第二章连续信号与系统的时域分析

1、第第2 2章章 连续信号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析2.1 2.1 引言引言2.2 2.2 系统微分方程的建立及算子表示系统微分方程的建立及算子表示2.3 2.3 系统的零输入响应系统的零输入响应2.4 2.4 单位冲激函数单位冲激函数2.5 2.5 系统的单位冲激响应和零状态响应系统的单位冲激响应和零状态响应2.6 2.6 卷积积分卷积积分连续线性时不变系统的分析，实际上就是建立并且求解线性微连续线性时不变系统的分析，实际上就是建立并且求解线性微分方程。在系统的微分方程中，包含有表示激励和响应的时间函数分方程。在系统的微分方程中，包含有表示激励和响应的时间函数以及它们对时间的各阶

2、导数的线性组合。这些函数的变量都是时间以及它们对时间的各阶导数的线性组合。这些函数的变量都是时间t t，这种分析方法通常称为时域分析法。这种分析方法通常称为时域分析法。用时域分析求解全响应时，把全响应分为零输入响应和零状态用时域分析求解全响应时，把全响应分为零输入响应和零状态之和，其中零输入响应比较简单，本章重点讲述零状态响应，它的之和，其中零输入响应比较简单，本章重点讲述零状态响应，它的求法是把系统的输入求法是把系统的输入f(tf(t) )分解成若干冲激函数，再利用系统的叠加分解成若干冲激函数，再利用系统的叠加性，把各个冲激函数所引起的响应叠加起来求得总的响应。这种叠性，把各个冲激函数所引起

3、的响应叠加起来求得总的响应。这种叠加过程称之为卷积积分。为此要了解单位冲激函数的概念，熟悉单加过程称之为卷积积分。为此要了解单位冲激函数的概念，熟悉单位冲激响应，并掌握卷积积分的性质，才能很好解决零状态响应的位冲激响应，并掌握卷积积分的性质，才能很好解决零状态响应的问题。问题。2.1 2.1 引言引言返回建立电系统常系数微分方程的基本依据是：元件的伏安特性和建立电系统常系数微分方程的基本依据是：元件的伏安特性和针对电路连接关系的基尔霍夫定律。针对电路连接关系的基尔霍夫定律。2.2.1 2.2.1 元件的伏安关系元件的伏安关系(VAR)(VAR)1 1电阻元件电阻元件若电阻元件两端电压和电流为关

4、联参考方向，则电阻元件的伏若电阻元件两端电压和电流为关联参考方向，则电阻元件的伏安关系安关系(VAR)(VAR)为为u=Riu=Ri2 2电感元件电感元件若电感元件两端电压和电流为关联参考方向，则电感元件的伏若电感元件两端电压和电流为关联参考方向，则电感元件的伏安关系安关系(VAR)(VAR)为为: :微分形式微分形式2.2 2.2 系统微分方程的建立及算子表示系统微分方程的建立及算子表示下一页 返回diuLdt积分形式积分形式3 3电容元件电容元件若电容元件两端电压和电流为关联参考方向，则电容元件的伏若电容元件两端电压和电流为关联参考方向，则电容元件的伏安关系安关系(VAR)(VAR)为为:

5、 :微分形式微分形式积分形式积分形式2.2.2 2.2.2 电路基本定律电路基本定律1 1 基尔霍夫电流定律基尔霍夫电流定律(KCL)(KCL)在任意时刻，流入电路中任意一个节点的电流的代数和恒为零。在任意时刻，流入电路中任意一个节点的电流的代数和恒为零。基尔霍夫电流定律说明电路中的电流是连续的。基尔霍夫电流定律说明电路中的电流是连续的。2.2 2.2 系统微分方程的建立及算子表示系统微分方程的建立及算子表示下一页 返回上一页1( )( )ti tudLduiCdt1( )( )tu tidC2 2 基尔霍夫电压定律基尔霍夫电压定律(KVL)(KVL)在任意时刻，沿电路中任意一个回路的电压降（

6、升）的代数和在任意时刻，沿电路中任意一个回路的电压降（升）的代数和恒为零。恒为零。基尔霍夫电压定律说明电路中两点间的电压与所选择的路径无基尔霍夫电压定律说明电路中两点间的电压与所选择的路径无关。关。2.2.3 2.2.3 电路数学模型的建立电路数学模型的建立例例2-1 2-1 如如图图2-12-1所示所示RCRC串联电路，电压源串联电路，电压源 是电路中的激是电路中的激励，若以电容电压励，若以电容电压 作为响应，列写描述该电路的微分方程。作为响应，列写描述该电路的微分方程。2.2 2.2 系统微分方程的建立及算子表示系统微分方程的建立及算子表示下一页 返回上一页( )su tcu解：由电路可知

7、，该电路的解：由电路可知，该电路的KVLKVL方程为方程为各元件的电压、电流伏安关系各元件的电压、电流伏安关系VARVAR为为整理得整理得上式是一阶线性常数系数非齐次微分方程。上式是一阶线性常数系数非齐次微分方程。2.2.4 2.2.4 系统方程的算子表示法系统方程的算子表示法如上面所示，描写线性系统的激励函数和响应函数间关系的微如上面所示，描写线性系统的激励函数和响应函数间关系的微分方程形式，看起来很复杂，为了方便起见，把微分算子用符号分方程形式，看起来很复杂，为了方便起见，把微分算子用符号p p来来代表，如令代表，如令 ，通过引入算子符号，可以把微积分方程在形，通过引入算子符号，可以把微积

8、分方程在形式上变成代数方程。式上变成代数方程。2.2 2.2 系统微分方程的建立及算子表示系统微分方程的建立及算子表示下一页 返回上一页Rcsuuu( )cdui tCdt11ccsduuudtRCRCdpdt1 1 算子的定义算子的定义1 1）微分算子）微分算子p p2 2）积分算子）积分算子3 3）广义微分算子）广义微分算子N(pN(p) )N(pN(p) )是一个关于是一个关于p p的多项式的多项式式中，式中， 是常数。是常数。广义微分算子的定义是广义微分算子的定义是2.2 2.2 系统微分方程的建立及算子表示系统微分方程的建立及算子表示下一页 返回上一页( )( )dpf tf tdt

9、( )( )nnndp f tf tdt1p1( )( )tf tfdp1110( )mmmmN pb pbpb pbmb0b1101( )( )( )( ) ( )( )mmmmmmd f tdf tdf tN p f tbbbb f tdtdtdt14 4）广义积分算子）广义积分算子D(pD(p) )D(pD(p) )也是一个关于也是一个关于p p的多项式的多项式其中，其中， 是常数。若是常数。若其意义为其意义为5 5）转移算子）转移算子H(pH(p) )其意义为，若其意义为，若即表示即表示 2.2 2.2 系统微分方程的建立及算子表示系统微分方程的建立及算子表示下一页 返回上一页1110

10、( )nnnD ppapa pa1na0a1( )( )( )y tf tD p 11101( )( )( )( ).( )( )nnnnnd y tdy tdy tD p y taaa y tf tdtdtdt()()()NpHpDp()( )()( )( )()Npy tHpftftDp( ) ( )( ) ( )D p y tN p f t2 2 算子的运算规则算子的运算规则利用算子符号可以把微分方程写成代数方程形式的算子方程，利用算子符号可以把微分方程写成代数方程形式的算子方程，于是就会自然地产生这样一个问题，即代数方程中的运算规则在算于是就会自然地产生这样一个问题，即代数方程中的运算

11、规则在算子方程中是否适用？只要加以运算检验，就可以证明这关系是成立子方程中是否适用？只要加以运算检验，就可以证明这关系是成立的。不难得出结论，即由的。不难得出结论，即由p p的多项式所组成的运算符号可以象代数式的多项式所组成的运算符号可以象代数式那样相乘和那样因式分解。那样相乘和那样因式分解。3 3 算子方程组的消元算子方程组的消元为了要从一个为了要从一个n n阶电路的阶电路的n n元一次算子方程组得到一个形式为元一次算子方程组得到一个形式为y(t)=H(p)f(ty(t)=H(p)f(t) )的一元的一元n n阶算子方程，必须将原方程组中除响应阶算子方程，必须将原方程组中除响应变量变量y(t

12、y(t) )以外的其它未知量系统消去。以外的其它未知量系统消去。2.2 2.2 系统微分方程的建立及算子表示系统微分方程的建立及算子表示返回上一页激励信号加入系统之前，系统原有的贮能（如电容上的初始电激励信号加入系统之前，系统原有的贮能（如电容上的初始电压、电感上的初始电流等）构成了系统的初始状态压、电感上的初始电流等）构成了系统的初始状态 j=1,j=1,，n n。系统在无外加激励作用下，仅由系统的初始状态所引起。系统在无外加激励作用下，仅由系统的初始状态所引起的响应，称为系统的零输入响应。记为的响应，称为系统的零输入响应。记为 。系统的零输入响应完。系统的零输入响应完全由系统的结构与状态决

13、定，而与激励信号无关。全由系统的结构与状态决定，而与激励信号无关。2.3.1 2.3.1 一阶与二阶齐次方程的解一阶与二阶齐次方程的解一阶齐次方程的一般形式为一阶齐次方程的一般形式为一阶其次方程的解为一阶其次方程的解为 2.3 2.3 系统的零输入响应系统的零输入响应下一页 返回(0 )jx( )xy t()( )0 xpy t( )(0)txxy tye0t 二阶齐次方程的一般形式为二阶齐次方程的一般形式为 解为解为如果给定初始状态为如果给定初始状态为将这些条件代入上式及其微分式可得将这些条件代入上式及其微分式可得解之，可得解之，可得C C1 1与与C C2 2的具体数值，从而最后确定了的具

14、体数值，从而最后确定了 2.3.2 2.3.2 阶齐次方程的解阶齐次方程的解上述二阶方程的解，可以推广至上述二阶方程的解，可以推广至n n阶方程阶方程 即即 2.3 2.3 系统的零输入响应系统的零输入响应下一页 返回上一页22( )( )( )0 xxxd y tdy taby tdtdt1212( ),0ttxy tC eC et(0),(0)xxyy121 122(0)(0)xxCCyCCy( )xy t( )( )0 xD p y t 11(nnnpap10)( )0 xa pay t解可以写成解可以写成 其中其中C C1 1C Cn n是个待定系数。是个待定系数。给定一组给定一组n

15、n个初始状态个初始状态 , ,并代入上式中，并代入上式中，可得可得上式解得的上式解得的C C1 1C Cn n代入式中，也就最后确定了零输入响应。代入式中，也就最后确定了零输入响应。2.3 2.3 系统的零输入响应系统的零输入响应下一页 返回上一页 1212ttxytC eC e,0ntnC et(1)(0),(0),(0)nxxxyyy121122(n-1)n-1n-1nx1122nn-1(0) (0) y(0)=C +C + +C xnxnnyCCCyCCC2.3.3 2.3.3 由由H(pH(p) )求系统的零输入响应转移算子求系统的零输入响应转移算子从以上的讨论可以看出，只要已知系统的

16、特征多项式从以上的讨论可以看出，只要已知系统的特征多项式D(pD(p) )及初及初始状态，就可以求出系统的零输入响应。因此，知道系统的转移算始状态，就可以求出系统的零输入响应。因此，知道系统的转移算子子H(pH(p) )和初始状态，当然也就可以直接求出和初始状态，当然也就可以直接求出 。前面已指出，转移算子前面已指出，转移算子 是一种把输入与响应联系是一种把输入与响应联系起来的系统数学模型的简洁表示，即起来的系统数学模型的简洁表示，即因此，只要知道因此，只要知道H(pH(p) )，就可以从它的分母，就可以从它的分母D(pD(p) )求出系统的特征求出系统的特征根，亦即根，亦即H(pH(p) )

17、的极点的极点 从而写出系统的零输入响应的一般式从而写出系统的零输入响应的一般式2.3 2.3 系统的零输入响应系统的零输入响应下一页 返回上一页( )xy t( )( )( )N pH pD p( ) ( )( ) ( )D p y tN p f t1,n 1( ),0jntxjjy tc et再根据初始状态，求出待定系数再根据初始状态，求出待定系数 ，j=1j=1n n最后确定最后确定2.3.4 2.3.4 算子法求解算子法求解 的步骤的步骤第一步，将第一步，将D(pD(p) )进行因式分解，即进行因式分解，即第二步，求出第第二步，求出第i i个根个根 对应的零输入响应对应的零输入响应 第三

18、步，将所有第三步，将所有 相加，得到系统的零输入响相加，得到系统的零输入响应，即应，即 t0 t0 2.3 2.3 系统的零输入响应系统的零输入响应下一页 返回上一页jc( )xy t( )xy t1( )()ilriiD ppi( )xiyt12012(1)( )iiirtxiiiii rytcc tc tcte1,2,il( )xiyt(1,2, )il1( )( )lxxiiy tyt第四步，根据给定的零输入响应初始条件第四步，根据给定的零输入响应初始条件 确定常数确定常数2.3 2.3 系统的零输入响应系统的零输入响应返回上一页( )(0)(0,1,1)jxyin01(1),(1,2,

19、 )iiii rcccil线性时不变系统的单位冲激响应，是指系统初始状态为零，激线性时不变系统的单位冲激响应，是指系统初始状态为零，激励为单位冲激信号励为单位冲激信号 作用下的响应，简称冲激响应，用作用下的响应，简称冲激响应，用h(th(t) )表示。表示。它反映了系统的特性，同时也是利用卷积积分进行系统时域分析的它反映了系统的特性，同时也是利用卷积积分进行系统时域分析的重要基础。重要基础。 2.4.1 2.4.1 单位冲激函数单位冲激函数 的定义的定义矩形脉冲矩形脉冲 （即门脉冲）定义为（即门脉冲）定义为如果矩形脉冲的宽度为如果矩形脉冲的宽度为 ，但幅度不再是一，而是，但幅度不再是一，而是

20、，如，如图图2-2-3(a)3(a)所示，则它所包围的面积为所示，则它所包围的面积为1 1。2.4 2.4 单位冲激函数单位冲激函数下一页 返回( ) t( ) t( )P t12( )()()2202tP tttt1逐渐减小逐渐减小 ，该信号就逐渐变得窄而高，如，该信号就逐渐变得窄而高，如图图2-3(b)2-3(b)所示。当所示。当 时，幅度时，幅度 ，但包围的面积仍然是，但包围的面积仍然是1 1。这就是要定义的单位冲。这就是要定义的单位冲激函数，如激函数，如图图2-3(c)2-3(c)所示，即所示，即单位冲激函数最先是由狄拉克用下式定义的：单位冲激函数最先是由狄拉克用下式定义的：即即 是一

21、个除原点以外其值处处为是一个除原点以外其值处处为0 0，但积分值为，但积分值为1 1的函数。的函数。如果单位冲激函数不是发生在如果单位冲激函数不是发生在t=0t=0，而是发生在某一特定时刻，而是发生在某一特定时刻t=tt=t0 0，则将其记为，则将其记为 ，其定义式为，其定义式为 的图形如的图形如图图2-42-4所示。所示。 2.4 2.4 单位冲激函数单位冲激函数下一页 返回上一页01 ( )1( )0,0ttt( ) t0()tt000()1()0, tt dttttt0()tt2.4.2 2.4.2 冲激函数的性质冲激函数的性质1 1 取样性取样性由由 的定义式可以看出，在的定义式可以看

22、出，在t0t0时，时， 处处为处处为0 0，只有，只有在在t=0t=0时，时， 才不为才不为0 0。因此，将。因此，将 与一个在与一个在t=0t=0处连续的有界处连续的有界函数函数f(tf(t) )相乘时，其乘积也必然是一个冲激函数，但其冲激强度不相乘时，其乘积也必然是一个冲激函数，但其冲激强度不再是再是1 1，而是，而是f(tf(t) )在在t=0t=0时的值时的值f(0)f(0)，即，即2 2 是偶函数是偶函数按照偶函数的定义，必须成立按照偶函数的定义，必须成立 2.4 2.4 单位冲激函数单位冲激函数下一页 返回上一页( ) t( ) t( ) t( ) t( ) ( )(0) ( )f

23、 ttft( ) t( )()tt3 3 与与 之间的关系之间的关系 与与 存在如下关系存在如下关系或者用算子表示为或者用算子表示为 4 4 等价性质等价性质如果如果f(0)f(0)是在是在t=0t=0处连续的有界函数，且处连续的有界函数，且则因为则因为 所以有所以有 5 5 的导数的导数 的导数可以用以下的方法来定义。的导数可以用以下的方法来定义。也是一个冲激函数。也是一个冲激函数。2.4 2.4 单位冲激函数单位冲激函数下一页 返回上一页( ) t( ) t( ) t( ) t( )( )dttdt( )( )ptt( ) ( )2 (0)f t g t dtf( )2 ( )2 (0)f

24、 tt dtf( )2 ( )g tt( ) t( ) t( )( )dttdt( )( )(0)f tt dtf 上式成立的条件是，任意函数上式成立的条件是，任意函数f(tf(t) )的导函数在积分区间内有界，的导函数在积分区间内有界，且在且在t=0t=0处连续。处连续。2.4 2.4 单位冲激函数单位冲激函数返回上一页2.5.1 2.5.1 单位冲激响应单位冲激响应h(th(t) )的定义的定义一个初始状态为零的线性时不变系统，当输入为单位冲激函数一个初始状态为零的线性时不变系统，当输入为单位冲激函数时的零状态响应，称为该系统的单位冲激响应，记为时的零状态响应，称为该系统的单位冲激响应，记

25、为h(th(t) )。2.5.2 2.5.2 从系统的微分方程求解冲激响应从系统的微分方程求解冲激响应描述一个描述一个n n阶连续系统的微分方程为阶连续系统的微分方程为上式中，上式中，x(tx(t) )为输入激励信号，为输入激励信号，y(ty(t) )为输出响应信号，为输出响应信号， 均为取决于系统特性的常系数。均为取决于系统特性的常系数。2.5 2.5 系统的单位冲激响应和零状态响应系统的单位冲激响应和零状态响应下一页 返回( ) t( )(1)110()(1)110( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnmmmma ytayta y ta y tb xtbxtb x tb

26、x t01,01,nma aa b bb1 1 直接求解法直接求解法 由于由于h(th(t) )是是 时系统的零状态响应，故可将式写成时系统的零状态响应，故可将式写成 nmnm时，有时，有NmNm时，有时，有2 2 间接求解法间接求解法设设n n阶微分方程，现人为地改变该式使等号右侧为阶微分方程，现人为地改变该式使等号右侧为x(tx(t) )，即，即2.5 2.5 系统的单位冲激响应和零状态响应系统的单位冲激响应和零状态响应下一页 返回上一页( )( )x tt( )(1)110()(1)110( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnmmmma htahta h ta h tb

27、tbtbtbt)()()(1tecthtniii 1( )( )()intiih tctcet( )(1)110( )( )( )( )nnnna yayta y ta y tx t微分方程当微分方程当 时的冲激响应时的冲激响应2.5.3 2.5.3 一阶系统的单位冲激响应一阶系统的单位冲激响应当激励为当激励为f(tf(t) )时，一阶系统的微分方程的一般表达式为时，一阶系统的微分方程的一般表达式为其中，其中， 、K K都是常数，由系统的尽管和参数所决定。都是常数，由系统的尽管和参数所决定。 系统的零状态响应为系统的零状态响应为当激励当激励f(tf(t) )是一个单位冲激是一个单位冲激 时，式

28、就变成系统的单位冲激时，式就变成系统的单位冲激响应，即响应，即2.5 2.5 系统的单位冲激响应和零状态响应系统的单位冲激响应和零状态响应下一页 返回上一页( )( )x tt()(1)01 0100( )( )( )( )( )mmmmh tb htbhtbh tb h t( )( )( )dy ty tKf tdt()0( )( )ttfytKefd( ) t()00( )( )( )( )ttttth tKedKeedKet 2.5.4 2.5.4 高阶系统的单位冲激响应高阶系统的单位冲激响应以前讨论高阶系统的零输入响应的模式时，是将一个以前讨论高阶系统的零输入响应的模式时，是将一个n

29、n阶系统化阶系统化为为n n个一阶系统来进行的。具体做法是求得方程个一阶系统来进行的。具体做法是求得方程D(pD(p)=0)=0的的n n个根，即个根，即将将D(pD(p) )作因式分解。作因式分解。高阶系统的单位冲激响应的求法，也是采用同样的思路，将该高阶系统的单位冲激响应的求法，也是采用同样的思路，将该系统化为若干一阶系统来分别求解。系统化为若干一阶系统来分别求解。2.5.5 2.5.5 系统的零状态响应系统的零状态响应1 1 一阶系统系统的零状态响应一阶系统系统的零状态响应在讨论了一阶系统的单位冲激信号响应时，已经得到了一阶系在讨论了一阶系统的单位冲激信号响应时，已经得到了一阶系统对任意

30、冲激信号的零状态响应的计算公式统对任意冲激信号的零状态响应的计算公式2.5 2.5 系统的单位冲激响应和零状态响应系统的单位冲激响应和零状态响应下一页 返回上一页单位冲激响应单位冲激响应h(th(t) )，就是将上式中的，就是将上式中的 代之以代之以 的结果，的结果，即即将将h(th(t) )代入即可以得出代入即可以得出2 2 高阶系统的零状态响应高阶系统的零状态响应由于由于n n个一阶系统的单位冲激响应之和个一阶系统的单位冲激响应之和因而，因而，n n阶系统的零状态响应也是个一阶系统的零状态响应之和，阶系统的零状态响应也是个一阶系统的零状态响应之和，即即2.5 2.5 系统的单位冲激响应和零

31、状态响应系统的单位冲激响应和零状态响应下一页 返回上一页()0( )( ) ( )tty tKefd( )f( ) ( )( )th tKet0( )() ( )ty th tfd1212( )( )( )( )ntttnh tK etK etK et2.5 2.5 系统的单位冲激响应和零状态响系统的单位冲激响应和零状态响应应返回上一页11()()100()()100( )( )( ) ( )() ( )nnttttfntttntytK efdK efdK eK efdh tfd2.6.1 2.6.1 函数函数f f1 1(t)(t)与与f f2 2(t)(t)的卷积定义的卷积定义其中，其中，

32、 是积分变量，是积分变量，t t是参变量。显然，上述卷积的结果是是参变量。显然，上述卷积的结果是的函数。的函数。2.6.2 2.6.2 卷积的积分限卷积的积分限1 1 因果信号的卷积因果信号的卷积由第由第1 1章内容可知，两个因果信号作卷积时，其结果也一定是一章内容可知，两个因果信号作卷积时，其结果也一定是一个因果信号。两个因果信号卷积时，积分的下限总是定为个因果信号。两个因果信号卷积时，积分的下限总是定为0 0- -，而将，而将积分的上限定为积分的上限定为t t。2.6 2.6 卷积积分卷积积分下一页 返回1212( )( )( )()f tf tff td2 2 分段函数的卷积分段函数的卷积当分段函数参与卷积时，由于不同的积分区间，函数的表达式当分段函数参与卷积时，由于不同的积分区间，函数的表达式不同，从而使得积分也只能分段进行。在这种情况下，确定积分限，不同，从而使得积分也只能分段进行。在这种情况下，确定积分限，以及在不同区段内确定函数的表达式都必须十分仔细