(整理)方位角计算公式

1、精品文档精品文档一、直线定向1、正、反方位角换算对直线而言,过始点A的坐标纵轴平行线指北端顺时针至直线的夹角是 AB 的正方位角，而过端点B的坐标纵轴平行线指北端顺时针至直线的夹角的反方位角，同一条直线的正、反方位角即同一直线的正反方位角(1-13)ai-i4 jam苒正反方位用上式右端，若,用号，若2、象限角与方位角的换算一条直线的方向有时也可用象限角表示。所谓象限角是指从坐标纵轴的指北端或指南端起始,至直线的锐角，用表示，取值范围为为了说明直线所在的象限,前应加注直线所在象限的名称。四个象限的名称分别为北东(N日、南东(SE、南西(SW北西(NW)。象限角和坐标方位角之间的换算公式列于表1

2、-4表1-4象限角与方位角关系表象限角R与方位角Q换算公式一=.第一象限(N日第二象限 （SE）第三象限（svy五二哑+灰第四象限 （Nvy仁6/K3、坐标方位角的推算测量工作中一般并不直接测定每条边的方向，而是通过与已知方向进行连测，推算出各边的坐标方位角设地面有相邻的ABC三点，连成折线（图1-17）,已知AB边的方位角,又测定了 AB和贸?之间的水平角B,求边的方位角即是相邻边坐标方位角的推算。水平角户又有左、右之分，前进方向左侧的水平角为前进方向右侧的水平角设三点相关位置如图1-17（ 口 ）所示，应有检"的 + 为 +（1-14）设三点相关位置如图1-17（ 口 ）所示，应

3、有%隹+1附卿忠儆(1-15)若按折线前进方向将 AB 视为后边,BC视为前边，综合上二式即得相邻边坐标方位角推算的通式:显然，如果测定的是就和BC之间的前进方向右侧水平角,因为有 层=360。%代入上式即得通式(1-17)上二式右端，若前两项计算结果<1附，川前面用”号，否则13U,前面用号。二、坐标推算1、坐标的正算.其所在象限之符号地面点的坐标推算包括坐标正算和坐标反算。坐标正算，就是根据直线的边长、坐标方位角和一个端点的坐标，计算直线另一个端点的 坐标的工作。如图1所示，设直线AB的边长DABW一个端点A的坐标XA YA为已知，则直线另一个端点B的坐标为：XB=XA+ XABYB

4、=YA+ YAB式中，A XAB A YA嘛为坐标增量，也就是直线两端点 A B的坐标值之差。由图1中，根据三角函数，可写出坐标增量的计算公式为:A XAB=DABcos a ABA YAaDAB- sin AB式中AX、AY均有正、负，其符号取决于直线 AB 的坐标方位角所在的象限， 参见表1-5。表1-5 不同象限坐标增量的符号Ay I 八43之符号+1附（第二象限）画沟一2、坐标的反算根据H、B两点的坐标与坐标方位角,推算直线 AB 的水平距离为坐标反算。由图i可见，其计算公式为:,-1n tan 1 二 tan 1 二一 ”一( 1-20 )时往往得到的是象限角的数值，必须参照表注意，

5、由（1-20）式计算 "I4(1-21 )1-5表1-4 ,先根据的正、负号，确定直线AB所在的象限，再将象限角化为坐标方位角的符号判断，直线AB应在第三象限。因此，最后得的妁+W1225.余类推表1-4象限角与方位角关系表象 限象限角E与方位角色换算公式第一象限（NE& =R三、举例1、某导线12边方位角为45° ,在导线上2点测得其左角为250° ,求，32 ?解：1) 23边的方位角:根据公式因 a 12 = 250° , a 12 >180° ,故计算公式中,180前面应取"一号:a23- a 12+ B意lr-

6、il.1=45° +250° 180°= 115°2）求a 23反方位角：根据公式附,本例 a 23 V 180'ISO前面应取号:3 32= a 23+=295当前位置：首页一复习总结一基本计算2一、水准测量内业的方法:水准测量的内业即计算路线的高差闭合差，如其符合要求则予以调整，最终推算出待定点的高程。1 .高差闭合差的计算与检核附合水准路线高差闭合差为:£ = 2% (出厂/ )(2-8)闭合水准路线高差闭合差为：(2-9)一般水准测量该容许值规定为为了检查高差闭合差是否符合要求，还应计算高差闭合差的容许值（即其限差）平地J 螭=

7、± 4 mmL mm山地mm(2-11)式中，£一水准路线全长，以 km为单位；为一路线测站总数。2 .高差闭合差的调整（平地）或测站数（山地）成正比，即依下若高差闭合差小于容许值，说明观测成果符合要求，但应进行调整。方法是将高差闭合差反符号，按与测段的长度 式计算各测段的高差改正数，加入到测段的高差观测值中:（平地）式中，£】一路线总长;（山地）上一第1 测段长度（km） （7=1、2、3.）；£力一测站总数;3 .计算待定点的高程将高差观测值加上改正数即得各测段改正后高差:hi 改=%+，h i i = 1, 2, 3,据此，即可依次推算各待定点的高

8、程。如上所述，闭合水准路线的计算方法除高差闭合差的计算有所区别而外，其余与附合路线的计算完全相同。二、举例1 .附合水准路线算例下图2-18所示附合水准路线为例，已知水准点 A、B和待定点1、2、3将整个路线分为四个测段。I割27片附合水推腑域异例表2-2附合水准路线计算测段号点名测站数观测高差/m改正数/m改正后高差/m高程/m备注123456781BM18+8.364-0.01439.8331+8.35048.18323 1.4330.0051.438246.74534 2.7450.0072.752343.99345+4.6610.008+4.653BM248.646+ 8.8470.0

9、34+8.81320辅助计算=+ 0.034m_ 54mm1）将点名、各测段测站数、各测段的观测高差“4、已知高程数填入表 2-2内相应栏目2、3、4、7（如系平地测量，则将测站数栏改为公里数栏，填入各测段公里数；表内加粗字为已知数据）2）进行高差闭合差计算:照计算高差闭合差的容许值为:=8.847 (48.646 39.833) = + 0.034m由于图中标注了测段的测站数，说明是山地观测，因此依据总测站数54mm计算的高差闭合差及其容许值填于表2-2下方的辅助计算栏。3）高差闭合差的调整fh4h容，故其精度符合要求。本例中，将高差闭合差反符号，按下式依次计算各测段的高差改正数:（

10、3;附一测站总数，4 第t测段测站数）第一测段的高差改正数为:同法算得其余各测段的高差改正数分别为5、7、8mm,依次列入表2-2中第5栏。注：1、所算得的高差改正数总和应与高差闭合差的数值相等，符号相反，以此对计算进行校核。如因取整误差造成二者出现小的较差可对个别测段高差改正数的尾数适当取舍 1mm ,以满足改正数总和与闭合差数值相等的要求。2、若为平地，高差改正数按各测段长度比例分配：用公式，印=-N£ 计算，式中，L 路线总长；& 第，测段长度（0）（=1、2、3.）4）计算待定点的高程将高差观测值加上改正数即得各测段改正后高差：hi 改=%+，h i i = 1, 2

11、, 3, 4据此，即可依次推算各待定点的高程。（上例计算结果列入表 2-2之第6、7栏）。H1=HA+H1 改H2=H1+H2 改HB （算）=HB（已知）HB-HA ），即：工政=HB-HA 。如不相等，说明计算中有错误存在。最后推出的终点高程应与已知的高注：改正后的高差代数和，应等于高差的理论值（ 程相等。2闭合水准路线算例闭合水准路线的计算方法除高差闭合差的计算有所区别而外，其余与附合路线的计算完全相同。计算时应当注意高差闭合差的公式为：f h=±h测。如图2所示一闭合水准路线，A为已知水准点，A点高程为51.732m,其观测成果如图中所示，计算1、2、3各点的高程。将图中各数

12、据按高程11算顺序列入表2进行计算：表2水准测量成果计算表测段号测站数观测高差/m改正数 /mm改正后高差/m高程/mBMABMB计算3456111.3520.006-1.34682.1580.0042.16262.5740.0032.57773.3970.0043.393320.0170.017051.73250.38652.54855.12551.732计算步骤如下:计算实测高差之和3.766 3.736 = 0.030m = 30mm1 = 30mmJ秘=±12而 mm= ± 68mmEh 测=3.766m计算容许闭合差 fh容= -.1- = ±68mmf

13、h4h容，故其精度符合要求，可做下一步计算。计算高差改正数高差闭合差的调整方法和原则与符合水准路线的方法一样。本例各测段改正数vi计算如下:/ 巧=(fh/ 1>) x n1= ( 17/32) M1=6mm，h2= (fh/ En)Xn2=(-17/32) >8=4mm 检核 U/ h = fh=0.030m计算改正后高差h改各测段观测高差 hi分别加上相应的改正数后，hi,即得改正后高差: hl 改=h1 + / h 1= 1.352+0.006=-1.346mh2 改=h2+ / h 2=2.158+0.004=2.162m注：改正后的高差代数和，应等于高差的理论值 0,即：

14、 Eh改=0 ,如不相等，说明计算中有错误存在。高程计算测段起点高程加测段改正后高差，即得测段终点高程，以此类推。最后推出的终点高程应与起始点的高程相等。即:H1=HA+h1 改=51.732-1.346=50.386mH2=H1+h2 改=50.386+2.162=52.548mHA （算）=HA（已知）=51.732m计算中应注意各项检核的正确性。当前位置：首页-复习总结-基本at算3一、经纬仪测回法测水平角1、基本数据：设幺、0、B为地面三点，为测定 CM、0B两个方向之间的水平角8,在o点安置经纬仪（图3-7）,采用测回法进行观测。i）上半测回（盘左）水平度盘读数：目标 R :为=00

15、 02.1 06，目标 3 :a=68。49 18 ； 2）下半测回（盘右）水平度盘读数：目标 3 :务=248 491 30 ,目标上:勺=180。02 24。2、填表与计算：1）将目标A、目标B水平度盘读数填入表 31第4栏。表3-1水平角观测手簿（测回法）测站目标竖盘 位置水平度盘读数半测回角值一测回角值备注12345670左0 02 0668 49 1868 47 1268 47 09右180 02 2468 47 06T248 49 302）计算半测回角，并将结果填入表3 1第5栏:盘左:隹=4 一。产=6郊的-02的=6刊712ff盘右：一，'，：；注：计算角值时，总是右目

16、标读数b减去左目标读数a,若b <u,则应加3600。3）计算测回角值 8 ,并填入表3 1第6栏。/+隹_ 6&47管+ 6列7仇“二6千妙眦£二 2 一 2 一注：1.同一方向的盘左、盘右读数大数应相差ISf ；2 .半测回角值较差的限差一般为 ±40,；3.为提高测角精度，观测 片个测回时，在每个测回开始即盘左的第一个方向，应旋转度盘变换手轮配置水平度盘读数，使其递增130,n o各测回平均角值较差的限差一般为± 241水平角取各测回角的平均值。二、经纬仪测竖直角竖直角（简称竖角）是同一竖直面内目标方向和水平方向之间的角值a，仰角为正，俯角为负

17、，其绝对值为0°1、竖盘构造经纬仪竖直度盘固定在横轴一端，随望远镜一道转动，竖盘指标线受竖盘指标水准管控制，当指标水准管气泡居中时，指标线应 在铅垂位置。目标方向可通过竖直度盘（简称竖盘）读取读数（始读数），而水平方向的读数已刻在竖盘上。砧）依右国3T望远舞水平时的唾痴窿数2、竖直角的计算公式图3-9所示竖盘按顺时针方向注记，且望远镜水平时竖盘读数为：盘左为 90”,盘右为27盘左 三（3-4）盘右 4 = 4- 270"（3-5）心+的a=-其平均值为一（3-6）注：竖盘注记形式不同，计算公式也不同。3、竖直角记录整理举例：设火点安置经纬仪观测 3目标、C目标的竖角，观测

18、值如下：目标B:盘左：竖盘t卖数为 L（设为827H2"）；盘右：竖盘t契如为 R（设为27W54.）。目标C：盘左：竖盘读数为 £（设为99° 41' 12）；盘右：竖盘t数为 R （设为260° 18' 00）。1）将竖盘读数填入下表3 4第4栏。表3-4竖直角观测手簿测站目标竖盘竖盘读数半测回竖角指标差一测回竖角备注位置° ' ° ' (1)”° ' 12345678团左82 37 12+7 22 48+ 3+7 22 51右277 22 54+7 22 54IJI左99 41

19、12-9 41 12-24-9 41 36右260 18 00-9 42 00注：盘左视线水平时，竖盘读数为90。，视线上斜读数减少。2）计算半测回角，并填入表34第5栏中。盘左-（3-4）盘右& = K - 270"（3-5）3）计算指标差x,填入表3 4第6栏。指标水准管气泡居中时，指标线如果偏离正确位置，则指标线的偏离角值称为竖盘指标差xo指标差有两种计算方法:方法 1 : X =2（3-12）_(£ + &) 360口X -方法 2:2(3-13)4)计算一测回角，填入表 3-4第7栏。2(3-6)注：1、指标差对盘左、盘右竖角的影响大小相同、符号相

20、反，采用盘左、盘右取平均的方法就可以消除指标差对竖角的影响2、对同一架经纬仪而言，观测不同目标算得的竖盘指标差理应大致相同。该例两个指标差值之所以相差较大，说明读数中含有较 多的观测误差。:二当前位置：首页-复习总结-基本at算4瀛您讲海4题豌起量管闫一、基本计算对精度要求较高的钢尺量距，除应采用经纬仪定线、在钢尺的尺头处用弹簧秤控制拉力等措施而外，还应对丈量结果进行以下三 项改正：1、尺长改正设钢尺名义长为，在一定温度和拉力条件下检定得到的实际长为)，二者之差值即为一尺段的尺长改正4/ ：一 ''l(4-5)2、温度改正受热胀冷缩的影响，当现场作业时的温度f与检定时的温度%不

21、同时，钢尺的长度就会发生变化，因而每尺段需进行温度改正(4-6)图45依斜改正式中 ffl= 0.0000125/r C,为钢尺的膨胀系数。设一尺段两端的高差为 h ,沿地面量得斜距为1,将其化为平距d（图4-6）,应加倾斜改正 此因为 M）-L+d）e-d）,工即有凡 =/ + d ；又因 此甚小，可近似认为l = d ,所以有卜It =一方（4-8）以上三项之和即为一尺段的改正数A/ ：-（4-9）4、尺长方程式尺长随温度变化的函数式称为尺长方程式：二二 J 二-二：:-（.-7（4-7）式中）一温度为f度时钢尺的实际长度；,0一钢尺的名义长度；等式右端后两项实际上就是钢尺尺长改正和温度改

22、正的组合。5、相对误差为了检核和提高精度，一般需要进行往返丈量，取其平均值作为量距的成果。(4-3)相对误差:% 十少量-2-并以往、返丈量结果的相对误差来衡量其成果的精度。二、举例例1:钢尺丈量 AB的水平距离，往测为 375.31m,返测为375.43m；丈量CD的水平距离，往测为 263.37m,返测为263.47m,最后得DAB DC吸它们的相对误差各为多少哪段丈量的结果比较精确得:解：1）水平距离，由AB: DAB= ( 375.31 + 375.43 ) /2 = 375.37mCD: DCD= ( 263.37 +263.47 ) /2 = 263.42m2）相对误差，由三二得:

23、AB: KAB= (375.43 - 375.31)/375.37= 1/3128CD: KCD= (263.47 - 263.37)/263.42= 1/2634KAB< KCD故AB的丈量结果比较精确例2:一钢尺名义长 4 =30m,实际长4 =30.0025m ,检定温度4=C,作业时的温度和场地坡度变化都不大，平均温度t =25.8 C,尺段两端高差的平均值= +0.272m,量得某段距离往测长。住=221.756m,返测长口嗯=221.704m,求其改正后平均长度及其相对误差。解：一尺段尺长改正30.0025-30.000=+0.0025m温度改正=0.0000125-:-=0

24、.0022m倾斜改正0.272,一.=二二 一 U 二 0.0012m三项改正之和M = 0.0025+0.0022 0.0012 = +0.0035m往测长口粗的改正数及往测长221,756 rm”%=-xOOO35 =+0.026m,h=221756+0.026二 221 花.返测长口区的改正数及返测长221.70430.0x°g=+0.026m, 4=221704+0.0026 = 22L730m改正后平均长:入 221.782 + 221.730D 221.756m相对误差：221,782-221.7302217564260例3:从A点测设长度为140.685m的水平距离 A

25、B,初设B点后，测得温度 t =23C ,AB两点的高差h=1.168m,已知尺长方程为 lt=30 0.0023+1.2 X 10 -5(t 20° C)X 30m,问需沿地面测设多少长度解：1) AB段三项改正尺长改正A/d = - 0.0023 X 140.685/300.0108m温度改正倾斜改正L = 1.1682/(2 X 140.685)0.0048m三项之和(即 AB段的改正数)： M = 必 +M +M4 = 1.2X10-5(23。C- 20。C)X 140.685= 0.0051m0.0108 + 0.0051 + ( 0.0048 ) 0.0101m需沿地面测

26、设的长度DAB = DAB- A/ = 140.685 (0.0101) = 140.786m:二当前位置：首页-复习总结-基本at算5一、基本计算1、观测值中误差的计算设在相同条件下对某量进行了n次观测，得一组观测值L1、 L2、Ln, x为观测值的算术平均值,V. + , r!表示观测值改正数，即vl = x-L电= x 一 4则中误差2、相对中误差的计算1表示:所谓相对中误差（简称相对误差）就是中误差之绝对值（设为 |m| ）与观测值（设为 D）之比，并将分子化为二二 二,尸3、算术平均值及其中误差计算设对某量进行网次等精度观测，观测值为4（i =1、2£+£?+ &

27、amp; L 其算术平均值为】：并界m竭二士算术平均值中误差 mx（其中m为观测值的中误差）4、观测值函数中误差计算观测值的倍数函数、和差函数、线性函数的中误差计算如下表所列函数中误差计算式函数名称函数式的；士卜“二、举例例1 :对某段距离进行了六次等精度测量，观测值列于表(5-3),试求算术平均值及其中误差、相对误差和观测值中误差。表5-3距离测量成果计算表观测次数观测值L /mV /mmW1348.367+7492348.359113348.364+4164348.350101005348.366+6366348.354636x 二乜L 348 360V =oW =23862、3、4、“固

28、= 348 3601、算术平均值66.9mm± 2.8mm算术平均值的相对中误差K=1/124400解：其计算步骤为V 为一微小数值，也应视为计算无误。)4个角的中误差为多少?1.计算算术平均值工二国:34&3606(2)计算观测值改正数 X片二4一(i=i、2«) 本例计算V=0 ,说明检核通过。再计算各 Z之平方，得W=238(注：检核：计算V,看其是否为0。如果由于凑整误差使算得的(3)计算观测值中误差洲陛彦二±6夕 :'1.mm(4)计算算术平均值中误差,作 6.9那才二 ±± = i2.8，'；=mm(5)计算

29、算术平均值的相对中误差K_ 1 _ 1 _ 1" 工7也| ' 34836/0.0028 124400注：因本例为距离测量，所以需进行相对误差的计算，否则，该项计算免去。 例2:观测一四边形的三个内角，中误差分别士 4，±5，±6 ；则第 解：第4各角计算式可写为 x4 =360 x1 x2 x3_L 2 .J 2 2 上 ,122两牙二士J七】的* +总朋,+£那1f由线性函数中误差计算公式占 丫 1,（上海"%可得:m4H （ 42+ 52+62） 1/2= ±9当前位置：首页复习总结基本at算6一、基本计算导线内业计算包

30、括角度闭合差的计算和调整、方位角的推算、坐标增量闭合差的计算和调整及未知点的坐标计算。1、角度闭合差的计算和调整1）角度闭合差计算：“迎与其已知值“若不等,其差值即称为角度闭合差4。a）附合导线：CD的方位角推算值北 iD 图6-1法合导就4=唯一能=缗（屯应）土次© （6-3）b）闭合导线闭合导线角度闭合差为所有内角观测值之和与闭合椁边形内角和理论值（也- 乂18°之差，即立=9.（"2）x18。，（6-8）2）角度闭合差的调整如果小于限差，说明观测成果符合要求，但是需要调整。即将角度闭合差按相反符号平均分配于各角（其分配值即称原角度观测值之改正数）o注：分配值

31、一般取整至秒，并使其总和与角度闭合差二者绝对值相等。3）根据改正后的角值，重新计算各边的坐标方位角。根据改正后的角值，重新计算各边的坐标方位角。、最后算得的和已知值Gca应完全相等，可作为检核。% =4 + 思土 180,-士1附注：上二式右端，若前两项计算结果伪，前面用号，否则1附前面用号。2、坐标增量闭合差的计算合调整1）坐标闭合差计算和横坐标增量闭合差坐标增量闭合差是末端已知点坐标的计算值如、先和已知值 加、先之差（分别称为纵坐标增量闭合差卜：a）附合导线M-1力二克一二工人再一（而一触）（6-4a）»-1，广 =£心厂 8cy2）；1（6-4b）b）闭合导线闭合导线

32、的起、终点为同一点，故将公式（6-4）式右端之第2项均改为0,即为闭合导线坐标增量闭合差。2）闭合差调整a）根据 工、力计算导线全长闭合差 /和全长相对闭合差 K:一 'I：（6-5）IZI . 1,空力/（6-6）如果小于限差，说明观测成果符合要求，但亦需要调整。b）将纵、横坐标增量闭合差X、4 反号，按与边长成比例分配于各边的坐标增量中其分配值（即原纵、横坐标增量值之改正数）4、9按下式计算:v '=r式中，4为第i条边边长。注：纵、横坐标增量改正数之的总和应分别等于纵、横坐标增量闭合差，而符号相反，用于检核。3）计算待定导线点坐标坐标增量闭合差调整后，根据起始点的已知坐标

33、和经改正后的坐标增量计算各待定导线点的坐标。注：最后算得的末端点x、y坐标应和其已知值完全相符合，再次检核。二、举例例i已知四边形闭合导线内角的观测值见下表，试进行角度闭合差计算和调整，并推算出各边的坐标方位角点号观测值（右角）（）改正数（）改正后角值（）坐标方位角（）1112 15 23123 10 21267 14 12354 15 204126 15 25工f 3 =J就二士 60f = ±解：1）计算角度闭合差E B i=360 ° 00' 20方=? _（1）x18（7=20（；M 一 . 120f B < f B允，精度符合要求。2）调整角度闭合差

34、将角度闭合差按相反符号平均分配于各角：20 /4 = 5。计算改正后角值各内角值Bi' = B i + （ 5）3）推算各边方位角因角度观测值为右角，故应用公式 % = % 熊土 1301推算各边方位角。计算时应注意公式右端，若前两项计算结果<180°, 1附前面用“+”号，否则1附前面用”号。已知 a 12=100° 00' 00故 a 23= a 12 +2' =100° 00'00 67° 14' 07 +180° =212° 45' 53a 34 = a 23 +3'

35、; =212° 45' 53 -5415' 15 +180° =158° 30' 38a 41 = a 34 +4' =158° 30'38 126° 15' 20 +180° =212°15' 18a 12= a 41 +1' =212° 1518 112° 15' 18 +180° =100° 00' 00a 12推算结果与已知值a 12=100。00' 00相同，说明计算无误。如下所示，计算成果填入表中点号观测值（右角）3 i改正数坐标方位角('")（）('")1112 15 23-5112 15 18100 00 00267 14 12-567 14 07212 45 53354 15 20-554 15 15338 30 384126 15 25-5126 15 2032 15 18工360 00 20-20360 00 0010