子空间的交与和

1、编辑课件1编辑课件2编辑课件3编辑课件4 编辑课件5 首先，由首先，由 0 V1 ， 0 V2 ，可知，可知 0 V1 V2，因而，因而 V1 V2 是非空的是非空的.其次，如果其次，如果 , V1 V2 , 即即 , V1 ，而且，而且 , V2 ， + V1 ， + V2 ，对数量乘积可以同样地证明对数量乘积可以同样地证明.所以所以V1 V2 是是 V 的的子空间子空间.那么那么因此因此 + V1 V2 .编辑课件6 V1 V2 = V2 V1 ； (V1V2 ) V3 = V1(V2 V3 ) .多个子空间的交多个子空间的交 121|,1,2,3,ssiiiVVVVV is 为线性空间为

2、线性空间V的子空间，则集合的子空间，则集合12,sV VV也为也为V的子空间，称为的子空间，称为 的交空间的交空间. . 12,sV VV编辑课件7 编辑课件8 首先，首先， V1 + V2 显然是非空的显然是非空的.其次其次如果如果 , V1 + V2 , 即即 = 1 + 2 , 1 V1 , 2 V2 , = 1 + 2 , 1 V1 , 2 V2 ,那么那么 + = ( 1 + 1 ) + ( 2 + 2 ) .编辑课件9又因为又因为 V1 , V2 是子空间，故有是子空间，故有 1 + 1 V1 ， 2 + 2 V2 .因此因此 + V1 + V2 .同样，同样，k = k 1 +

3、k 2 V1 + V2 .所以，所以， V1 + V2 是是 V 的子空间的子空间.编辑课件10 V1 + V2 = V2 + V1 ； (V1 + V2 ) + V3 = V1+ (V2 + V3 ) .多个子空间的和多个子空间的和 12|,1,2,3,siiV is 为线性空间为线性空间V的子空间，则集合的子空间，则集合12,sV VV也为也为V的子空间，称为的子空间，称为 的和空间的和空间. . 12,sV VV121sisiVVVV 编辑课件111) V的两子空间的并集的两子空间的并集1212,VVVorV 有有 1212.VVVV 证明：证明：11212120VVVVVVV 12VV

4、 12,VorV21212120VVVVVVV 编辑课件122）V的两子空间的并集未必为的两子空间的并集未必为V的子空间的子空间. . 12( ,0,0),(0, ,0)VaaRVbbR 皆为皆为R3的子空间，但是它们的并集的子空间，但是它们的并集 12( ,0,0),(0, ,0) ,VVaba bR 并不是并不是R3的子空间的子空间. . 因为它对因为它对R3的运算不封闭，如的运算不封闭，如12(1,0,0)(0,1,0)(1,1,0)VV 12(1,0,0), (0,1,0)VV 但是但是( , ,0) ,a ba bRa b且且中中至至少少有有一一是是0 0例如例如编辑课件13 编辑课

5、件14 编辑课件15 设设 V1 = L( 1 , 2 ) , V2 = L( 1 , 3 ) 是是 R3两个不同的两个不同的 2 维子空间，求维子空间，求 V1 V2 和和 V1 + V2 ，并指它们的几何意义并指它们的几何意义.因为因为 V1 和和 V2 是两个不同的子空间，所以是两个不同的子空间，所以 1 , 2 , 3 线性无关，线性无关，从而从而 V1 = V2 与题设矛盾与题设矛盾. 于是由子空间的交与和于是由子空间的交与和的定义可得的定义可得V1 V2 = L( 1 )，V1 + V2 = L( 1 , 2 , 3 ) = R3 .否则否则 3 可由可由 1 , 2 线性表示线性

6、表示编辑课件16其几何意义是：其几何意义是：V1 = L( 1 , 2 ) 是向量是向量 1 , 2 所所确定的平面，确定的平面，的平面，的平面，是整个是整个 3 维空间维空间. 如图如图 6-6 所示所示.V2 = L( 1 , 3 ) 是向量是向量 1 , 3 所确定所确定V1 V2 是这两个平面的交线，是这两个平面的交线， V1 + V2编辑课件17 设设 V1 , V2 分别是分别是 R3 过原点的直线和平过原点的直线和平面面(直线不在平面上直线不在平面上)上的全体向量构成的子空间，上的全体向量构成的子空间，求求 V1 V2 和和 V1 + V2 ，并指它们的几何意义，并指它们的几何意

7、义.由定义容易求得由定义容易求得V1 V2 = 0 ，V1 + V2 = L( 1 , 2 , 3 ) = R3 .其几何意义如图其几何意义如图 6-7 所示所示编辑课件18 设设 V1 , V2 分别是分别是 P 3 中齐次方程组中齐次方程组0,0,0221122221211212111nsnssnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa0,0,0221122221211212111ntnttnnnnxbxbxbxbxbxbxbxbxb编辑课件19的解空间，那么的解空间，那么 V1 V2 就是齐次方程组就是齐次方程组0,0, 0,02211121211122111212111ntnttnn

8、nsnssnnxbxbxbxbxbxbxaxaxaxaxaxa的解空间的解空间.编辑课件201）L( 1 , 2 , , s ) + L( 1 , 2 , , t )=L( 1 , , s , 1 , , t )；2）L( 1 , 2 , , s ) L( 1 , 2 , , t )12(,),rL 12,r 12,s 12,t min( , )rs t 为线性空间为线性空间V中中1212,;,st 两组向量，则两组向量，则编辑课件2112(1,2,1,0),( 1,1,1,1) 例例4、在在 中，设中，设4P12(2, 1,0,1),(1, 1,3,7)1） 求求 的维数的与一组基的维数的与

9、一组基； ,1212()()LL 2） 求求 的维数的与一组基的维数的与一组基. ,1212()()LL 编辑课件22解：解：1) 任取任取 ,1212()()LL 设设 11221122,xxyy则有则有 112211220,xxyy ()解解 得得 （t为任意数）为任意数）121243xtxtytyt ()1212121212211220203070 xxyyxxyyxxyxyy 即即编辑课件23令令 t=1， 则得则得 的一组基的一组基 ,1212()()LL 1245,2,3,4 为一维的为一维的. ,1212()()( )LLL 2) 12121212(,)(,)(,)LLL 对以对

10、以 为列向量的矩阵为列向量的矩阵A作初等行变换作初等行变换 1212, 1221(4)(3)tt 编辑课件24为为3维的维的， 1212121(,)(,)(,)LLL 11 212 11111030 117A 11 21035302220 117 11 210 0260 11 10 026 11 2 10 11 10 0130 000B 由由B知，知， 为为 的一个极大无关组的一个极大无关组. .1212, 121, 为其一组基为其一组基.121, 编辑课件25关于子空间的交与和的维数，有以下定理关于子空间的交与和的维数，有以下定理. 编辑课件26设设 V1 , V2 的维数分别是的维数分别是

11、 s , t , V1V2 的维数是的维数是 m .取取 V1V2 的一组基的一组基 1 , 2 , , m .如果如果 m = 0 ，这个基是空集，下面的讨论中，这个基是空集，下面的讨论中 1 , 2 , , m 不出现，但讨论同样能进行不出现，但讨论同样能进行.由由它可以扩充成它可以扩充成 V1 的一组基的一组基 1 , 2 , , m , 1 , , s - m ,也可以扩充成也可以扩充成 V2 的一组基的一组基 1 , 2 , , m , 1 , , t - m .编辑课件27我们来证明，向量组我们来证明，向量组 1 , 2 , , m , 1 , , s - m , 1 , , t

12、- m 是是 V1 + V2 的一组基的一组基.这样，这样， V1 + V2 的维数就等于的维数就等于s + t - m , 因而维数公式成立因而维数公式成立.因为因为V1 = L( 1 , 2 , , m , 1 , , s - m ) ,V2 = L( 1 , 2 , , m , 1 , , t - m ) .所以所以V1+V2 = L( 1 , , m , 1 , , s - m , 1 , , t - m ).编辑课件28现在来证明向量组现在来证明向量组 1 , 2 , , m , 1 , , s - m , 1 , , t - m 是线性无关的是线性无关的.假设有等式假设有等式k1

13、1 + k2 2 + + km m+ p1 1 + p2 2 + + ps - m s - m+ q1 1 + q2 2 + + qt - m t - m = 0 .令令 = k1 1 + + km m + p1 1 + + ps - m s - m= - q1 1 - q2 2 - - qt - m t - m .编辑课件29 = k1 1 + + km m + p1 1 + + ps - m s - m由由 = - q1 1 - q2 2 - - qt - m t - m 由由可知，可知， V1 ；可知，可知， V2 .于是于是 V1V2 ，即，即 可以被可以被 1 , 2 , , m 线

14、性表示线性表示.令令 = l1 1 + + lm m ,则则l1 1 + + lm m + q1 1 + + qt - m t - m = 0 .由于由于 1 , , m , 1 , , t - m 线性无关，所以线性无关，所以l1 = = lm = q1 = = qt - m =0 ,因而因而 = 0.从而有从而有编辑课件30k1 1 + + km m + p1 1 + + ps - m s - m = 0 .由于由于 1 , , m , 1 , , s - m 线性无关，又得线性无关，又得k1 = = km = p1 = = ps - m =0 .这就证明了这就证明了 1 , 2 , ,

15、m , 1 , , s - m , 1 , , t - m 线性无关，线性无关，式成立式成立.因而它是因而它是 V1 + V2 的一组基，故维数公的一组基，故维数公编辑课件31从维数公式可知从维数公式可知 1212dim()min dim(),dim()VVVV 12max dim(),dim()VV 12dim()VV12dim()dim()VV 121212dim()dim()dim()dim()VVVVVV 12dim()dim()0VVn（ 为为Vn(P)的两个子空间）的两个子空间）12,V V编辑课件32 子空间的和的维数往往比子空间的维数子空间的和的维数往往比子空间的维数的和要小的

16、和要小. .例如，在例如，在R3中，设子空间中，设子空间12dim()3VV 112223(,),(,)VLVL 123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) 其中，其中，3121223123(,)(,)(,)VVLLLR 但，但，则，则，12dim2,dim2VV 由此还可得到，由此还可得到，12dim()1,VV 12VV 是一直线是一直线.编辑课件33从维数公式可以看到，和的维数往往要比维数从维数公式可以看到，和的维数往往要比维数的和来得小的和来得小.例如，在三维几何空间中，两张通例如，在三维几何空间中，两张通过原点的不同的平面之和是整个三维空间，而其过原点的不同的平面之和是整个

17、三维空间，而其维数之和却等于维数之和却等于 4 .由此说明这两张平面的交是由此说明这两张平面的交是一维的直线一维的直线.编辑课件34 由假设由假设维维(V1 + V2 ) + 维维(V1V2 ) = 维维(V1) + 维维(V2) n.但因但因 V1 + V2 是是 V 的子空间而有的子空间而有维维(V1 + V2 ) n ,所以所以维维(V1V2 ) 0 .这就是说，这就是说， V1V2 中含有非零向量中含有非零向量.编辑课件35 小小 结结编辑课件36 1,0 x yWx yPy 20,0 xWx yPy 1.1.在中，令在中，令 2 2P 求及求及12WW 12.WW 易知，皆为易知，皆

18、为 的子空间的子空间. 2 2P 12,W W 练练 习习编辑课件371112122122xxXWWxx 解：任取解：任取由有由有1,XW 220 x 由有由有2,XW 12210 xx故，故，11000 xX 1200 0 xWWxP 从而，从而，编辑课件38 11 00 1,0 01 0Wxyx yP12.WW 再求再求因为，因为， 1 00 1,0 01 0L 21 00 0,0 00 1Wxyx yP 1 00 0,0 00 1L 编辑课件39所以，所以， 121 00 10 0,0 01 00 1WWL , ,x yx y zPy z 1 00 10 0, ,0 01 00 1xyz

19、x y zP 编辑课件40 设设 V = P 4，V1 = L( 1 , 2 , 3 )，V2 = L( 1 , 2)，其中，其中. )14, 9 , 5 , 0(),2, 4 , 0 , 1(),5 , 0 , 3, 1(),1 , 2 , 1, 1(),3, 1, 2 , 1 (21321求求V1, V2 , V1V2 , V1 + V2 的维数与基的维数与基.编辑课件41因为因为V1 + V2 = L( 1 , 2 , 3 ) + L( 1 , 2)= L( 1 , 2 , 3 , 1 , 2) ,所以向量组所以向量组 1 , 2 , 3 , 1 , 2 的一个极大无关组就的一个极大无关

20、组就是是 V1 + V2 的一组基的一组基.把向量组把向量组 1 , 2 , 3 , 1 , 2 中的每个向量作为矩阵的一列，构造矩阵中的每个向量作为矩阵的一列，构造矩阵 A，对，对A进行初等行变换，化成行最简形：进行初等行变换，化成行最简形：编辑课件42142513940215031201111),(21321TTTTTA.00000410003011010201编辑课件43由由 A 的行最简形矩阵的行最简形矩阵00000410003011010201 1 , 2 , 1 线性无关，且线性无关，且 2 = 1 - 3 2 + 4 1 . 于是于是 1 , 2 , 1 是是 V1 + V2 的一组基，维的一组基，维( V1 + V2 ) = 3； 1 , 2 是是 V1 的一组基，维的一组基，维(V1) = 2； 1 , 2 是是V2 的的一组基，维一组基，维(V2) = 2 .编辑课件44由由 2 = 1 - 3 2 + 4 1 得得 1 - 3 2 = - 4 1 + 2 = (-4, -5, 7, 6) V1V2 .因为因为维维(V1V2 ) = 维维(V1) + 维维(V2) - 维维(V1 + V2 ) = 2 + 2 - 3 = 1 .于是于是 (-4, -5, 7, 6) 是是 V1V2