 2+tm+1 |x 1 x2|对任意 a A 及 t 1, 1 恒成立, 当且仅当 m 2 +tm+1 3 对任意 t 1, 1 恒成立,即 m 2+tm 2 0 对任意 t 1 ,1 恒成立 .设 gt=m 2 +tm 2=mt+m 2 2 , 方法一：g 1=m 2 m 2 0,g1=m 2 +m 2 0 ,m 2 或 m 2.所以,存在实数 m ,使不等式 m 2+tm+1 |x

5、 1 x 2|对任意 a A 及 t 1 , 1 恒成立, 其取值范畴是 m|m 2 ,或 m 2.方法二：当 m=0 时,明显不成立. 当 m 0 时,m>0 ,m<0 ,或g 1=m 2 m 2 0g1=m 2 +m 2 0m 2 或 m 2.所以,存在实数 m,使不等式 m 2+tm+1 |x 1 x2 |对任意 a A 及 t-1 ,1 恒成立,其取值范畴是 m|m 2 ,或 m 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载2（本小题满分 12 分）如图, P 是抛物线 C： y= C 交于另一点 Q.1 x2 上一点,直线l 过点 P 且与抛物线2可编辑资料 - - - 欢迎下载

6、（）如直线 l 与过点 P 的切线垂直,求线段PQ 中点 M 的轨迹方程.（）如直线 l 不过原点且与 x 轴交于点 S,与 y 轴交于点 T,可编辑资料 - - - 欢迎下载试求 | ST | ST|的取值范畴 .可编辑资料 - - - 欢迎下载| SP | SQ |此题主要考查直线， 抛物线，不等式等基础学问,求轨迹方程的方法,解析几何的基本思想和综合解题才能 .满分 12 分.解：（）设Px 1 , y 1, Qx 2 ,y 2, Mx 0 , y 0,依题意 x 10 , y 1>0 , y2 >0.可编辑资料 - - - 欢迎下载由 y=1 x2,2可编辑资料 - - -

7、 欢迎下载得 y=x.过点 P 的切线的斜率 k 切= x 1,直线 l 的斜率 kl= 1 =- 1 ,k切x1可编辑资料 - - - 欢迎下载直线 l 的方程为 y1 x1 2= 12 x1x x 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载方法一：联立消去 y,得 x 2+ 2x1xx12 2=0.可编辑资料 - - - 欢迎下载 M 是 PQ 的中点可编辑资料 - - - 欢迎下载x0 =x1x2 21=-,x1可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载y 0=1 x 1221x 0 x 1.x1可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料

8、- - - 欢迎下载消去 x 1,得 y0=x 02 +122x0+1x 0 0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载 PQ 中点 M 的轨迹方程为 y=x2 +122x0+1x 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载方法二：可编辑资料 - - - 欢迎下载1由 y 1= 1 x22, y2=1 x2 2, x 0=2x1x2 ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载得 y 1 y 2=1 x 1221 x22=21x 1 +x 2x 1 x 2=x 0x 1 x 2,2可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载y1就 x 0=x1y21=kl=-

9、,x2x1可编辑资料 - - - 欢迎下载 x1 = 1 ,x0将上式代入并整理,得可编辑资料 - - - 欢迎下载y0 =x 02+122x0+1x 00 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载 PQ 中点 M 的轨迹方程为 y=x2 +122x0+1x 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载（）设直线l:y=kx+b ,依题意 k 0,b 0 ,就 T0 ,b.分别过 P ，Q 作 PP x 轴, QQ y 轴,垂足分别为 P ， Q ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载| ST | ST | OT | OT | b | b |.可编辑资料 - - - 欢迎下载| SP | SQ | P P |

10、 Q Q | y1 | y2 |可编辑资料 - - - 欢迎下载y= 1 x 22由消去 x,得 y 2 2k 2+by+b 2=0.y=kx+by 1+y 2 =2k 2 +b ,就y 1y 2=b 2.方法一：可编辑资料 - - - 欢迎下载| ST | SP | ST | SQ |1|b|y1 2|b|y1=2|b|y y1=2.b2可编辑资料 - - - 欢迎下载1212 y1，y2 可取一切不相等的正数,可编辑资料 - - - 欢迎下载 | ST | SP | ST | SQ |的取值范畴是（ 2 , +） .可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载方法二：

11、| ST | SP | ST | SQ |=|b|y1y2 y1y2=|b|2 k2b.b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载当 b>0 时,| ST | SP | ST | SQ |2k 2=bb 2b2 k2=bb2k 2=b+2>2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载当 b<0 时,| ST | SP | ST | SQ |2k 2= bb 2b2k 2b=.b可编辑资料 - - - 欢迎下载又由方程有两个相异实根,得=4k 2+b 2-4b 2 =4k 2k 2+2b>0 , 于是 k 2+2b&g

12、t;0 ,即 k 2> 2b.可编辑资料 - - - 欢迎下载所以 | ST | SP | ST |2 2b>| SQ |bb=2.可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载当 b>0 时,2k 2b可取一切正数,可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载 | ST | SP | ST | SQ |的取值范畴是（ 2 , +） .可编辑资料 - - - 欢迎下载方法三：由 P，Q，T 三点共线得 k TQ =KTP ,可编辑资料 - - - 欢迎下载y2b即=x2y1b.x1可编辑资料 - - - 欢迎下载就 x 1y2 bx 1=

13、x 2y 1 bx 2,即 bx 2 x 1=x 2y 1 x1 y2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载x12x21于是 b=2x1 x 21221=x1 x2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载x2x1212|1 x x |1 x x|可编辑资料 - - - 欢迎下载 | ST | ST |=| b | b |=2+212x2= | + | x1| 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载| SP | SQ | y1 | y2 |1122x1x2可编辑资料 - - - 欢迎下载 | x2x1| 可取一切不等于 1 的正数,可编辑资料 - - - 欢迎下载 | ST | SP | ST | SQ

14、 |的取值范畴是（ 2 , +） .可编辑资料 - - - 欢迎下载3（本小题满分 12 分）某突发大事, 在不实行任何预防措施的情形下发生的概率为0.3 ,一旦发生, 将造成 400 万元的缺失 . 现有甲，乙两种相互独立的预防措施可供接受. 单独接受甲，乙预防措施所需的费用分别为45 万元和 30 万元,接受相应预防措施后此突发大事不发生的概率为 0.9 和 0.85.如预防方案答应甲，乙两种预防措施单独接受，联合接受或不接受,请确定预防方案使总费用最少.（总费用=实行预防措施的费用 +发生突发大事缺失的期望值.）本小题考查概率的基本学问和数学期望概念及应用概率学问解决实际问题的才能,满分

15、12分.解：不实行预防措施时,总费用即缺失期望为400 × 0.3=120 （万元）.如单独实行措施甲,就预防措施费用为45 万元,发生突发大事的概率为1 0.9=0.1 ,缺失期望值为 400 × 0.1=40 （万元）,所以总费用为45+40=85 （万元）如单独实行预防措施乙,就预防措施费用为30 万元,发生突发大事的概率为1 0.85=0.15 ,缺失期望值为 400 × 0.15=60 （万元） ,所以总费用为 30+60=90 （万元） .如联合实行甲，乙两种预防措施,就预防措施费用为45+30=75 （万元）,发生突发大事的概率为（ 1 0.9 ）（

16、 1 0.85 ） =0.015 ,缺失期望值为 400 × 0.015=6 （万元）, 所以总费用为 75+6=81 （万元） .综合，,比较其总费用可知,应挑选联合实行甲，乙两种预防措施,可使总费用最少 .4（本小题满分 14 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载已知 a0, 数列 an中意 a1a, an 1a1 , n an1,2,.可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载（I） 已知数列 an 极限存在且大于零,求Alimnan （将 A 用 a 表示）.可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载（II） 设 bnanA, n1

17、,2, 证明: bn 1bn;AbnA可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载（III） 如| bn |1 对n2n1,2,都成立,求 a 的取值范畴 .可编辑资料 - - - 欢迎下载本小题主要考查数列， 数列极限的概念和数学归纳法,考查灵敏运用数学学问分析问题和解决问题的才能,满分14 分.可编辑资料 - - - 欢迎下载解：（ I）由limnan存在 ,且Alimnan A0, 对an 1a1 两边取极限得an可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载1aAa, 解得A Aa 242a.又A0,Aa 24.2可编辑资料 - - - 欢迎下载（

18、 II）由anbnA, an 11a得bn 1anAa1.bnA可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载bn 1aA1bnA11AbnAbn.AbnA可编辑资料 - - - 欢迎下载即bn 1bn Abn1对n1,2,A1都成立21可编辑资料 - - - 欢迎下载（ III） 令 | b1 |,得 | a a 22a4 |. 2可编辑资料 - - - 欢迎下载| 1 a 224a |1 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载a 24a1,解得 a3 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载现证明当 a3 时, | b|n21 对n 2 n1,2,都成立 .可编辑资料 - -

19、- 欢迎下载（ i）当 n=1 时结论成立（已验证） .1可编辑资料 - - - 欢迎下载（ ii）假设当 nkk1) 时结论成立,即| bk |k , 那么2可编辑资料 - - - 欢迎下载| bk 1 | bk| Abk|A |11kA | bkA |2可编辑资料 - - - 欢迎下载故只须证明1A | bkA |1 ,即证 A | bk2A |2对a3 成立.2可编辑资料 - - - 欢迎下载由于A而当aaa 2423时,a 2422a 24a1,aA2.可编辑资料 - - - 欢迎下载| bkA |A1| bk |2k21,即A | bkA |2.可编辑资料 - - - 欢迎下载故当a

20、3时,| b|111 .kk1k12222可编辑资料 - - - 欢迎下载即 n=k+1 时结论成立 .依据（ i）和（ ii）可知结论对一切正整数都成立.13可编辑资料 - - - 欢迎下载故| bn |n 对n21,2,都成立的a的取值范畴为 ,.2可编辑资料 - - - 欢迎下载5（本小题满分 14 分,第一小问满分4 分,其次小问满分10 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载已知 aR ,函数f x2x| xa | .可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载 当 a2时,求使f xx 成立的 x 的集合.可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢

21、迎下载 求函数yf x 在区间 1,2上的最小值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载本小题主要考查运用导数争论函数性质的方法,考查分类争论的数学思想和分析推理才能.可编辑资料 - - - 欢迎下载满分 14 分.解：（）由题意,f xx 2 x2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载当 x2时,f x2x2xx ,解得 x0 或 x1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载当 x2时,f xx 2 x2x ,解得 x12 .可编辑资料 - - - 欢迎下载综上,所求解集为0 ,1,12.（）设此最小值为m .可编辑资料 - - - 欢迎

22、下载当 a1时,在区间 1,2 上,f xx 3ax 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载由于f x3x 22ax3x x2 a0 , x 31,2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载就 f x 在区间 1,2上是增函数,所以mf 11a .可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载当 1a2 时,在区间 1,2 上,f xx 2 xa0 ,由f a0 知可编辑资料 - - - 欢迎下载mf a0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载当 a2 时,在区间 1,2 上,f xax 2x 3 .可编辑资料 - -

23、 - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载f x2ax3 x 23x 2 ax .3可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载如 a3 ,在区间 1,2 内f x0 ,从而f x 为区间 1,2 上的增函数,可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载由此得mf 1a1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载如 2a3 ,就 12 a2 .3可编辑资料 - - - 欢迎下载当 1x2 a 时, f x0 ,从而 f x 为区间 12 a 上的增函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载,33可编辑资料 - - - 欢迎下载当

24、 2 ax32 时,f x0 ,从而f x 为区间 23a,2 上的减函数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载因此,当 2a3 时,mf 1a1 或 mf 24 a2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载当 2a7时, 4a23a1,故mf 24 a2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载当 7a33 时, a14 a2) ,故mf 1a1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载综上所述,所求函数的最小值1a,当a1时.0,当1a2时.可编辑资料 - - - 欢迎下载m4 a2 , 当2a7 时.3可编辑资

25、料 - - - 欢迎下载a1,当a7 时3可编辑资料 - - - 欢迎下载6（本小题满分 14 分,第一小问满分2 分,其次，第三小问满分各6 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载设数列an的前 n 项和为Sn ,已知 a11,a26,a 311 ,且可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载5n其中 A,B 为常数 .8 Sn 15n2 SnAnB,n1,2,3,L,可编辑资料 - - - 欢迎下载 求 A 与 B 的值. 证明：数列 a n为等差数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载 证明：不等式5a mnaman1 对任何正整数m,n 都成立 .可编辑资料 - -

26、- 欢迎下载本小题主要考查等差数列的有关学问，不等式的证明方法,考查思维才能，运算才能.可编辑资料 - - - 欢迎下载解：（）由已知,得S1a11 , S2a1a 27 , S3a1a 2a 318 .可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载由 5n8Sn 15n2 SnAnB ,知可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载3S22S37S112S2AB ,即2 AB ,AB2 AB28 ,48 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载解得A20 , B8 .可编辑资料 - - - 欢迎下载（）方法 1由（）,得5n8 Sn 15n2) Sn20n8 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载所以5n3) Sn 25n7 Sn 120n28 .可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载 -,得5n3Sn 210n1) Sn 15n2) Sn20 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载所以5n2 Sn 310n9 Sn 25n7 Sn 120 .可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载 -,得由于5n an 12 Sn 3Sn 115nSn ,6 Sn 215n6 Sn 15n2 Sn0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载所以5n2 an 310n4 an