相交线和平行线典型例题及拔高训练

1、4.2 相交线和平行线典型例题及强化训练课标要求 了解对顶角，知道对项角相等。 了解垂线、垂线段等概念，了解垂线段最短的性质，体会点到直线距离的意义。 知道过一点有且仅有一条直线垂直干已知直线，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线。 知道两直线平行同位角相等，进一步探索平行线的性质 知道过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线，会用角尺和直尺过已知直线外一点画这条 直线的平行线。 体会两条平行线之间距离的意义，会度量两条平行线之间的距离。 典型例题1. 判定与性质例1判断题：1）不相交的两条直线叫做平行线。（）2）过一点有且只有一条直线与已知直线平行。（）3）两直线平行，同旁内角相等。（

2、）4）两条直线被第三条直线所截，同位角相等。（）答案：（1）错，应为“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”。（2）错，应为“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”。（3）错，应为“两直线平行，同旁内角互补”。（4）错，应为“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”。例2已知：如图， AB/ CD求证：/ B+Z D=Z BED分析：可以考虑把/ BED变成两个角的和。如图5，过E点引 一条直线EF/ AB,则有Z B=Z 1，再设法证明Z D=Z 2,需证EF/ CD 这可通过已知 AB/ CD和EF/ AB得至鷹 证明：过点E作EF/ AB,则Z B=Z 1 （两直线平行，内错

3、角 相等）。/ AB/ CD（已知），又 EF/ AB （已作）， EF/ CD （平行于同一直线的两条直线互相平行）。Z D=Z 2 （两直线平行，内错角相等）。又TZ BED玄 1+Z 2, Z BED玄B+Z D (等量代换)。变式 1 已知：如图 6, AB/ CD 求证：Z BED=360 - (Z B+Z D)。分析：此题与例1的区别在于E点的位置及结论。我们通常所说的Z BED都是指E1小于平角的角，如果把ZBED看成是大于平角的角，可以认为此题的结论与例结论是一致的。因此，我们模仿例1作辅助线，不难解决此题。证明：过点E作EF/ AB,则Z B+Z 1=180° （两

4、直线平行，同旁内角互补）。 / AB/ CD（已知），又 EF/ AB （已作）， EF/ CD （平行于同一直线的两条直线互相平行）。Z D+Z 2=180° （两直线平行，同旁内角互补）。 Z B+Z 1 + Z D+Z 2=180° +180°（等式的性质）。又TZ BED玄 1+Z 2, Z B+Z D+Z BED=360 （等量代换）。 Z BED=360 - （Z B+Z D）（等式的性质）。变式2已知：如图7, AB/ CD求证：Z BED=/ D- Z B。分析：此题与例1的区别在于E点的位置不同，从而结论也不同。模仿例 1与变式1作辅助线的方法，

5、可以解决此题。证明：过点E乍EF/ AB,则/ FEB=Z B （两直线平行，内错角相等）。/ AB/ CD（已知），又 EF/ AB （已作）， EF/ CD （平行于同一直线的两条直线互相平行）。/ FED=Z D （两直线平行，内错角相等）。/ BED玄 FED-/ FEB/ BED玄D-/ B （等量代换）。变式3已知：如图8, AB/ CD求证：/ BED=/ B- / D。分析：此题与变式2类似，只是/ B、/ D的大小发生了变化。证明：过点E作EF/ AB,则/ 1 + / B=180° （两直线平行，同旁内角互补）。/ AB/ CD（已知）， 又 EF/ AB （已作

6、）， EF/ CD （平行于同一直线的两条直线互相平行）。 / FED+Z D=180°（两直线平行，同旁内角互补）。 / 1 + / 2+/ D=180°o / 1 + / 2+/ D- （/ 1+/ B） =180° -180 ° （等式的性质）。 / 2=/ B- / D （等式的性质）。即/ BED玄 B- / Do例3 已知：如图 9, AB/ CD / ABF=/ DCE 求证：/ BFE=/ FEC 证法一：过F点作FG/ AB，则/ ABF=/ 1 （两直线平行，内错角相等）。过E点作EH/ CD，则/ DCE/ 4 （两直线平行，内错角

7、相等）。 FG/ AB（已作），AB/ CD（已知）， FG/ CD （平行于同一直线的两条直线互相平行）。又 EH/ CD （已知）， FG/ EH （平行于同一直线的两条直线互相平行）。 / 2=/3 （两直线平行，内错角相等）。 / 1 + / 2=/3+/ 4 （等式的性质）即/ BFE=/ FEC证法二：如图10,延长BF、DC相交于G点。/ AB/ CD（已知）， /仁/ABF（两直线平行，内错角相等）。又/ ABF=/ DCE（已知）， / 1 = / DCE（等量代换）。 BG/ EC （同位角相等，两直线平行）。 / BFE=/ FEC（两直线平行，内错角相等）。如果延长CE

8、、AB相交于H点（如图11）,也可用同样的方法证明 程略）。证法三：（如图12）连结BCH/ AB/ CD（已知），/ ABC/ BCD（两直线平行，内错角相等）。又/ ABF=/ DCE（已知）， / ABC-/ ABF =/ BCD-/ DCE（等式的性质）。 即/ FBC=/ BCE BF/ EC （内错角相等，两直线平行）。/ BFE=/ FEC（两直线平行，内错角相等）。强化训练一.填空1. 完成下列推理过程 / 3= Z 4 （已知），_ /（ ） / 5= / DAB（已知）， /( )/ CDA +=180°(已知)， AD/ BC (2. 如图，已知DE/ BC,B

9、D是/ ABC勺平分线，/ EDC= 109°,/ABC= 50° 则/ A度，/ BDC=度。3. 女口图，AB/ CD,BE,CE分另U平分/ ABC / BCD,则/ AEB+Z CED=。4. 将点P（-3 , y）向下平移3个单位，向左平移 2个单位后得到点 Q（x, -1），则 xy= 。5、已知：如图，直线 AB和CD相交于O, O呼分Z BOC且Z AOC=68，则 Z BOE=二.选择题1. 在海上，灯塔位于一艘船的北偏东40度方向，那么这艘船位于这个灯塔的（）A南偏西50度方向；B南偏西40度方向；C北偏东50度方向;D北偏东40度方向2、如图,AB /

10、 EF/ DC, EG/ BD,则图中与Z 1相等的角共有（）个A 6个 B .5 个 C .4 个 D.2 个3、 同一平面内的四条直线若满足a丄b,b丄c,c丄d,则下列式子成立的是）A、 a / d B、b 丄 d C 、a 丄 d D 、b / c4、如图，Z 1和Z 2互补，Z 3=130° ,那么Z 4的度数是（）A. 50 °B. 60°C.70°D.80°匕AB/ CD 且Z ABC=20 , Z CFE=30 ,5.已知：则Z BCF的度数是（）FEBC两直线平行，内错角相等;D 、两直线平行，同旁内角相等。a bA. 160

11、 °B.150°C.706（2003南 通 市）判断题已知，如图，下列条件中不能判断直线I1/I2的是（A）Z 1 = Z 3（ B）Z 2=Z 3（C）Z 4=Z 5（ D Z 2+Z 4 = 180 °7. （北京市海淀区2003年）.如图，直线c与直线a、b相交，且a/b，则下列 结论：（1）1-/2 ; （2） 1-/3; （3） 3=/2中正确的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 38. （2004年浙江省富阳市）下列命题正确的是（）A、两直线与第三条直线相交，同位角相等；B、两线与第三线相交，内错角相9. （2003年安徽省）如图，AB/ CD A

12、C丄BC,图中与/ CAE互余的角有（）A.1个 B.2 个 C.3 个 D.4 个策9题图10. （ 日照市2004年）如图，已知直线 AB/ CD当点E直线AB与间时，有/ BED=Z ABE+Z CDE成 立；而当点E在直线AB与 C龙外时，下列关系式成立的是（）三.解下列各题：1. 如图，已知 OA!OC OBLOD Z 3=26°,求Z 1、2、已知 AD/ BC, Z A= Z C,求证：AB/ CD2的度数。AZ BED=zI ABE+zI CDE或Z BED=z【ABE-zI CDE;BZ BED=zI ABE-zI CDECZ BED=zI CDE-zI ABE或Z

13、 BED=z【ABE-zI CDE;DZ BED=zI CDE-zI ABE3. 如图,AB / CD,求Z BAE+Z AEF+Z EFC+Z FCD勺度数.4. 已知，如图 ACL BC,HF丄 AB,CD丄 AB, Z ED（与Z CHF互补,求证：DEI AC.EC第5题第6题5. 如图，已知 AB/ ED, Z ABC=135 , Z BCD=80，求Z CD的度数。6. 已知：如图， ADL BC于D, EGLBC于G, AE =AF.求证：AD平分Z BAC四、如图A、B是两块麦地，P是一个水库，A B之间有一条水渠，现在要将水库中的水引到A B两地浇灌小麦，你认为怎样修水渠省时

14、省料经济合算？请说出你的设计方案，并说明理由。 AE =AF相交线与平行线2. 1 略；121°, 84° 3. 90 ° ; 4.-10 ; 5。56°题号12345678910答案BBAADBDCBC三.1.解：T OAL OC OBL OD/ 1 + Z 2 =90。，/ 3+/ 2 =90/ 仁/ 3=26°/ 2=64°2证明：T AD/ BC,/ A+/ B=180°/ / A= / C,/ C+/ B=180° AB/ CD.2. 解：连结AC./ AB/ DC/ CAB+Z ACD=180/ CAE+Z ACF+Z E+Z F =360 °/ CAB+Z ACD=180 Z BAE+Z AEF+Z EFCZ FCD=5404. 证明：T HF丄 AB, ABL CD CD/ HF, Z CHF+Z HCD=180