中值定理与导数的应用

1、一、渐近线一、渐近线定义定义: :.)(,)(一条渐近线一条渐近线的的就称为曲线就称为曲线那么直线那么直线趋向于零趋向于零的距离的距离到某定直线到某定直线如果点如果点移向无穷点时移向无穷点时沿着曲线沿着曲线上的一动点上的一动点当曲线当曲线xfyLLPPxfy 1.1.铅直渐近线铅直渐近线)(轴轴的的渐渐近近线线垂垂直直于于 x.)()(lim)(lim000的一条铅直渐近线的一条铅直渐近线就是就是那么那么或或如果如果xfyxxxfxfxxxx 第八节 函数图形的描绘例如例如,)3)(2(1 xxy有铅直渐近线两条有铅直渐近线两条: :. 3, 2 xx2.2.水平渐近线水平渐近线)(轴轴的的渐

2、渐近近线线平平行行于于 x.)()()(lim)(lim的一条水平渐近线的一条水平渐近线就是就是那么那么为常数为常数或或如果如果xfybybbxfbxfxx 例如例如,arctan xy 有水平渐近线两条有水平渐近线两条: :.2,2 yy二、图形描绘的步骤二、图形描绘的步骤利用函数特性描绘函数图形利用函数特性描绘函数图形.第一步第一步第二步第二步 确定函数确定函数)(xfy 的定义域的定义域,对函数进行奇对函数进行奇偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论,求出函数的一阶导数求出函数的一阶导数)(xf和二阶导数和二阶导数)(xf; 求求出出方方程程

3、0)( xf和和0)( xf 在在函函数数定定义义域域内内的的全全部部实实根根，用用这这些些根根同同函函数数的的间间断断点点或或导导数数不不存存在在的的点点把把函函数数的的定定义义域域划划分分成成几几个个部部分分区区间间.第三步第三步 确定在这些部分区间内确定在这些部分区间内)(xf和和)(xf的符的符号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹凸与拐点凸与拐点（可列表进行讨论） ；可列表进行讨论） ；第四步第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线以及其他变化趋势渐近线以及其他变化趋势;第五步第五步 描描出出与与

4、方方程程0)( xf和和0)( xf的的根根对对应应的的曲曲线线上上的的点点，有有时时还还需需要要补补充充一一些些点点，再再综综合合前前四四步步讨讨论论的的结结果果画画出出函函数数的的图图形形.三、作图举例三、作图举例例例2 2.2)1(4)(2的图形的图形作函数作函数 xxxf解解, 0: xD非奇非偶函数非奇非偶函数,且无对称性且无对称性.,)2(4)(3xxxf .)3(8)(4xxxf , 0)( xf令令, 2 x得驻点得驻点, 0)( xf令令. 3 x得得特特殊殊点点2)1(4lim)(lim2 xxxfxx, 2 ; 2 y得水平渐近线得水平渐近线2)1(4lim)(lim20

5、0 xxxfxx, . 0 x得得铅铅直直渐渐近近线线列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点凹凸区间及极值点和拐点:x)3,( ), 0( )2, 3( 3 )0 , 2( )(xf )(xf 00)(xf 2 0 不存在不存在拐点拐点极值点极值点间间断断点点3 )926, 3( :补补充充点点);0 , 31(),0 , 31( ),2, 1( A),6 , 1(B).1 , 2(C作图作图xyo2 3 2111 2 3 6ABC2)1(4)(2 xxxf例例3 3.21)(22的图形的图形作函数作函数xex 解解),(:D偶函数偶函数, 图形关于图形关于y轴对称轴

6、对称.,2)(22xexx , 0)( x令令, 0 x得驻点得驻点, 0)( x令令. 1, 1 xx得得特特殊殊点点. 4 . 021)(0: xW.2)1)(1()(22xexxx 2221lim)(limxxxex , 0 . 0 y得水平渐近线得水平渐近线x)1,( ), 1( )0 , 1( 1 )1 , 0()(x )(x 00)(x 01 拐点拐点极大值极大值 21)21, 1(e 列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点凹凸区间及极值点与拐点:0拐点拐点)21, 1(e xyo11 212221)(xex 例例4 4.1)(23的图形的图形作函数作函数 xxxxf解解),(:D无奇偶性及周期性无奇偶性及周期性.),1)(13()( xxxf).13(2)( xxf, 0)( xf令令. 1,31 xx得驻点得驻点, 0)( xf令令.31 x得特殊点得特殊点:补补充充点点),0 , 1( A),1 , 0(B).85,23(C列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间, 凹凸区间及极值点与拐点凹凸区间及极值点与拐点:x)31,( ), 1( )31,31( 3