1998年普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案（理）

1、.1998年普通高等学校招生全国统一考试数学理工农医类本试卷分第卷选择题和第卷非选择题两部分，总分值150分，考试120分钟第卷选择题共65分一选择题：本大题共15小题；第110题每题4分，第11 15题每题5分，共65分在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的1 sin600º的值是 A B C D 2 函数y=a|x|a1的图像是 （A） （B） （C） （D）1113 曲线的极坐标方程=4sin化成直角坐标方程为 A x2y22=4B x2y22=4C x22y2=4D x22y2=44 两条直线A1xB1yC1=0，A2xB2yC2=0垂直的充要条件是 A A1

2、A2B1B2=0B A1A2B1B2=0C D 5 函数fx= x0的反函数f1x= A xx0B x0C xx0D x06 点Psincos，tg在第一象限，那么在内的取值是 A B C D 7 圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为 A 120ºB 150ºC 180ºD 240º8 复数i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是 AiB iC ±iD ±ihVH09 假如棱台的两底面积分别是S，S，中截面的面积是S0，那么 A 2B S0=C 2 S0=SSD 10 向高为H的水瓶中注水，注满为止，假如注

3、水量V与水深h的函数关系的图像如以下图所示，那么水瓶的形状是 11 3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士不同的分配方法共有 A 90种B 180种C 270种D 540种12 椭圆=1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，假如线段PF1的中点在y轴上，那么|P F1|是|P F2|的 A 7倍B 5倍C 4倍D 3倍13 球面上有3个点，其中任意两点的球面间隔 都等于大圆周长的，经过这3个点的小圆的周长为4，那么这个球的半径为 A 4B2C 2D 14 一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为 A arccosB arcsinC arccosD ar

4、csin15 在等比数列an中，a1>1，且前n项和Sn满足Sn=，那么a1的取值范围是 A1， B1，4 C 1，2 D1， 第卷非选择题共85分二、填空题：本大题共4小题；每题4分，共16分把答案填在题中横线上16设圆过双曲线的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，那么圆心到双曲线中心的间隔 是_17x210x21的展开式中x10的系数为_用数字作答18如图，在直四棱柱A1B1C1 D1ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件_时，有A1 CB1 D1注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形19关于函数fx=4sin2xxR，有以下命题:由fx1= fx2=0可得x1

5、x2必是的整数倍；y=fx的表达式可改写为y=4cos2x；y=fx的图像关于点，0对称；y=fx的图像关于直线x=对称其中正确的命题的序号是_ 注：把你认为正确的命题的序号都填上 三、解答题：本大题共6小题；共69分解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤20本小题总分值10分在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，设ac=2b，AC=求sinB的值以下公式供解题时参考：sinsin =2sincos，sinsin=2cossin，coscos=2coscos，coscos=2sinsin.21本小题总分值11分如图，直线l1和l2相交于点M，l1 l2，点Nl1以A， B为端点的曲线

6、段C上的任一点到l2的间隔 与到点N的间隔 相等假设AMN为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6建立适当的坐标系，求曲线段C的方程22本小题总分值12分如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出设箱体的长度为a米，高度为b米流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比现有制箱材料60平方米问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小A、B孔的面积忽略不计23本小题总分值12分斜三棱柱ABCA1 B1 C1的侧面A1 ACC1与底面ABC垂直，ABC=90º，BC=2，AC=2，且AA

7、1 A1C，AA1= A1 C求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小；求侧面A1 ABB1 与底面ABC所成二面角的大小；求顶点C到侧面A1 ABB1的间隔 24本小题总分值12分设曲线C的方程是y=x3x，将C沿x轴、y轴正向分别平行挪动t、s单位长度后得曲线C1写出曲线C1的方程；证明曲线C与C1关于点A，对称；假如曲线C与C1有且仅有一个公共点，证明s=t且t025本小题总分值12分数列bn是等差数列，b1=1，b1b2b10=145求数列bn的通项bn；设数列an的通项an =loga1其中a0，且a1，记Sn是数列an的前n项和试比较Sn与logabn+1的大小，并证明你的结论1998

8、年普通高等学校招生全国统一考试数学试题理工农医类参考答案一、选择题此题考察根本知识和根本运算1D 2B 3B 4A 5B 6B 7C 8D 9A 10B 11D 12A 13B 14B 15D二、填空题此题考察根本知识和根本运算16 1717918ACBD，或任何能推导出这个条件的其他条件例如ABCD是正方形，菱形等19，三、解答题20本小题考察正弦定理，同角三角函数根本公式，诱导公式等根底知识，考察利用三角公式进展恒等变形的技能及运算才能解：由正弦定理和条件a+c=2b 得 sinA+sinC=2sinB.由和差化积公式得2sincos=2sinB.由A+B+C= 得 sin=cos ，又A

9、C= 得 cos=sinB，所以cos=2sincos.因为0<<，cos0，所以sin=，从而cos=所以sinB=.21本小题主要考察根据所给条件选择适当的坐标系，求曲线方程的解析几何的根本思想考察抛物线的概念和性质，曲线与方程的关系以及综合运用知识的才能解法一：如图建立坐标系，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点依题意知：曲线段C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，其中A，B分别为C的端点设曲线段C的方程为y2=2pxp>0，xAxxB，y>0，其中xA，xB分别为A，B的横坐标，p=|MN|.所以 M，0，N，0.由|AM|= ，|AN|

10、=3 得xA+2+2pxA=17， xA2+2pxA=9. 由，两式联立解得xA =.再将其代入式并由p>0解得因为AMN是锐角三角形，所以> xA，故舍去所以p=4，xA =1.由点B在曲线段C上，得xB =|BN|=4.综上得曲线段C的方程为y2=8x1x4，y>0.解法二：如图建立坐标系，分别以l1、l2为x、y轴，M为坐标原点作AE l1，AD l2，BF l2，垂足分别为E、D、F.设AxA，yA、BxB，yB、NxN，0.依题意有xA =|ME|=|DA|=|AN|=3，yA =|DM|=，由于AMN为锐角三角形，故有xN =|ME|+|EN|=|ME|+=4xB

11、 =|BF|=|BN|=6.设点Px，y是曲线段C上任一点，那么由题意知P属于集合x，y|xxN2+y2=x2，xAxxB，y>0.故曲线段C的方程为y2=8x23x6，y>0.22本小题主要考察综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的才能，考察建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等根底知识解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数，那么y=，其中k>0为比例系数.依题意，即所求的a，b值使y值最小.根据题设，有4b+2ab+2a=60a>0，b>0，得 b=0<a<30. 于是 y=，当a+2=时取等号，y到达最小值.这时a=6，a=10舍去.

12、将a=6代入式得b=3.故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.解法二：依题意，即所求的a，b的值使ab最大.由题设知 4b+2ab+2a=60a>0，b>0，即 a+2b+ab=30a>0，b>0.因为 a+2b2，所以 +ab30，当且仅当a=2b时，上式取等号.由a>0，b>0，解得0<ab18.即当a=2b时，ab获得最大值，其最大值为18.所以2b2=18.解得b=3，a=6.故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小23本小题主要考察直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，棱柱的性质，空

13、间的角和间隔 的概念，逻辑思维才能、空间想象才能及运算才能解：作A1DAC，垂足为D，由面A1ACC1面ABC，得A1D面ABC，所以A1AD为A1A与面ABC所成的角.因为AA1A1C，AA1=A1C，所以A1AD =45º为所求.解：作DEAB，垂足为E，连A1E，那么由A1D面ABC，得A1EAB.所以A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角.由，ABBC，得EDBC.又D是AC的中点，BC=2，AC=2，所以DE=1，AD=A1D=， tgA1ED=.故A1ED=60º为所求.解法一：由点C作平面A1ABB1的垂线，垂足为H，那么CH的长是C到平面A1A

14、BB1的间隔 .连结HB，由于ABBC，得ABHB.又A1EAB，知HBA1E，且BCED，所以HBC=A1ED=60º所以CH=BCsin60º=为所求.解法二：连结A1B.根据定义，点C到面A1ABB1的间隔 ，即为三棱锥CA1AB的高h.由得，即 所以为所求.24本小题主要考察函数图像、方程与曲线，曲线的平移、对称和相交等根底知识，考察运动、变换等数学思想方法以及综合运用数学知识解决问题的才能.解：曲线C1的方程为y=xt3xt+s.证明：在曲线C上任取一点B1x1，y1.设B2x2，y2是B1关于点A的对称点，那么有， .所以 x1=tx2， y1=sy2.代入曲线

15、C的方程，得x2和y2满足方程：sy2=tx23tx2，即 y2=x2t3x2t+ s，可知点B2x2，y2在曲线C1上.反过来，同样可以证明，在曲线C1上的点关于点A的对称点在曲线C上.因此，曲线C与C1关于点A对称.证明：因为曲线C与C1有且仅有一个公共点，所以，方程组有且仅有一组解.消去y，整理得 3tx23t2x+t3ts=0，这个关于x的一元二次方程有且仅有一个根.所以t0并且其根的判别式 =9t412tt3ts=0.即 所以 且 t0.25本小题主要考察等差数列根本概念及其通项求法，考察对数函数性质，考察归纳、推理才能以及用数学归纳法进展论证的才能.解：设数列bn的公差为d，由题意得解得所以 bn =3n2.由bn =3n2，知Sn=loga1+1+ loga1+ loga1+= loga1+11+1+，loga bn+1= loga.因此要比较Sn与loga bn+1的大小，可先比较1+11+1+与的大小.取n=1有1+1>，取n=2有1+11+>，由此推测1+11+1+>. 假设式成立，那么由对数函数性质可断定：当a>1时，Sn&