同济大学(高等数学)_第五章_定积分与其应用

1、第五章定积分及其应用本章开始讨论积分学中的另一个基本问题：定积分 .首先我们从几何学与力学问题引进定积分的定义 , 之后讨论它的性质与计算方法 . 最后，来讨论定积分的应用问题 .第 1 节定积分的概念与性质1.1定积分问题举例曲边梯形的面积曲边梯形设函数yf ( x) 在区间a,b 上非负、连续由直线 xa, xb, y0 及曲线yf ( x) 所围成的图形称为曲边梯形其中曲线弧yf ( x) 称为曲边求曲边梯形的面积的近似值将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值具体方法是在区间a, b 中任意插入若干个分点（

2、图5-1 ）ax0x1x2xn 1xnb,把 a, b 分成 n 个小区间x0 , x1 , x1 , x2 ,x2 , x3 , xn 1 , xn ,它们的长度依次为x1x1x0 ,x2x2x1 ,xnxnxn 1 .经过每一个分点作平行于y 轴的直线段把曲边梯形分成 n 个窄曲边梯形在每个小区间xi 1 , xi上任取一点i ,以xi 1 , xi 为底、f ( i ) 为高的窄矩形近似替代第i 个窄曲边梯形，i 1,2,3, , n ，把这样得到的 n 个窄矩形面积之和作为所求曲边梯形面积A 的近似值即nAf ( 1 )x1f ( 2 ) x2f ( n )xnf ( i )xi .i

3、 11求曲边梯形的面积的精确值显然分点越多、每个小曲边梯形越窄所求得的曲边梯形面积A 的近似值就越接近曲边梯形面积A 的精确值因此要求曲边梯形面积A 的精确值只需无限地增加分点使每个小曲边梯形的宽度趋于零记maxx1 ,x2 ,xn , 于是上述增加分点使每个小曲边梯形的宽度趋于零相当于令0. 所以曲边梯形的面积为nAlimf ( i ) xi .0 i1图 5-1变速直线运动的路程设物体作直线运动已知速度vv(t ) 是时间间隔T1 ,T2 上 t的连续函数且 v(t)0, 计算在这段时间内物体所经过的路程S求近似路程我们把时间间隔T1 ,T2 分成 n 个小的时间间隔ti在每个小的时间间隔

4、ti 内物体运动看成是均速的其速度近似为物体在时间间隔 ti 内某点 i 的速度 v( i ) 物体在时间间隔 ti 内 运动的路程近似为 si v( i ) t i . 把物体在每一小的时间间隔2t i 内 运动的路程加起来作为物体在时间间隔T1, T2 内所经过的路程 S 的近似值具体做法是在时间间隔T1 ,T2 内任意插入若干个分点Tit0t1t 2t n 1t nT2 ,T1 ,T2 分成 n 个小段t 0 , t1 , t1, t 2 ,t n 1 ,t n ,各小段时间的长依次为t1t1t0 ,t 2t2t1 ,tntnt n 1 .相应地在各段时间内物体经过的路程依次为s1 ,s

5、2 ,sn .在时间间隔t i 1 ,t i 上任取一个时刻i (ti 1it i ),以 i 时刻的速度 v( i ) 来代替t i 1 ,t i 上各个时刻的速度得到部分路程si的近似值即siv( i )t i (i1,2, n).于是这 n 段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程 S的近似值 即nSv( i) tii1求精确值记maxt1 ,t2 ,tn , 当0 时取上述和式的极限即得变速直线运动的路程nS limv( i ) ti0 i11.2定积分的概念抛开上述问题的具体意义抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括就抽象出下述定积分的定义定义 设函数 y f ( x)

6、在 a, b 上有界 在 a, b 中任意插入若干个分点ax0x1x2xn 1xnb,3把区间a,b 分成 n 个小区间x0 , x1 , x1 , x2 ,x2 , x3 , xn 1 , xn ,各小段区间的长依次为x1x1x0 , x2x2x1 , , xn xnxn 1.在每个小区间xi1, xi 上任取一个点i, 作函数值 f ( i ) 与小区间长度 xi 的乘积f ( i )xi (i1,2,n) 并作出和nSf (i ) xii 1记maxx1 ,x2 , xn , 如果不论对 a, b 怎样分法也不论在小区间 xi 1 , xi 上点 i , 怎样取法只要当0时 和 S 总趋

7、于确定的极限 I这时我们称这个极限I为函数 f (x) 在区间 a, b 上的定积分记作 ab f (x)dx即bnf (i )xif ( x)dx lima0 i1其中 f ( x) 叫做被积函数f (x)dx 叫做被积表达式x 叫做积分变量 a叫做积分下限b叫做积分上限a, b 叫做积分区间根据定积分的定义曲边梯形的面积为bAa f (x)dx变速直线运动的路程为S T2v tdt( )T1说明(1) 定积分的值只与被积函数及积分区间有关 而与积分变量的记法无关 即bbba f (x)dxa f (t)dta f (u)du(2) 和n通常称为 f (x) 的积分和f ( i ) xii

8、1(3) 如果函数f ( x) 在 a, b 上的定积分存在我们就说f (x)在区间 a,b 上可积函数 f (x) 在 a,b 上满足什么条件时f ( x) 在 a, b 上可积呢？定理1 设 f (x) 在区间 a, b 上连续则 f (x) 在 a, b上可积4定理 2设 f ( x) 在区间 a,b 上有界且只有有限个间断点则 f ( x)在 a,b 上可积定积分的几何意义设f (x) 是a, b 上 的 连 续 函 数 ， 由 曲 线 yf (x) 及 直 线xa, xb, y0 所围成的曲边梯形的面积记为A . 由定积分的定义易知道定积分有如下几何意义：（ 1）当（ 2）当f (

9、x)0 时， b f (x) dxAaf ( x)bA0 时， f (x) dxa（ 3）如果 f ( x) 在 a,b 上有时取正值，有时取负值时，那么以 a,b 为底边，以曲线y f ( x) 为曲边的曲边梯形可分成几个部分，使得每一部分都位于 x 轴的上方或下方 .这时定积分在几何上表示上述这些部分曲边梯形面积的代数和，如图5.3 所示，有bf ( x)dxA1A2A3a其中 A1 , A2 , A3 分别是图 5-2 中三部分曲边梯形的面积， 它们都是正数 .图 5-2例 1. 利用定义计算定积分12dx0 x解 把区间 01 分成 n 等份分点和小区间长度分别为xii(i 1 2n

10、1)xi1(i 1 2n)nn取 ii (i 1,2, , n), 作积分和n5nf (i)xn2xn( i )211ni 211 n(n 1)( 2n1)1 (11)(21)iiii 1 n n n3 i 1n3 66nni 1i 1因为1当0 时 n所以n12n1111limf (i )xilim(1)(2)0 x dx6nn30 i1n图 5-3例 2 用定积分的几何意义求10(1x) dx解 函数 y1 x 在区间 0,1上的定积分是以 y1x 为曲边以区间 0,1为底的曲边梯形的面积因为以 y1x 为曲边以区间 0,1为底的曲边梯形是一直角三角形其底边长及高均为 1 所以11 1 1

11、1(1 x)dx022图 5-4例 3 利用定积分的几何意义，证明11 x 2 dx.12证明 令 y1 x2 , x 1,1 ，显然 y0 ，则由 y1 x2 和直线 x 1, x 1，y 0 所围成的曲边梯形是单位圆位于 x 轴上方的半圆 .如图 5-5 所示 .6因为单位圆的面积 A，所以半圆的面积为.2由定积分的几何意义知：12 dx.1 x12图 5-5定积分的性质两点规定(1) 当 a b 时(2) 当 a b 时ba f (x)dx0baa f (x)dxb f ( x)dx性质1函数的和 (差)的定积分等于它们的定积分的和(差) 即bbba f ( x)g(x)dxa f (

12、x)dxa g(x)dxbnlim f ( i )g ( i ) xi证明 : a f (x) g(x)dx0 i 1nnlimf (i ) xilimg ( i )xi0 i 10 i 1bba f ( x)dxa g(x)dx性质 2被积函数的常数因子可以提到积分号外面即bba kf (x)dxk a f (x)dx这是因为bnnblimkf ( i)xik limf ( i )xi ka kf (x)dxa f (x)dx0 i10 i 1性质如果将积分区间分成两部分则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和即bcba f ( x)dx a f ( x)dxc f ( x)dx这

13、个性质表明定积分对于积分区间具有可加性7值得注意的是不论a,b,c 的相对位置如何总有等式bcba f (x)dxa f (x)dxc f (x)dx成立例如当 a bc 时由于cbca f (x)dxa f ( x)dxb f (x)dx于是有bcccba f ( x)dxa f ( x)dxb f (x)dxa f ( x)dxc f ( x)dx性质 4如果在区间 a, b 上 f (x)1则bbdxdx b aa1a性质 5如果在区间 a, b 上 f (x)0则b0 (ab)a f (x)dx推论 1如果在区间 a, b 上 f (x)g(x) 则bbb)a f (x)dxa g (

14、x)dx (a这是因为 g (x)f (x)0从而bbba g(x)dx a f (x)dxa g (x) f (x)dx 0所以bba f (x)dxa g(x)dx推论 2bb(ab)| a f (x)dx|a| f (x)| dx这是因为 |f (x)|f(x)|f (x)|所以bbba| f ( x) |dxa f (x)dxa | f (x)| dxbf ( x)dx |b即 |f ( x)dx.aa性质 6设 M及 m分别是函数 f ( x) 在区间 a,b 上的最大值及最小值则bb)m(b a) a f ( x)dx M (b a) (a证明因为 mf (x)M所以bbba md

15、xa f ( x)dxa Mdx从而bm(b a)a f (x)dxM (ba)性质 7(定积分中值定理 )如果函数 f (x) 在闭区间 a,b8上连续则在积分区间a, b 上至少存在一个点使下式成立ba f ( x)dxf ( )(ba)这个公式叫做积分中值公式证明由性质 6bm(ba)a f (x)dx M (b a)各项除以 ba得1bmba a f ( x)dx M再由连续函数的介值定理在 a,b 上至少存在一点使1bf ( )ba a f (x)dx于是两端乘以ba 得中值公式ba f (x)dxf ( )(ba)注意 不论 a b 还是 a b 积分中值公式都成立 并且它的几何意

16、义是 : 由曲线 y f ( x) , 直线 x a, x b 和 x 轴所围成曲边梯形的面积等于区间 a, b 上某个矩形的面积 , 这个矩形的底是区间 a,b ,矩形的高为区间 a,b 内某一点 处的函数值 f ( ) ，如图 5-6 所示 .图 5-6习题5-11. 利用定积分的概念计算下列积分.9（1） 01(ax b) dx ;（2） 01a x dx( a0 ).2. 说明下列定积分的几何意义，并指出它们的值.（ 1 ） 1 (2x 1)dx ；（2 ） rr 2x2 dx ；0r33x 2 dx .（3） 0xdx ；（4） 393. 不经计算比较下列定积分的大小（ 1 ）12d

17、x 与13dx ;（2 ）4sin xdx 与0x0x04 cos xdx ;0（ 3 ）1xdx 与1ln(1 x)dx ;（4） 1xdx 与1x 2 dx .00004. 设 f (x) 为区间 a,b 上单调增加的连续函数，证明：f ( a)(b a)bf (x)dx f (b)(b a)a5. 用定积分定义计算极限 lim (nnn)22222nn1n2nn第 2 节 微积分基本公式102.1变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设物体从某定点开始作直线运动在 t 时刻所经过的路程为 S(t ) 速度为 v v(t ) S (t )(v(t)0), 则在时间间隔T1 ,T2内物体

18、所经过的路程 S 可表示为S(T2) S(T1) 及 TT2v(t)dt1即 TT2v(t )dt S(T2 ) S(T1)1上式表明速度函数 v(t) 在区间 T1 ,T2上的定积分等于v(t)的原函数 S(t) 在区间 T1 ,T2 上的增量这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢？2.2积分上限函数及其导数定义 设函数 f (x) 在区间 a, b 上连续 并且设 x 为 a, b 上的一点 我们把函数 f (x) 在部分区间 a, x 上的定积分xa f (x)dx称 为 积 分 上 限 的 函 数它 是 区 间 a,b 上 的 函 数记 为x( x)f ( x)dxa或 ( x)x

19、f (t)dta定 理1如 果 函 数 f ( x)x( x)f (t)dt 在 a,b 上具有导数a在 区 间 a, b 上 连 续 则 函 数并且它的导数为( x)dxf ( x)(axb)dxf (t)dta证明若 x(a, b)取 x 使 xx(a, b).( xx)(x)x xxaf (t)dta f (t )dtxx(t) dta(t )dtxxf ( )xaffxf (t)dtx应用积分中值定理有f ( )x,其中 在 x 与 xx 之间x0 时x于是lim0xlimf ()limf ()f (x), 即( x)f ( x)xx 0x若 xa取 x0则同理可证( x)f (a)

20、若 xb取x 0 则同理可证( x)f (b)推论如果( x)可导，则11d( x)( x)f (t)dt xf ( x)( x)dxf (t )dt aa( x )更一般的有t dtf(x)(x)f(x)(x).f( x)( )例 1计算 dxt sin tdt .eddx0解xxe tsin tdt = e xsin x .et sin tdt = dx00x 2例 2求极限 lim0sin tdt.x4x 0x 20解因为 lim x 40 ， lim，所以这个极限sin tdtsin tdt 0x 0x 000是 0 型的未定式，利用洛必达法则得0x 2lim 0sin tdtsin

21、x22xsin x2x 4=lim=limx 0x 04x3x 0 2x 2=1sin x212 x 0x2= 2 .lim例 3设 f ( x) 在 0,内 连 续 且 f (x) 0证明函数xF (x)0 tf (t)dtx在 (0,) 内为单调增加函数0 f (t)dt证明ddxx0tf (t)dtF (x)xf (x)dx f (t)dtf (x)dx 0xxxf (x) 0 f (t )dtf (x) 0 tf (t)dtx( 0 f (t )dt)2故xf (x) 0 ( x t) f (t)dtx( 0 f (t )dt)2按假设 当 0 tx 时 f (t )0, (xt) f

22、 (t ) 0, 所以xx0 f (t )dt 00 (x t) f (t)dt 0从而 F ( x) 0( x0), 这就证明了F ( x) 在 (0,) 内为单调增加函数定理2如果函数x( x)f (t)dt 就是 f (x) 在 a, baf ( x) 在 区 间 a, b 上 连 续 则 函 数上的一个原函数定理的重要意义 一方面肯定了连续函数的原函数是存在的 另一方面初步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系122.3牛顿莱布尼茨公式定理3如果函数 F ( x) 是连续函数 f ( x) 在区间 a, b上的一个原函数 则bF(a)f ( x)dx F (b)a此公式称为牛顿莱布

23、尼茨公式也称为微积分基本公式证明已知函数 F ( x) 是连续函数f ( x) 的一个原函数又根据定理 2积分上限函数x也是 f ( x) 的一个原函数( x)a f (t )dt于是有一常数 C使 F (x)(x)C (a x b).当 xa 时有 F ( a)(a)C ，而( a)0 ，所以 C F (a) 当 xb时F (b)(b)F (a)所以(b)F (b)F (a)即ba f ( x)dx F (b)F(a)为了方便起见可把 F (b)F (a) 记成 F ( x) ba 于是ba f (x)dx F (x)ba F (b)F(a)该公式进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积

24、分之间的联系例 4 计算 01x2dx解 由于 31 x3 是 x 2 的一个原函数所以1213 113131x dxx 03130303例 5计算3 dx1 1x2解 由于 arctanx是 11x2的一个原函数所以3dxarctan x3arctan3arctan( 1)()71 1x211234例 6计算1 1dx2 x1ln 1ln 2ln 2解2 1 dx ln |x | 12x例 732xdx .求1解3x dx =23232| 2 x | dx| 2 x | dx( 2 x)dx( x 2) dx112122( 1 x23= 91=5.= ( 2x1 x 2 )2x)212222

25、13例 8计算正弦曲线y sinx 在0上与 x 轴所围成的平面图形的面积解 这图形是曲边梯形的一个特例它的面积1. 设2. 设A 0 sin xdx cosx0(1)(1)2习题 5-2x2f ( x)sin t dt ，求 f () ；04f ( x)xx cost 3dt ，求 f( x) ；03. 求下列函数的导数（ 1） f ( x)xt dt ；e0（ 3） f ( )costdt ；sin4. 计算下列导数（ 1 ） dx2 t 2et 2 dt ；dx0dx2x2 )sin tdt .0 (tdx（2 ） f ( x)11 t 2 dt ；x（ 4） f ( x)x21 t 2

26、 dt .0（ 2 ） dx21dt ；（ 3 ）dx x1t 2x5. 求下列极限（1 ） lim1sin( t )dt（ 2 ）；x 11cos( t)(x et 2dt )2lim0.x2x 0te 2tdt06. 计算下列定积分（ 1） 2 ( x 2x 1)dx ； （ 2 ） 1 (2xx 2 ) dx ； （3 ） 2 1 dx ；101x（4） 0cosxdx ；（5）02sin x dx ；（6） 01exdx ；（7） 01(23cos x)dx ;（8） 01x100 dx ;（ 9 ）1 x21dx ;20 x1（11） 4（10 ）01cos2xdx ;x (1x )

27、dx ;（12 ）1312 dx ;1x3 111（ 14 ） 10 100 x dx ;（15 ）（13） 2dx ;01x 2140 3x43x2112dx ;1x（16） 21dx ;（ 17 ） 4 tan2 xdx ;（18 ）e 11x01max x,1 xdx08设 f xx1,x 102 f x dx .12,，求2xx 115第 3 节 定积分的计算3.1定积分的换元积分法定理假设函数f ( x) 在区间a,b 上连续函数 x(t) 满足条件(1)()a,()b;(2)(t ) 在,（或,）上具有连续导数且其值域不越出a,b则有ba f ( x)dxf (t)(t)dt这个公式叫做定积分的换元公式证明由假设知f ( x) 在区间a,b 上是连续因而是可积的f(t )(t ) 在区间,(或,)上也是连续的因而是可16积的假设 F( x) 是 f ( x) 的一个原函数则bF (b)F (a).f ( x)dxa另一方面因 为 F(t)F(t ) (t)f(t)(t )所 以F(t) 是 f(t )(t ) 的一个原函数从而f(t)(t)dtF( )