1990年普通高等学校招生全国统一考试数学(文史类)及答案

1、.1990年普通高等学校招生全国统一考试数 学文史类 一、选择题:在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.把所选项前的字母填在题后括号内.  2cos275°+cos215°+cos75°cos15°的值等于 3假如轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于 6上图是函数y=2sinx+<的图象,那么 7设命题甲为:0<x<5;命题乙为:x-2<3.那么A甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件.B甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件.C甲是乙的充要条件.D甲不是乙的充

2、分条件,也不是乙的必要条件.A-2,4   B-2,0,4C-2,0,2,4      D-4,-2,0,49假如直线y=ax+2与直线y=3x-b关于直线y=x对称,那么Ca=3,b=-2 Da=3,b=610假如抛物线y2=ax+1的准线方程是x=-3,那么这条抛物线的焦点坐标是A3,0    B2,0C1,0    D-1,0A      B2,3C2,3    Dx,yy=x+1

3、12A,B,C,D,E五人并排站成一排,假如A,B必须相邻且B在A的右边,那么不同的排法共有A60种    B48种C36种    D24种13fx=x5+ax3+bx-8,且f-2=10,那么f2等于A-26     B-18C-10     D1014如图,正三棱锥S-ABC的侧棱与底面边长相等,假如E、F分别为SC、AB的中点,那么异面直线EF与SA所成的角等于A90°B60°C45°D30° 15以

4、一个正三棱柱的顶点为顶点的四面体共有A6个     B12个C18个    D30个二、填空题:把答案填在题中横线上.17x-1-x-12+x-13-x-14+x-15的展开式中,x2的系数等于           .19如图,三棱柱ABCA1B1C1中,假设E、F分别为AB、AC的中点,平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分,那么V1:V2=      

5、;    三、解答题.21有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12,求这四个数23如图,在三棱锥S-ABC中,SA底面ABC,ABBC.DE垂直平分SC,且分别交AC、SC于D、E.又SA=AB,SB=BC.求以BD为棱,以BDE与BDC为面的二面角的度数. 24a>0,a1,解不等式loga4+3x-x2-loga2x-1>loga2.25设a0,在复数集C中解方程z2+2z=a. 1990年试题文史类答案 一、选择题:此题考察根本知识和根本运算

6、.1A   2C   3D   4B   5D6C   7A   8B   9A   10C11B  12D  13A  14C  15B二、填空题:此题考察根本知识和根本运算.三、解答题.21本小题考察等差数列、等比数列的概念和运用方程组解决问题的才能.依题意有由式得     d=12-2a.      整

7、理得 a2-13a+36=0.解得  a1=4, a2=9.代入式得   d1=4,  d2=-6.从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.解法二:设四个数依次为x,y,12-y,16-x.依题意,有由式得     x=3y-12.      将式代入式得    y16-3y+12=12-y2,整理得 y2-13y+36=0.解得  y1=4,y2=9.代入式得   x1=0,x2=15.从而

8、得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.22本小题考察三角公式以及三角函数式的恒等变形和运算才能.解法一:由得两式相除得解法二:如图,不妨设0<2,且点A的坐标是cos,sin,点B的坐标是cos,sin,那么点A,B在单位圆x2+y2=1上.连结AB,假设C是AB的中点,由题设知点C 连结OC,于是OCAB,假设设点D的坐标是1,0,再连结OA,OB,那么有解法三:由题设得    4sin+sin=3cos+cos.将式代入式,可得 sin-j=sinj-.于是  -j=2k+1-j-kZ,或   

9、; -j=2k+j-kZ.假设    -j=2k+1-j-kZ,那么=+2k+1kZ.于是  sin=-sin,即sin+sin=0.由此可知     -j=2k+j-kZ.即    +=2j+2kkZ.23本小题考察直线和平面,直线和直线的位置关系,二面角等根本知识,以及逻辑推理才能和空间想象才能. 解法一:由于SB=BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SCBE.又 SCDE,BEDE=E,  SC面BDE,  SCB

10、D.又    SA底面ABC,BD在底面ABC上,SABD.而    SCSA=S,BD面SAC.  DE=面SAC面BDE,DC=面SAC面BDC,  BDDE,BDDC.   EDC是所求的二面角的平面角.  SA底面ABC,SAAB,SAAC.又DESC,所以EDC=60°,即所求的二面角等于60°.解法二:由于SB=BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SCBE.又 SCDE,BEDE=E.  SC面BDE,  S

11、CBD.由于SA底面ABC,且A是垂足,所以AC是SC在平面ABC上的射影.由三垂线定理的逆定理得BDAC;又因ESC,AC是SC在平面ABC上的射影,所以E在平面ABC上的射影在AC上,由于DAC,所以DE在平面ABC上的射影在AC上,根据三垂线定理又得BDDE.DE面BDE,DC面BDC,EDC是所求的二面角的平面角.以下同解法一.24本小题考察对数,不等式的根本知识及运算才能.解:原不等式可化为loga4+3x-x2>loga22x-1.   当0<a<1时,式等价于即当0<a<1时,原不等式的解集是x2<x<4.当a>

12、1时,式等价于25本小题考察复数与解方程等根本知识以及综合分析才能.解法一:设z=x+yi,代入原方程得于是原方程等价于方程组由式得y=0或x=0.由此可见,假设原方程有解,那么其解或为实数或为纯虚数.下面分别加以讨论.情形1. 假设y=0,即求原方程的实数解z=x.此时,式化为x2+2x=a. 令x>0,方程变为x2+2x=a.      由此可知:当a=0时,方程无正根;令x<0,方程变为x2-2x=a.       由此可知:当a=0时,方程无负根;令x=0,方程变为

13、0=a.   由此可知:当a=0时,方程有零解x=0;当a>0时,方程无零解.所以,原方程的实数解是:当a=0时,z=0;情形2. 假设x=0,由于y=0的情形前已讨论,如今只需考察y0的情形,即求原方程的纯虚数解z=yiy0.此时,式化为-y2+2y=a.     令y>0,方程变为-y2+2y=a,即y-12=1-a. 由此可知:当a>1时,方程无实根.从而,  当a=0时,方程有正根       y=2;令y<0,方程变为-y2-2y=

14、a,即y+12=1-a. 由此可知:当a>1时,方程无实根.从而,  当a=0时,方程有负根       y=-2;所以,原方程的纯虚数解是:当a=0时,z=±2i;而当a>1时,原方程无纯虚数解.解法二:设z=x+yi,代入原方程得于是原方程等价于方程组由式得y=0或x=0.由此可见,假设原方程有解,那么其解或为实数,或为纯虚数.下面分别加以讨论.情形1. 假设y=0,即求原方程的实数解z=x.此时,式化为x2+2x=a.情形2. 假设x=0,由于y=0的情形前已讨论,如今只需考察y0的情形,即求原方

15、程的纯虚数解z=yiy0.此时,式化为-y2+2y=a.当a=0时,因y0,解方程得y=2,即当a=0时,原方程的纯虚数解是z=±2i.即当0<a1时,原方程的纯虚数解是当a>1时,方程无实根,所以这时原方程无纯虚数解.解法三:因为z2=-2z+a是实数,所以假设原方程有解,那么其解或为实数,或为纯虚数,即z=x或z=yiy0.情形1. 假设z=x.以下同解法一或解法二中的情形1.情形2. 假设z=yiy0.以下同解法一或解法二中的情形2.解法四:设z=rcos+isin,其中r0,0<2.代入原方程得r2cos2+2r+ir2sin2=a.于是原方程等价于方程组情形1. 假设r=0.式变成0=a.   由此可知:当a=0时,r=0是方程的解.当a>0时,方程无解.所以,  当a=0时,原方程有解z=0;当a>0时,原方程无零解.当k=0,2时,对应的复数是z=±r.因cos2=1,故式化为r2+2r=a.  由此