第十四章—虚位移原理

1、第十四章 虚位移原理 系统的约束及其分类系统的约束及其分类 虚位移及其计算虚位移及其计算引引 言言 虚位移原理，是用分析的方法来研究任意虚位移原理，是用分析的方法来研究任意质点系的平衡问题。这部分内容称为质点系的平衡问题。这部分内容称为分析静力学。虚位移原理给出的平衡条件，对于任意质。虚位移原理给出的平衡条件，对于任意质点系的平衡都是必要与充分的，因此它是解决点系的平衡都是必要与充分的，因此它是解决质点系平衡问题的普遍原理。同时，将虚位移质点系平衡问题的普遍原理。同时，将虚位移原理和达朗贝尔原理相结合，可以导出动力学原理和达朗贝尔原理相结合，可以导出动力学普遍方程和拉格朗日方程，从而得到求解质

2、点普遍方程和拉格朗日方程，从而得到求解质点系动力学问题的又一个普遍的方法。系动力学问题的又一个普遍的方法。 限制质点系中各质点的位置和运动的条件称为限制质点系中各质点的位置和运动的条件称为约束约束。表。表示这些限制条件的表达式称为示这些限制条件的表达式称为约束方程约束方程。根据约束形式及其。根据约束形式及其性质，约束可分以下类型：性质，约束可分以下类型： 一、几何约束与运动约束一、几何约束与运动约束 限制质点或质点系在空间的几何位置的约束称为限制质点或质点系在空间的几何位置的约束称为几何约束几何约束。如：如：Oxy),(yxMl222lyx约束类型及分类约束类型及分类O),(AAyxA),(B

3、ByxBrlxy0)()(222222BABABAAylyyxxryx 几何约束方程的一般形式为几何约束方程的一般形式为0),(111 nnnrzyxzyxf 不仅能限制质点系的位置，而且能限制质点系中各质点的不仅能限制质点系的位置，而且能限制质点系中各质点的速度的约束称为速度的约束称为运动约束运动约束。),(BByxBBvOxyCr为几何约束方程。为几何约束方程。ryB0rxB为运动约束方程。为运动约束方程。运动约束方程的一般形式为运动约束方程的一般形式为0),(111111 nnnnnnrzyxzyxzyxzyxf 二、定常约束与非定常约束二、定常约束与非定常约束约束条件不随时间变化的约束

4、称为约束条件不随时间变化的约束称为定常约束定常约束。约束条件随时间变化的约束称为约束条件随时间变化的约束称为非定常约束非定常约束。 Oxy),(yxMu0l其约束方程为其约束方程为2022)(utlyx 非定常约束方程的一般形式为非定常约束方程的一般形式为0),(111 tzyxzyxfnnnr 三、双面约束与单面约束三、双面约束与单面约束 任何瞬时都存在的约束，即质点不可能脱离的约束，称任何瞬时都存在的约束，即质点不可能脱离的约束，称为为固执约束固执约束，也称为，也称为双面约束双面约束。 若约束有可能消失和若约束有可能消失和“松弛松弛”，即质点有可能脱离约束，即质点有可能脱离约束，则称为则称

5、为非固执约束非固执约束，也称为，也称为单边约束单边约束。其约束方程的一般形。其约束方程的一般形式为式为111( ,)0rnnnfx y zxyz四、完整约束与非完整约束四、完整约束与非完整约束 几何约束或其约束方程能够积分的运动约束称为几何约束或其约束方程能够积分的运动约束称为完整约束完整约束。 如果在约束方程中显含坐标对时间的导数，并且如果在约束方程中显含坐标对时间的导数，并且不可以积分，这种约束称为不可以积分，这种约束称为非完整约束非完整约束。 本章只研究定常的、双面的、完整的、几何约束本章只研究定常的、双面的、完整的、几何约束问题。问题。一、虚位移的概念一、虚位移的概念 在某瞬时，质点系

6、在约束允许的条件下，可能实在某瞬时，质点系在约束允许的条件下，可能实现的任何微小的位移，称为该质点系的现的任何微小的位移，称为该质点系的虚位移虚位移。如。如Oxy),(yxMrOABxyArBr 虚位移原理虚位移原理 必须指出，虚位移和实位移都受约束的限制，是必须指出，虚位移和实位移都受约束的限制，是约束所允许的位移，但二者是有区别的：约束所允许的位移，但二者是有区别的： 实位移实位移：是在一定的力作用下和给定的运动初始条：是在一定的力作用下和给定的运动初始条件下，在一定的时间内发生的位移，具有确定的方向，件下，在一定的时间内发生的位移，具有确定的方向，可能是微小值，也可能是有限值。可能是微小

7、值，也可能是有限值。 虚位移虚位移：纯粹是一个几何概念，它既不牵涉到系统：纯粹是一个几何概念，它既不牵涉到系统的实际运动，也不涉及到力的作用，与时间过程和运的实际运动，也不涉及到力的作用，与时间过程和运动的初始条件无关，它一定是微小值，在约束允许的动的初始条件无关，它一定是微小值，在约束允许的条件下具有任意性。条件下具有任意性。 一个静止的质点或质点系不会发生实位移，但可以一个静止的质点或质点系不会发生实位移，但可以有虚位移。在定常约束的情况下，微小实位移必定是有虚位移。在定常约束的情况下，微小实位移必定是虚位移中的一个。在非定常约束的情况下，实位移与虚位移中的一个。在非定常约束的情况下，实位

8、移与虚位移没有关系。虚位移没有关系。二、虚位移的计算二、虚位移的计算1 1、几何法、几何法 这里仅讨论定常约束的情形。在此条件下，真实这里仅讨论定常约束的情形。在此条件下，真实位移是虚位移中的一个。因此可以用求实位移的方法位移是虚位移中的一个。因此可以用求实位移的方法来求各质点虚位移之间的关系。这种方法又称来求各质点虚位移之间的关系。这种方法又称虚速度虚速度法法。例如：。例如：ABABABvvtvtvrrOABxyArBrC由于由于ABAB作平面运动作平面运动，由速度投影定理速度投影定理)sin()(90coscosAABvvvcos)sin( ABABvvrr或者，由于或者，由于 为为AB的

9、瞬心的瞬心，故故COABxyArBrCACBCvvBCvACvABBA即由正弦定理由正弦定理cos)90sin()sin(ACACBC同样可得同样可得cos)sin(ACBCvvrrABAB 2 2、解析法、解析法 解析法是利用对约束方程或坐标表达式进行变解析法是利用对约束方程或坐标表达式进行变分以求出虚位移之间的关系。例如分以求出虚位移之间的关系。例如),(AAyxA),(BByxBxyOAyBxl 椭圆规机构如图，坐标椭圆规机构如图，坐标AByx ,有约束方程有约束方程222lyxAB对上式进行变分运算得对上式进行变分运算得022AABByyxxtanxyyxBAAB),(AAyxA),(

10、BByxBxyOAyBxl或者把或者把 表示成表示成 的函数，也的函数，也可求出虚位移间的关系。可求出虚位移间的关系。AByx ,因为coslxBsinlyA作变分运算作变分运算sinlxBcoslyA所以所以tanAByx 比较以上两种方法，可以发现，几何法直观，比较以上两种方法，可以发现，几何法直观，且较为简便，而解析法比较规范。且较为简便，而解析法比较规范。MFr 如图所示，设某质点受力如图所示，设某质点受力 作用，作用，并给该质点一个虚位移并给该质点一个虚位移 ，则力，则力 在虚在虚位移位移 上所作的功称为上所作的功称为虚功虚功，即，即FFrrrFW或或rFWcos 显然，虚功也是假想

11、的，它与虚位移是同阶无显然，虚功也是假想的，它与虚位移是同阶无穷小量穷小量。 如果在质点系的任何虚位移中，所有的约束反如果在质点系的任何虚位移中，所有的约束反力所作虚功的和等于零，则这种约束称为理想约束力所作虚功的和等于零，则这种约束称为理想约束。其条件为其条件为0iiNrNW三三、 虚位移原理虚位移原理 常见的理想约束有：常见的理想约束有： 支承质点或刚体的光滑固定面、连接物体的光支承质点或刚体的光滑固定面、连接物体的光滑铰链、连接两个质点的无重杠杆、连接两个质点滑铰链、连接两个质点的无重杠杆、连接两个质点不可伸缩的绳索、无滑动的滚动。不可伸缩的绳索、无滑动的滚动。 具有双面、定常、理想约束

12、的质点系，具有双面、定常、理想约束的质点系，在某一位置处于平衡的充要条件是：所有作在某一位置处于平衡的充要条件是：所有作用于质点系上的主动力，在该位置的任何虚用于质点系上的主动力，在该位置的任何虚位移中所作的虚功之和等于零。位移中所作的虚功之和等于零。其数学表达其数学表达式为式为0iirF或或0cosiiirF或用解析式表示为或用解析式表示为0)(iiiiiizZyYxX以上三式称为以上三式称为虚功方程虚功方程。虚位移原理也称。虚位移原理也称虚虚功原理功原理。 一、求主动力之间的关系一、求主动力之间的关系OABPQBrArCPQ例例1 、 图示机构中，已知图示机构中，已知OA=AB=l， 如不

13、计各构件的重量和摩擦，求在图示位置平如不计各构件的重量和摩擦，求在图示位置平衡时主动力衡时主动力 与与 的大小之间的关系。的大小之间的关系。 AOB 解解1：以系统为研究对象，受的主动力：以系统为研究对象，受的主动力有有 、 。给系统一组虚位移如图。给系统一组虚位移如图。PQ由虚位移原理由虚位移原理0iirF，得得四、例题讲解sin2sin2llACBCvvrrABAB将以上关系代入前式得将以上关系代入前式得0)sin2cos(ArQP由于由于 ，于是得，于是得0ArQtgP2 AB作平面运动，瞬心在作平面运动，瞬心在 点，则点，则C0cosBArQrPOABPQBrArC 亦可由速度投影定理

14、求虚位移之间的关系：亦可由速度投影定理求虚位移之间的关系：由速度投影定理由速度投影定理2sincosABvvsin2ABABvvrrOABPQBrArCOABPQBrAr 解解2：解析法。建立如图坐标。：解析法。建立如图坐标。xy由于由于PXAQYB且且sinlxAcos2lyB对上两式作变分，得对上两式作变分，得coslxAsin2lyB由由0)(iiiiiizZyYxX，得，得0BBAAyYxX即即0)sin2)(cos)(lQlP由于由于 ，于是得，于是得0QtgP2二、求系统的平衡位置二、求系统的平衡位置ABCDEWaabb 例例2 图示平面机构，两杆长度相等。在图示平面机构，两杆长度

15、相等。在B点挂有重点挂有重W的重的重物。物。D、E两点用弹簧连接。已知弹簧原长为两点用弹簧连接。已知弹簧原长为l，弹性系数为，弹性系数为k，其它尺寸如图。不计各杆自重。求机构的平衡位置。其它尺寸如图。不计各杆自重。求机构的平衡位置。ABCDEWFFxy 解：以系统为研究对象，建立如解：以系统为研究对象，建立如图的坐标。图的坐标。 系统受力有主动力系统受力有主动力 ，以及，以及非理想约束的弹性力非理想约束的弹性力 和和 ，将，将其视为主动力。其弹性力的大小其视为主动力。其弹性力的大小为为WFF)cos2(lbkkF主动力作用点的坐标及其变分为主动力作用点的坐标及其变分为sin)(bayBcos)

16、(bayBcosaxDsinaxDcos)2(baxEsin)2(baxEABCDEWFFxy主动力在坐标方向上的投影为主动力在坐标方向上的投影为WYBFXDFXE由由0)(iiiiiizZyYxX，得，得0EEDDBByYxXyY即即0sin)2()sin(cos)(baFaFbaW亦即亦即0sin2cos)(FbbaW因因 ，故，故00sin2cos)(FbbaW将将F代入，化简得代入，化简得)cos2(2)(lbkbbaWtg 三、求约束反力三、求约束反力 例例3 试求图示多跨静定梁铰试求图示多跨静定梁铰B处的约束反力。处的约束反力。44433336ABCDEFG1P2P3PM 解：以梁

17、为研究对象，解除解：以梁为研究对象，解除B处约束，代之以相应的约处约束，代之以相应的约束反力束反力 ，并视为主动力。给系统一组虚位移，如图所示。，并视为主动力。给系统一组虚位移，如图所示。BYABCDEFG1P2P3PMBY1r2rBr3rEr 由虚位移原理有由虚位移原理有0332211MrPrPrYrPBB由图知由图知161181163,811,21223321BBBBrrrrrrrrrr96111621162BBEBrrrrrBrr16113Br9611于是得于是得0)9611161181121(321BBrMPPYP从而有从而有MPPPYB96111611811213210Br 例5.

18、多跨梁由AC和CE用铰C连接而成。荷载分布如图示。P=50KN，均布荷载q=4KN/m，力偶矩m=36KNm ；求支座A、B和E的约束反力。3m 3m 6m6m6mABCDEPqm解解: 解除支座解除支座A的约束，代之约束反力的约束，代之约束反力RA，画虚位移图，画虚位移图如下。如下。 其中其中Q1=24KN， Q2=24KN。12rArC利用虚位移图得: rC = (BC)1 = (CE)2 1 = 22 3m 3m 6m6m6mABCDEPqmQ1Q2RABEW(RA) =6 RA1 W(P) = -1501 6RA1-1501+721+2162 - 362 = 0 RA = -2KN W

19、(Q1) =721W(Q2) = 2162W(m) = - 362由虚位移原理得:利用虚位移图计算虚功利用虚位移图计算虚功12rArC3m 3m 6m6m6mABCDEPqmQ1Q2RABE3m 3m 6m6m6mABCDEPqm解除支座解除支座B的约束，代之约束反力的约束，代之约束反力RB ，画虚位移图，画虚位移图. 利用虚位移图得:rC = (AC)1 = (CE)21 = 2 = rC12Q1Q2RBEW(P) =1501 由虚位移原理得: RB = 91 KNW(RB) = - 6RB1W(Q1) = 2161W(Q2) = 2162W(m) = - 362-6RB1+1501+2161+2162 -362 = 0利用虚位移图计算虚功利用虚位移图计算虚功3m 3m 6m6m6mABCDEPqmrC12Q1Q2RBE解除支座解除