线性代数各章要点整理

1、第一章行列式主要知识点一、行列式的定义和性质1. 余子式】:和代数余子式的定义2. 行列式按一行或一列展开的公式远口忍丿二1,2,审）>4k #2）-13。行列式的性质2）用数k乘行列式的某一行（列）所得新行列式=原行列式的 k倍.推论3） 互换行列式的任意两行（列）所得新行列式等于原行列式的相反数.推论4） 如果行列式中两行（列）对应元素成比例，则行列式值为0。5）行列式可以按任一行（列 ）拆开.6）行列式的某一行（列）的k倍加到另一行（列）上，所得新行列式与原行列式的值相等二、行列式的计算1。二阶行列式和三角形行列式的计算。2。 对一般数字行列式，禾U用行列式的性质将其降阶以化成二阶

2、行列式或三角形（或对角形）行列式的计算.3。对行列式中有一行或一列中只有一个或两个非零元的情况，用这一行或一列展开。4。行列式中各行元素之和为一个常数的类型。5。范德蒙行列式的计算公式第二章矩阵主要知识点一、矩阵的概念1. 要分清矩阵与行列式的区别2. 几种特殊矩阵（0矩阵，单位阵，三角阵，对角阵，数量阵）二、矩阵的运算1。矩阵A , B的加、减、乘有意义的充分必要条件2。矩阵运算的性质比较矩阵运算（包括加、减、数乘、乘法等）的性质与数的运算性质的相同点和不同点（加法、乘法的交换律和结合律；乘法关于加法的分配律）重点是矩阵乘法没有交换律（由此产生了矩阵运算公式与数的运算的公式的不同点）A

3、77;sy =才十卫£ + £4+肓A8 t（A±E）2 = J±2AS3。转置对称阵和反对称阵1）转置的性质A±B）r At±（AAf = JI才;= BrAT2）若A t=A （ At= A ）,则称A为对称（反对称）阵4。逆矩阵4i Ai Ai坨川4用2）方阵A的伴随阵.叮的定义。重要公式=与a 1的关系（当方阵A可逆时，才二MM 1）3） 重要结论：若 n阶方阵A,B满足AB=E贝U A B都可逆，且A-1=B，b"=A。4）逆矩阵的性质：（屮卢=4（aa）-1=含；（曲尸二矿汐.（左尸=（丹.f I= a5）消去律

4、：设方阵 A可逆，且 AB=AC（ BA=CA，则必有 B=Q （若不知 A可逆, 仅知AM0结论不一定成立。）5. 方阵的行列式4二（4 |初|二护|州S可二国同,6。分快矩阵矩阵运算时分快的原则；分快矩阵的运算规则；分快矩阵的转置Ai血AjtT血血 Ak4a 4 兀_Asi Ats -As*_三、矩阵的初等变换和初等矩阵1。初等变换的定义和性质方阵经初等变换后的行列式是否变化？（分别就三种初等变换说明行列式变化的情况）初等变换不改变方阵的可逆性 ；初等变换不改变矩阵的秩；行初等变换必能将矩阵化为行最简形，初等变换必能将 Er 0矩阵A化为标准形L °°，其中r为矩阵A的

5、秩。2. 初等矩阵的定义和性质1）初等矩阵的定义2）初等变换和矩阵乘法之间的关系F F PQ 0 0r3） 对任意mxn阶矩阵A,总存在一系列 m阶初等阵' 和一系列n阶初等阵川一使得四、矩阵的k阶子式和矩阵秩的概念，求矩阵秩的方法五、矩阵方程的标准形及解的公式AX 二 gx 二血.屮；T匕=归=> 器=盘】艮第三章向量空间本文为互联网收集，请勿用作商业用途主要知识点一、n维向量线性运算的定义和性质；设'人是一组n维向量构成的向量组。如果存在一组不全为零的数使得1 ，L- 则称向量组 儿-八线性相关。否则，称向量组；，.-：；：线性无关。二、n维向量组的线性相关性1. 向

6、量组的线性相关性的定义和关于线性相关的几个定理；(1) m个n维向量 a 匚 线性相关的充分必要条件是至少存在某个是其余向量的线性组合。'-、；' 1 - '线性无关的充分必要条件是其中任意一个向量都不能表示为其余向量的线性组合。(2) 如果向量组 儿4 线性无关,而* * 线性相关，则 3可由= 线性表示,且表 示法唯一.(3) 线性相关的向量组再增加向量所得的新向量组必线性相关。(部分相关，则整体相关；或整体无关，则部分 无关)(4) 若向量组、一：线性无关，则接长向量组A (吐1毎*塢(B+1)z*耕必线性无关2。判断向量组的线性相关性的方法(1) 一个向量a线性

7、相关就'；(2) 含有零向量的向量组必线性相关；(3) 向量个数=向量维数时，n维向量组''线性相关O凶二也碍化|二0.(4) 向量个数向量维数时，向量组必线性相关；(5) 若向量组的一个部分组线性相关，则向量组必线性相关；(6) 若向量组线性无关，则其接长向量组必线性无关；(7) 向量组线性无关向量组的秩=所含向量的个数，向量组线性相关 向量组的秩 <所含向量的个数；(8) 向量组|线性相关(无关)的充分必要条件是齐次方程组再碍斗西喝+十兀禺! =0有(没有)非零解三、向量组的极大无关组及秩1。极大无关组的定义2. 向量组的秩 求向量组的秩和极大无关组，并将其余

8、向量由该极大无关组线性表示的的方法四、子空间的定义，基、维数、向量在一组基下的坐标第四章线性方程组 文档为个人收集整理，来源于网络、线性方程组的三种表示方法”皈1两十如可H %耳-耳工.1 刁弧 K%£ =»,*茸中A =函衍fX =5 -%： _瓦_flll%L%】（3）可隅+壬丐 = b二、齐次线性方程组1。齐次方程组解的性质设a , 3都是Ax= 0的解，则C a + C2 3也是Ax= 0的解（C, C2为任意常数）2。齐次方程组有非零解的条件1） 齐次方程组 AX= 0有非零解的充分必要条件是r（A ） v未知数的个数（即矩阵A的列数）.2） n个未知数n个方程的

9、齐次方程组 AX= 0有非零解的充分必要条件是|AI= 0。要）3）设A是mxn阶矩阵。若m< n,则齐次方程组 AX= 0必有非零解。（这是齐次方程组有非零解的充分条件但不必3。齐次方程组解的结构1）齐次方程组 AX= 0的基础解系的概念重要结论：齐次方程组AX= 0的任意n-r（A）个线性无关的解都构成该齐次方程组的基础解系；2）齐次方程组AX= 0的基础解系的求法3）齐次方程组AX= 0的通解公式三、非齐次方程组1. 非齐次方程组解的性质（1） 设n 1, n 2都是Ax= b的解，则n 1n 2是它的导出组 Ax= 0的解.（2）设n 1，n 2都是Ax= b的解,则当k1 +

10、k2= 1时，k1 n 1 + k2 n 2也是Ax= b的解。（3）设n是Ax= b的一个解 二是它的导出组 Ax= 0的解，则I 是Ax= b的解。2。关于非齐次方程组解的讨论定理:n个未知数，m个方程的线性方程组 AX=3中,（系数矩阵A是mXn阶矩阵）讨是增广矩阵。1） 当且仅当：'：上；-！；（未知数的个数）时，方程组AX=3有惟一解；Hr2）当且仅当 沁綁沌松心牛未知数的个数）时，方程组 AX=3有无穷多解；3）当且仅当沌纱“城确时,方程组AX=3无解.从以上定理可见1）线性方程组 AX3有解的充分必要条件是；- J .2） 当线性方程组 AX3方程的个数=未知数的个数时，

11、该方程组有惟一解的充分必要条件是系数行列式|A|m 0。3. 非齐次方程组AX3的通解的结构其中是方程AX3的一个特解，r = r （A）为系数矩阵的秩, S二二"为它的导出组（与它对应的）齐次 方程组AX 0的基础解系；第五章 特征值与特征向量 文档为个人收集整理，来源于网络主要知识点一、特征值与特征向量1。特征值与特征向量的定义要点：入是n阶方阵A的特征值，是指存在非零向量 a,使得Aa da这时，称a为矩阵A属于特征值入的 特征向量由此知，入是n阶方阵A的特征值一=】= ' ,这时，齐次方程组（入E -A） X=0的非零解都是矩阵 A属 于特征值入的特征向量2。关于特征

12、值、特征向量的性质1）A与A有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量；2）设a !，a 2都是矩阵A属于特征值 入的特征向量，k?是数，只要二一 则ba什k? a 2也是矩阵A 属于特征值入的特征向量；3） 设n阶方阵A的n个特征值为 入1,入2,入n，贝U（1込士右一+厶=也1 =如+&口"”+%4） 矩阵A属于不同特征值的特征向量线性无关；5）设a是矩阵A属于特征值 入的特征向量，贝U a是矩阵f （A）属于特征值f （入）的特征向量，其中fg =>fl异4r转16）设入是可逆矩阵A的特征值.则入工0,且是矩阵A的特征值。3。特征值、特征向量的求法、相似矩阵1。相似

13、矩阵的定义2. 相似矩阵的性质1）反身性，对称性，传递性；2）若方阵A与B相似，则 同=同，且知=旳=人亠心+ *trA表示矩阵A的迹，即W入1，入2,，入n为方阵A的n个特征值;3）若方阵A与B相似，则A与B有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量;注意：反之，若A与B有相同的特征值,A与B不一定相似；例如有相同的特征值，但B不相似。3. 方阵A的对角化问题1） n阶方阵A能与对角阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量；设 入1,入2,入n是方阵A的n个特征值，Pl,P2,，Pn依次是方阵A的属于特征值 入1,入2,入n的n个线性无关的特征向量。若令 X 门

14、 -；亠,则A0 - 0PAP=0- 0_00逼2）若方阵A有n个不同的特征值（即特征方程无重根 ），则A必能与对角阵相似（这是A能与对角阵相似的充分 条件,不是必要条件）三、向量的内积和正交矩阵1.向量内积的定义丄弘切=砂毎+础毎十+碍久2.向量的长度 岡=辰亦=佃+诊4十:a3。单位化向量II' I4. 正交向量组的定义及其性质5. 施密特正交化手续6. 正交矩阵1）正交矩阵的定义；如果n阶方阵A满足AA= E,则称它为正交阵2） 正交矩阵的性质：设方阵A为正交阵，则| A| = ± 1; A必可逆,且A-1 = At;如果A, B都是n阶正交阵，则AB也是正交阵；A是正

15、交阵的充分必要条件是 A的列（行）向量组构成 R1的标准正 交基。四. 实对称矩阵1. 实对称矩阵的特征值都是实数；2. 实对称矩阵属于不同特征值的特征向量相互正交；3. 实对称矩阵必能与对角阵相似，且存在正交阵P,使得P-1AP为对角形.4. 任给实对称阵A,如何求出正交阵 P,使得P1AP为对角形.文档为个人收集整理，来源于网络 第六章实二次型、二次型及其矩阵表示、矩阵的合同三、用正交变换化二次型为标准形1）定理 对任意实二次型 岚赵阿曰心岳_点氐,，总存在正交变换 x=Py,使得该二次型化为标准型其中入1,入2,，入n为实对称矩阵A的n个特征值。A,总存在正交阵P,使得-0几尸二V W0 0-L此定理说明：对任意实对称矩阵入2,，入n其中入i,为实对称矩阵A的n个特征值.（即实对称矩阵 A必能与对角阵合同.2）要掌握用正交变换化二次型为标准形的方法。4. 配方法化二次型为标准形。5. 惯性定律6. 正定二次型与正定矩阵1）定义2）二次型正定（方阵正定）的充分必要条件池加临丁飞气二疋