2018年高考数学理科试卷(全国II卷,附答案)

1、12B-SX-00000022018年普通高等学校招生全国统一考试全国II卷理科数学(全卷共10页)6.在4ABC中,A . 4短、选择题:项中，1 2i2.1 2i4.5.C 5cos =25B.、须BC=1 , AC =5 ,则 AB =本题共12小题，每小题5分，共60分。 只有一项是符合题目要求的。在每个小题给出的四个选7.为计算S=1-应填入99 100设计了右侧的程序框图， 则在空白框中3.i54B- -5+ 3i C, -3 552+ y2<3, x亡ZD.5寸B.C.D.已知集合)3.已知向量a,b 满足 | a |=1 , a b = -1 ,则 a (2 a -b)=

2、A =(x , y )x2yw Z,则A中元素的个数为A. 4B. 3C. 2D. 08.9.2当=1(a A0,b >0)的离心率为 百，则其渐近线方程为 bA. y = ±<2xB. y = ±M3xC.y仔D. y=±戛2哥德巴赫我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.猜想是“每个大于 2的偶数可以表示为两个素数的和”超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于1 A121 B14C：530 =7 + 23 ,在不30的概率是1 D18在长方体 ABCD AB1GD中,所成角的余弦值为bT610.若A.AB = BC =1

3、 , AAi =石，则异面直线ADi与DB1D.f (x) = cosx sin x在-a, a是减函数,则a的最大值是,3兀C. 一4D.兀-1 -3 -12B-SX-000000217. (12 分)记S为等差数列an的前n项和，已知a=-7, S3=15.(1)求an的通项公式；(2)求Sn ,并求Sn的最小值.为立的直线上,6A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。11.已知f(x)是定义域为(q,收)的奇函数，满足f(1_x) =f(1+x).若f)支，则f(1) +f (2) +f (3) + f (50)=A. -50B. 0C, 2D. 502212 .

4、已知Fi, F2是椭圆C:之十七=1(a>b>0)的左，右焦点，A是C的左顶点， a b点P在过A且斜率PF1F2为等腰三角形，NFF2P =1201则C的离心率为-4 -4 -13 .曲线y=2ln(x4)在点(0, 0)处的切线方程为 x 2y。5一0 则z=x+y的最大值为14 .若x, y满足约束条件板-2y+至 卜-5 <0,15,已知 sin a +cos 3 W , cos & +sin 3=0,贝U sin( a+ 3) =.16.已知圆锥的顶点为 S,母线SA, SB所成角的余弦值为 7, SA与圆锥底面所8成角为45°,若4SAB的面积为

5、5布,则该圆锥的侧面积为 .三、解答题：共 70分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23题为选考题，考生根据要 求作答。(一) 必考题：共60分。12B-SX-000000219. (12 分)设抛物线C： y2 =4x的焦点为F ,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A , B两点，|AB| = 8.(1)求l的方程；(2)求过点A, B且与C的准线相切的圆的方程.18. (12 分)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额 y (单位：亿元)的折线图.为了预测该地区 2018年的环境基础设施投资额，

6、建立了 y与时间变量t的两个线 性回归模型.根据 2000年至2016年的数据(时间变量 t的值依次为1,2,，17) 建立模型：？ = T0.4+13.5t ；根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依 次为1,2,，7)建立模型： ？ = 99+17.5t.(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由.-5 -6 -12B-SX-000000221. (12 分)已知函数f (x) =ex - ax2 .(1)若a=i ,证明：当x之0时，(2)若f (x)在(0,-)只有一个零f(x)>1；，

7、求a .20. (12 分)如图，在三棱锥 P ABC 中，AB=BC=2J2, PA = PB =PC = AC =4 ,。为 AC 的中点.证明：PO _L平面ABC ；(2)若点M在BC上，且二面角M PA C为30 口，求PC与平面PAM所成角的 正弦值.-7 -8 -12B-SX-0000002(二)选考题：共10分。请考生在第 22、 按所做的第一题计分.22.选彳4-4:坐标系与参数方程(10分)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为23题中任选一题作答，如果多做，则,x =2cos 0,：y=4sin。为参数)，直线1的23.选彳4-5:不等式选讲(10分) 设函数 f (x

8、) = 5|x + a |-|x-2 |.(1)当a=1时，求不等式f(x)至。的解集;(2)若f(x) W1 ,求a的取值范围.-9 -11 -x =1 tcos参数方程为y=2 tsin(X,(t为参数).(1)求C和l的直角坐标方程;(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.12B-SX-00000024. B5, A6. A10. A1LC12. D15. -16. 40V2k2由题运得3q+3d= 15.参考答案：一、选择题1.D2. A3.B7. B8, C9 C二，填空题13, y = 2x 14. 9不解污题17. UE 分）解：）电棺户的公差为出由。1

9、=-7阳声2.所以口/的通项公式为/ =2-9.（2）由1！）得£= 5-4）2-16.所以当中4时1 S"取得最小他最小值为一出18. （12 分）解：（1）利用模型，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为9= 70.4 +35乂】9 = 226.1 （亿元）.利用模型,该胆区2018年的环境基础设施投资额的预测值为7 = 99 + 17.5x9 = 256,5 （亿元）.C2）利用模型得到的预测值更可靠.理由如Er（1）从折线图可以着出.20g年至316年的数据对应的点没讨随机散布农立线尸=-304+133上 .F.这说明利用2000年至2。16年的数据住立的线

10、性模型不能很好地描述环境坨砂设施投资狱的变化 趋野201。年相对2009年的环境玷础电施投资额有明显增加.2D10年至2016年的数据对应的点位于 一条直线的附近，这说叨从2010年:开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性蝌长趋势，利用2010年 至卯16年的数据建立的或性校邕夕= 99 +17.5,可限较好地描述2010昨觊后的环境基M闻施投贫额的 变化趋势.因此利用模型得到的预测值更诃彝.Cii）从计算结果看,相对于ZM6年的环境基础设施投资翻建。亿元，山模型得到的预测值汽机I亿 元的增幅明显偏低.而利用模型得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型得到的惊测低更" -ULfa.血

11、以上给出了 2料理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.除（12分）解:（1）由题意得/。,0）, /的方程为y = A（11）依>0）.设由如乂 ）1（孙乃），fy工仪工一 1,7由itV-（2jt2+4）r+=0.j产=41A = 162 + 16> 0 , rtJiX + a, =,kA/, +4所以| 月月 |二| + J|=（ +1） + （x, +1）=.,k4/r +4由题设知上l = 8,解得左=一1 （舍去），k = . k-因此/的方程为-12 -12 -12B-SX-0000002(2)由。)得然的中点限标为(3,2),所以的垂直平分线方程为y-2=

12、-(累-3), 即 y=t+5.设所求圆的留心坐标为(布,为)，则F产一罚+ 5,( v _ t f v _ 11，1 (y ,X +1产 解得"一；或；(/ + 】 ="。+J6.外=2 y = -6.%4因此所求阿的方程为(# 3尸+ (y 2> = 16或(m 11)十y+6y = 144 .20- (12 分)解：(1)因为RP = CP = XC = 4r。为KC的中点，所以OP_L/4C,旦。尸=2g,连结。丹.因为48=SC =巫NC,所以"3匚为等腰直珀二角，饬2AOBLAC. 0£f = ljC = 2.2山。尸'+。8,

13、 = 知尸由 OPLOB,OP±AC 如PO _L平面 ABC.ULU(2)如图,以。为坐标原点，。方的方向为H轴正方向，建立空间直角坐标系U-町匚L L&U由已知得 0(0,0,0)s BQ, 0,0),掰 Q-2,0)C(0,2,0),汽 0,0. 2例 APUU1向显口(2,0,0).mu设 (G 2 一0)(0 < o 百 2),则 /A4 = S，4 一%0).设平面PAXf的法向H为及=(.% y,二).由/$ = 0得2户八行二=0 t可取”=(Mg-4),氐,-0,ox+(4-a)>' = Q所以cos(浅,4=2启1)，由已知得g&quo

14、t;潴.小=更,、/ 2,39 - 4十3/十、/2所以r 2 :二；一一坦,懈得=.(舍去3 a = .2，3(0+3/+' 23所以”(生旦述又隈=(o,2,aJ5),所以侬(跄,=亘. 333，,4所以户。，平面HA/所成用的正弦值为g、 42L (12 分)【解析】(1)当门=1时, /住”1等价丁 (丁+1把-"-I W0 .设函数以工)=(x- + l)c_J-l T 则景(幻=-(- -2jt +1k一# 二 一8-1)%一 .当#时，gV) < 0 f所以武戈)住(0,”)单调递减.而g(0) = 0,故当王之。时.g(x)< 0 f即幻-13 -

15、14 -12B-SX-0000002 设函数J®) = I-儆%/(，)任(0,2)只有一个零点当且仅当处外在(0, +00)只有一个零点.当口 £0时，人住)>0,力值)没有零点:打当7>0时，/f(x) = or(x2)e_jr *当*«&2)时* hx) < 0 :当无 e (2,+时，和8Ao.所以肌力在(0,2)小调递流,在Q,十皿)堂调递增.故M2) = 1 也是网幻在曲十对的收小值. e*2若网2)>0,即灯七三，川幻在,十s)没有零点'42若可2) = 0，即口=三，凯用在3,y)只有一个零点；42若M2)(

16、机,由于A(0j = L所以Mx)件：(。,2)行一个零点， 4由(1)如，当工>0时.(/>/.所以力(40)=I - 口 1 一1-当=1-L>0. c (c- )-(2 口) a故他.外在(2,4。)有一个零点，因此网x)在(0,)有两个零点.1织上，/(工)在(0,y)只有一个零点时，门二三.4四，选修4-4:坐标系与参数方程门口分)【解析】m 曲线。的直有坐标方程为二+工=. 4 16当cqsct = 0时，/的直角坐标方程为7 =口口次工-2-Inns ,当CM£T = 0时，/的宜用坐标方程为1=1.(2)将/的参数方程代入C的直用坐标月程,整理得关于F的方程(1 + 3cos2a)t +4(2coxa + sintr)/8 = 0 .因为血缆C我11线，所得鳗段的中点OC)在匚内.所以TJ两个解,设为人12,则人4=。，上左，口4(2cos« + sin£r) 1X _ 八又由得4 + =；，故2cosct