大学物理振动和波习题课

1、1.机械波机械波n产生的条件：产生的条件：n描述波动的特征量描述波动的特征量:波源和弹性介质波源和弹性介质波速、波长、波的周期、频率波速、波长、波的周期、频率2.平面简谐波平面简谐波n波函数波函数cos()xyAtucos()xyAtun简谐波的能量：简谐波的能量：能量不守恒能量不守恒平衡位置：平衡位置：动能和势能同时达到最大值；动能和势能同时达到最大值；最大位移处：最大位移处：动能和势能同时为零动能和势能同时为零!平均能量密度平均能量密度2212wA能流密度（波的强度）能流密度（波的强度）：uwSpI uA2221 3.惠更斯原理和波的叠加原理惠更斯原理和波的叠加原理 波阵面上每一点都可以看

2、作是发出球面子波的波阵面上每一点都可以看作是发出球面子波的新波源，这些子波的包络面就是下一时刻的波阵面。新波源，这些子波的包络面就是下一时刻的波阵面。惠更斯原理惠更斯原理: 当几列波在介质中某点相遇时，该质点的当几列波在介质中某点相遇时，该质点的振动位移等于各列波单独传播时在该点引起位振动位移等于各列波单独传播时在该点引起位移的矢量和。移的矢量和。波的叠加原理波的叠加原理:4.波的干涉波的干涉:相干条件：相干条件：振动方向相同振动方向相同频率相同频率相同相位相同或相位差恒定相位相同或相位差恒定干涉相长和干涉相消的条件：干涉相长和干涉相消的条件：212122 ()(21)krrk21若12,21

3、2krrk5.驻波驻波: 是由振幅相同，传播方向相反的两列相干波是由振幅相同，传播方向相反的两列相干波叠加而成。叠加而成。 驻波特点驻波特点: 各质点的振幅各不相同各质点的振幅各不相同;质元分段振动，没有波形的传播，故名质元分段振动，没有波形的传播，故名驻波驻波; 两相邻波节之间的各质元同时达到各自的极大两相邻波节之间的各质元同时达到各自的极大值，同时达到各自的极小值；值，同时达到各自的极小值；驻波中没有能量的定向传播。驻波中没有能量的定向传播。波节波节,波腹波腹; 在空间的位置不动在空间的位置不动;（相位相同相位相同）波节两侧各质元的振动波节两侧各质元的振动相位差为相位差为 。6.6.半波损

4、失半波损失若反射点为若反射点为自由端自由端，无半波损失无半波损失。若反射点为若反射点为固定端固定端，有半波损失有半波损失。波疏介波疏介质质波密介质波密介质有半波损失有半波损失分界面反射点形成波节分界面反射点形成波节波密介质波密介质波疏介质波疏介质无半波损失无半波损失分界面反射点形成波腹。分界面反射点形成波腹。7.7.多普勒效应多普勒效应0suuvv机械振动和机械波习题课机械振动和机械波习题课一选择填空题一选择填空题一简谐振动曲线如图示，则振动周期是（）一简谐振动曲线如图示，则振动周期是（）解解: sDsCsBsA00. 220. 240. 262. 200cos,40,4cos2,sin03x

5、AtAtxvA 32cos4tTx2.4sT2sT0, 1且xt mx024 st1故选（）。故选（）。一长为的均匀细棒悬于通过其一端的光滑水一长为的均匀细棒悬于通过其一端的光滑水平轴上，如图示，作成一复摆。已知细棒绕通过其平轴上，如图示，作成一复摆。已知细棒绕通过其一端的轴的转动惯量，此摆作微小振动的一端的轴的转动惯量，此摆作微小振动的周期为（）。周期为（）。l231mloc 2222233llllABCDgggg解：复摆，为物体重心到解：复摆，为物体重心到轴的距离。轴的距离。mghIT2h则则glmglmlT3222322故选（）。故选（）。已知一平面简谐波的波动方程为已知一平面简谐波的波

6、动方程为（、为正值）则（、为正值）则（）波的频率为；（）波的传播速度为（）波的频率为；（）波的传播速度为（）波长为；（）波的周期为。（）波长为；（）波的周期为。解：解： bxatAycosabbcTaaTbacaTcxtAbaxtaAy2222coscos则故选（）。故选（）。aabba2bxatAycosab4.4.图中所画的是两个简谐振动的振动曲线若这两个简图中所画的是两个简谐振动的振动曲线若这两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相为谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相为: : x t O A/2 -A x1 x2 已知一平面简谐波沿轴正向传播，振动周期已知一平面简谐波沿轴正向传播，振

7、动周期，波长，振幅，当，波长，振幅，当时，波源振动的位移恰为正的最大值。若时，波源振动的位移恰为正的最大值。若波源处为原点。则沿波传播方向距离波源为处的波源处为原点。则沿波传播方向距离波源为处的振动方程为（），当时，处质点振动方程为（），当时，处质点的振动速度为（）。的振动速度为（）。sT5 . 0m10mA1 . 00t22Tt 4x解：解：204cos1 . 02042cosxtyTcTcxtAy令波动方程令，代入波动方程得振动方程为：令，代入波动方程得振动方程为：52xtty4cos1 . 02054cos1 . 0处质点的振动方程为：处质点的振动方程为：4x24cos1 . 0ty则此

8、处质点的振动速度为：则此处质点的振动速度为：24sin41 . 0tdtdyv上式中，令，则上式中，令，则25. 02Ttsmv4 . 0 x =_ 6.一质点沿一质点沿x轴作简谐振动，振动范围的中心点为轴作简谐振动，振动范围的中心点为x轴的轴的原点已知周期为原点已知周期为T，振幅为，振幅为A若若t = 0时质点过时质点过x = 0处且朝处且朝x轴正方向运动，则振动方程为轴正方向运动，则振动方程为x =_Ax21若若t = 0时质点处于时质点处于处且向处且向x轴负方向运动，轴负方向运动，则振动方程为则振动方程为)212cos(TtA)312cos(TtA7.图中所示为两个简谐振动的振动曲线若以

9、余弦函数表图中所示为两个简谐振动的振动曲线若以余弦函数表示这两个振动的合成结果，则合振动的方程为示这两个振动的合成结果，则合振动的方程为21xxxx (m)t (s)Ox1x2120.08-0.040.04cos()t 8如果在固定端处反射的反射波方程式是如果在固定端处反射的反射波方程式是xtAy2cos20 x设反射波无能量损失，则入射波的方程式是（）设反射波无能量损失，则入射波的方程式是（）形成的驻波的表达式是（）。形成的驻波的表达式是（）。1cos 2xyAt 入射波方程xtAxtAyyy22cos22cos211cos 2OyAvt2cos 2OyAvt得：得：txAy2sin2sin

10、2形成的驻波为：形成的驻波为：9一平面简谐波在弹性媒质中传播时，某一时刻一平面简谐波在弹性媒质中传播时，某一时刻在传播方在传播方向上媒质中某质元在负的最大位移处，则它的能量是向上媒质中某质元在负的最大位移处，则它的能量是（）动能为零，势能最大；（）动能为零，势能最大；（）动能为零，势能为零；（）动能为零，势能为零；（）动能最大，势能最大；（）动能最大，势能最大；（）动能最大，势能为零。（）动能最大，势能为零。 （）。（）。10质量为的物体和一个轻弹簧组成弹簧振子，质量为的物体和一个轻弹簧组成弹簧振子，其固有振动周期为。当它作振幅为的自由简谐其固有振动周期为。当它作振幅为的自由简谐振动时，其振动

11、能量（）。振动时，其振动能量（）。mTAE解：解：22222222142TmAkAETmkkmT12、一质点作简谐振动，周期为。质点由平衡、一质点作简谐振动，周期为。质点由平衡位置向轴正方向运动时，由平衡位置到二分之一位置向轴正方向运动时，由平衡位置到二分之一最大位移这段路程所需要的时间为（）。最大位移这段路程所需要的时间为（）。T 86124TDTCTBTA解：令简谐振动为解：令简谐振动为tAxsin则当时，则当时，2Ax 5 . 0sint, 2 , 1 , 0622kktT11.一弹簧振子作简谐振动，总能量为一弹簧振子作简谐振动，总能量为E1，如果简谐振动，如果简谐振动振幅增加为原来的两

12、倍，重物的质量增为原来的四倍，振幅增加为原来的两倍，重物的质量增为原来的四倍，则它的总能量则它的总能量E2变为变为 1111( )/4( )/2( )2()4A EB ECEDE D 由题意知，所以。由题意知，所以。4Tt 12Tt 故选（）。故选（）。3、两相干波源和相距，的位相比、两相干波源和相距，的位相比的位相超前，在两波源的连线上，外侧的位相超前，在两波源的连线上，外侧（例如点）两波引起的两简谐振动的位相差是：（例如点）两波引起的两简谐振动的位相差是：1S2S41S2S21SP 2320DCBA1S2SP解：位相差解：位相差21212422rr 故选（）。故选（）。14一质量的物体，在

13、弹性恢复力的一质量的物体，在弹性恢复力的作用下沿轴运动，弹簧的倔强系数作用下沿轴运动，弹簧的倔强系数（）求振动的周期和圆频率。（）求振动的周期和圆频率。（）如果振幅时位移（）如果振幅时位移处，且物体沿轴反向运动，求初速及初相。处，且物体沿轴反向运动，求初速及初相。（）写出振动的数学表达式。（）写出振动的数学表达式。kgm25. 0125Nmk0,15tcmAcmx5 . 700v解解：（）：（）sTsmk63. 02101（）方法一：（）方法一：依题意，由公式得：依题意，由公式得：2020vxAsmxAv3 . 12020000433cos03varctgorxxA方法二：方法二：令振动方程为

14、，则令振动方程为，则cosxAtsinvAt 由初始条件由初始条件cmAcmxt155 . 7, 00及得：得：0cos0.5033v 则初速则初速smAv3 . 1231015. 03sin0（）振动表达式：（）振动表达式：SItx310cos15. 015已知波长为的平面简谐波沿轴负方向传播。已知波长为的平面简谐波沿轴负方向传播。处的质点振动规律为处的质点振动规律为4xSIctAy2cos（）写出该平面简谐波的方程。（）写出该平面简谐波的方程。（）画出时刻的波形图。（）画出时刻的波形图。Tt c0X4xP解解：（）如右图，取波线：（）如右图，取波线上任一点，其坐标设为上任一点，其坐标设为由

15、波的传播特性。该点的振由波的传播特性。该点的振动落后于处质点的振动。动落后于处质点的振动。所以，该波的方程为所以，该波的方程为:Px422cos242cosxtAxctAy（）时的波形和时的波形一样，即（）时的波形和时的波形一样，即时，时，Tt 0t0txAxAxAy2sin22cos22cos波形图为：波形图为：15一平面简谐纵波沿着线圈弹簧传播，设波沿着一平面简谐纵波沿着线圈弹簧传播，设波沿着轴正向传播，弹簧中某圈的最大位移为轴正向传播，弹簧中某圈的最大位移为cm0 . 3yxAA4振动频率为，弹簧中相邻两疏部中心的距离振动频率为，弹簧中相邻两疏部中心的距离为。当时，在处质元的位移为为。当

16、时，在处质元的位移为零并向轴正向运动。试写出该波的波动方程。零并向轴正向运动。试写出该波的波动方程。Hz25cm240t0 x解：已知解：已知mHzmA24. 0,25,03. 00, 0,0, 000vyxt处则则ssmc/50262524. 0令波动方程为令波动方程为cosxyAtc则由则由00cos0sin0yAvA 及可确定出可确定出2 故波动方程为：故波动方程为：mxty2650cos03. 016如图，一平面波在介质中以速度如图，一平面波在介质中以速度沿轴负方向传播，已知点的振动方程为沿轴负方向传播，已知点的振动方程为（）以点为坐标原点写出波动方程；（）以点为坐标原点写出波动方程；

17、（）以距点处的点为坐标原点，写出波（）以距点处的点为坐标原点，写出波动方程。动方程。smu20SIty4cos3m5解：解：XuAB如果原点振动方程为如果原点振动方程为cosyAt则波动方程为：则波动方程为：cosxyAtu（）显然，波动方程为：（）显然，波动方程为：204cos3xty（）在波动方程中，（）在波动方程中，204cos3xty令，得点振动方程为令，得点振动方程为mx5ty4cos3故波动方程为：故波动方程为：204cos3xty17一质量可忽略的盘挂在倔强系数为的轻弹簧一质量可忽略的盘挂在倔强系数为的轻弹簧下，有一质量为的物体自高为处自由下落至盘下，有一质量为的物体自高为处自由

18、下落至盘中，并与盘粘在一起作谐振动。设，中，并与盘粘在一起作谐振动。设，若以物体刚落至盘中时，若以物体刚落至盘中时为计时起点，求系统的振动方程。为计时起点，求系统的振动方程。kmhkgm1 . 0mhmNk3 . 0,9 . 4解：以平衡位置为坐标原点，向上为轴正向。解：以平衡位置为坐标原点，向上为轴正向。mhko依题意，时，物体的位置依题意，时，物体的位置等于达平衡位置时弹簧伸长量，等于达平衡位置时弹簧伸长量，因此因此0t0 x0kxmg 则则mkmgx2 . 00此时物体速度此时物体速度smghv42. 220圆频率圆频率sradmk7振幅振幅mvxA4 . 02202000cos,023

19、AxAv故振动方程为：故振动方程为：mtx37cos4 . 017已知一沿轴正向传播的平面余弦波，当已知一沿轴正向传播的平面余弦波，当时的波形如图所示，且周期。时的波形如图所示，且周期。（）求点处质点振动的初周相；（）写出该（）求点处质点振动的初周相；（）写出该波的波动方程；（）求点处质点振动的初周相波的波动方程；（）求点处质点振动的初周相及振动方程。及振动方程。st31sT2oP解解：（）先求周相：（）先求周相t依题意有依题意有1510cos3233 又由题意又由题意sin03ovA 233cmYcmX105510P20cm40o即点处质点振动的初周相为。即点处质点振动的初周相为。3（）因为点的振动方程为（）因为点的振动方程为cmtyo3cos10所以，所以， 向轴正向传播的波动方程为向轴正向传播的波动方程为22cos0.1cos53xyAttxmT（）（）53PPx 依题意有，依题意有，353cos100Px03232PPPv 56P 故点处的振动方程为故点处的振动方程为P65cos1 . 0ty18一平面简谐波在空间传播，已知波线上某点一平面简谐波在空间传播，已知波线上某点的振