第九章 压杆稳定

1、F9-1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念F9-2 两端铰支细长压杆的临界力两端铰支细长压杆的临界力F9-3 其他支座条件下细长压杆的临界力其他支座条件下细长压杆的临界力F9-4 欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用范围 中小柔度压杆的临界应力中小柔度压杆的临界应力F9-5 压杆稳定计算压杆稳定计算F9-6 提高压杆稳定性的措施提高压杆稳定性的措施细长压杆不能正常工作并非其强度不够，而是不能保持它原有的直线状态的平衡的现象。 使弹性压杆从直线状态平衡开始转变为曲线状态平衡的轴向压力称为临界力临界力，用Pcr表示。QP PQw当P Pcr时，压杆过渡到曲线状态平衡。 施加一横向干扰力Q 。撤除横向干扰力

2、Q。yxl设距原点x处的任意截面的挠度为y。 PyxM)(在小变形前提下，挠曲线的近似微分方程为： EIxMxdyd)(22EIPk2令 ,上式变为： 0222ykxdyd边界条件： 0)()0(lyy因y不恒等于零， 0sin0klaEIPln22)(lEIPncr221欧拉欧拉公式公式 即 取 Pyx则弯矩方程为： 亦即 kxbkxaycossin,.)2 , 1 , 0()(222nlnkEIPy0sinklankl lEInP22)()(22lEIPcr长度系数，取决于压杆两端的约束情况； l相当长度，即折算成两端铰支细长压杆的长度。 球铰约束，由横截面图形最小惯性矩来确定临界力。 压

3、杆两端约束情况两端铰支一端夹紧一端自由一端夹紧一端铰支两端夹紧长度系数120.70.5【例9-1】试导出图示压杆的欧拉公式。)()()(11yFxlRxM2）挠曲线和转角方程EIxMxdyd)(1212EIFk2令 FxlRkkykxdyd)(2212212)(cossin111xlFRkxbkxayEIyFEIxlR)()(1, 0lxFRkxkbkxkaysincos111【解】 1）弯矩方程)()(22yFxM, LlxEIxMxdyd)(2222EIyF)(2上式变为： lLFRxyxy1xy2边界条件表示一个关于a1、 b1、 a2 、 b2 、R 、的齐次线性方程组，其有非零解的充

4、要条件是：kykxdyd2222223）边界条件0)0(11FRlby0)0(11FRkay0cossin)(111klbklalykxbkxaycossin222kxkbkxkaysincos2220cossin)(222klbklaly0sincossincos)()(221112FRklkbklkaklkbklkalylykLbkLaLycossin)(22200000000cossin0001sincossincos10cossin001000cossin01000100102211RbabakLkLFklkklkklkklkklklklklFkFl000cossin0001sinco

5、ssincos10cossin001000cossin0100010010kLkLFklkklkklkklkklklklklFkFl【例9-1】试导出一端夹紧一端铰支压杆的欧拉公式。lFRxyxFyxlRxM)()(2）挠曲线和转角方程EIxMxdyd)(22EIFk2令 EIxlRykxdyd)(222)(cossinxlFRkxbkxayEIFyEIxlR)(FRkxbkkxakysincosy【解】 1）弯矩方程上式变为： 3）边界条件0)0(FRlby0)0(FRaky0cossin)(klbklaly边界条件表示一个关于a、 b、 R的齐次线性方程组。0000cossin1010Rb

6、aklklFkFlklkl tan其有非零解的充要条件是：00cossin1010klklFkFl494. 4 klEIkF2EIl494. 42)7 . 0(22lEIEIFk2由临界力作用下压杆横截面上的平均应力。 AlEIAPcrcr)(22令 AIiAiI2横截面图形对某一中性轴的惯性半径惯性半径 。于是)(22ilEcr令 il压杆柔度压杆柔度或细长比细长比，无量纲量。反映了杆端约束情况、压杆长度、横截面形状和尺寸等因素对临界力的综合影响。 临界应力： 22Ecr显然，不同的弯曲平面内，压杆的柔度值可能不同，但压杆总是在柔度最大的平面内失稳。 压杆的临界应力cr不超过材料比例极限P时

7、欧拉公式才适用。即PcrE22令 PPE2材料比例极限柔度材料比例极限柔度 则 Pw当压杆的柔度不小于材料比例极限柔度时欧拉公式才适用，满足该条件的杆称为大柔度杆大柔度杆或细长杆细长杆。 w当cr P即 P时，称为中小柔度杆中小柔度杆，压杆横截面上应力已超过材料的比例极限，不能用欧拉公式计算临界应力。 PE2w当 即 时，称中柔度杆中柔度杆或中长杆中长杆，其中s为材料屈服极限s所对应的柔度。若取临界应力为直线公式： bacrscrPPs其中a、b为与材料有关的常数，与应力同量纲，由实验确定。 对于塑性材料， scrba由bass令与材料屈服极限s相对应的柔度 。故 时用给定的经验公式计算临界应

8、力。 Ps在工程中一般按经验公式计算临界应力。basw当 即 时，称为小柔度杆小柔度杆或粗短粗短杆杆，压杆破坏不发生失稳现象，临界应力可取为材料屈服极限或强度极限。scrs临界应力： scr临界应力和压杆柔度关系见临界应力图临界应力图。 22EcrOcrs PsPcr= scr= a-bw压杆的实际工作柔度 P时，其临界应力按欧拉公式计算；w压杆的实际工作柔度s P，临界应力按给定的经验公式计算；w压杆的实际工作柔度 s 时，取材料屈服极限或强度极限为临界应力。压杆稳定计算包括压杆横截面选择、压杆稳定性校核、临界压力计算等问题。nPPPstcrcrnPPnstcrst或 P工作压力； Pcr稳

9、定许用临界力； Pcr临界力； nst规定稳定安全系数； nst工作稳定安全系数。 w工程实际中， nst通常要求比ns或大nb； w局部削弱的压杆，稳定性计算时横截面积A和惯性矩I仍按未削弱时的计算，但必须按“净”面积增加强度校核。 w压杆稳定条件可用于校核稳定性、确定压杆工作压力、压杆截面尺寸、压杆长度、两端约束、安全系数、材料等。 cAP净即w根据支承情况等计算压杆的柔度 ； w必要时计算材料的比例极限柔度P和由给定的经验公式计算对应于材料屈服极限s所对应的柔度s； w根据与P、 s 之间的大小关系，由临界应力图确定计算临界应力的适宜公式并计算临界应力cr和临界压力Pcr； w根据规定的

10、稳定安全系数计算工作压力P； w必要时如压杆存在局部削弱等应增加强度校核。 【例9-2】矩形截面木质压杆尺寸(单位为m)及端部支承情况如图示。弹性模量E=10GPa， P=59，压杆若为中柔度杆时临界应力按直线经验公式cr=a-b 计算，其中a=40MPa，b=0.203MPa，规定的稳定安全系数nst=3，求压杆安全工作的最大压力Pmax。 【解】1)计算压杆柔度 压杆可能在xz平面内失稳也可能在xy平面内失稳。压杆横截面对中性轴y轴、中性轴z轴有不同的惯性半径，故有不同的柔度。 Pmaxx40.20.12yzPmaxx40.20.12yz横截面图形对y轴、z轴的惯性半径为： m0577.

11、012. 02 . 0122 . 012. 03AIiyym0346. 012. 02 . 01212. 02 . 03AIizz根据压杆约束情况知，压杆的柔度分别为： 3 .690577. 041ilyyy8 .570346. 045 . 0ilzzzPmaxx40.20.12yzPmaxx40.20.12yzb)因 z P ，故按欧拉公式计算临界应力cry MPa55.203 .69101022922ycryE临界压力： kN2 .49355.202 . 012. 0APcrycry2)求临界应力和临界压力 【例9-3】图示长为l、直径为d的线弹性大柔度圆截面直杆在温度为t0时夹持安装在两固定墙面之间，此时杆不受力。已知杆材料的线膨胀系数为，若升高温度，求杆失稳时的临界温度t1。【解】1）设杆的临界压力Pcr，则：PcrPcr)(22lEIPcrlEdldE24324216)5 . 0(