第七章__线性变换

1、第七章线性变换习题1.判别下面所定义的变换，哪些是线性的哪些不是。在线性空间V中,A=,其中 是属于 的一固定向量；1).V解：否；存在 kP, 使得A (k )kkA ( )k() k于是当k时，A (k)kA ().0在线性空间中，A =，其中 是属于 的一固定向量；2).VV解：否；对于任意，V,有A (),而AA变换不是线性的，当时是线性的。0在3中，22);3). PA ( x1, x2 , x3 ) ( x1 , x2x3, x3解：否；存在 kP, 使得A (k (x1, x2 , x3)A (kx1 , kx2 , kx3 ) (k 2x12 , kx2而 kA (x1, x2

2、 , x3 )k (x12 , x2x3 , x32 )(kx12 , kx2 kx3 , kx32 ).在3中，A ( x1, x2 , x3 ) (2 x1x2 , x2x3 , x1).4). P解：是；i.A (k( x1 , x2 , x3 )(2kx1kx2 , kx2kx3, kx1)k (2x1x2 , x2ii .A ( x1 , x2 , x3 ) (a1, a2 , a3 ) A ( x1a1 , x2a2 , x3a3 )k ,，于是当0时，所定义kx3 , k 2 x32 )x3, x1 )kA ( x1 , x2 , x3 );(2( x1a1 )( x2 a2 )

3、, x2 a2x3a3 , x1 a1 )(2 x1x2, x2x3 , x1 ) (2a1a2 , a2a3 , a1)A ( x1, x2 , x3 )在中，A f (x)f ( x1);5).P x解：是；i.A (kf ( x) kf ( x1)kA f (x),ii .A ( f ( x)g( x)f ( x1)g( x 1) A f ( x)在中，A f (x)f ( x0 ), x0是一固定的数；6).P xP解：是；A (a1 , a2 ,a3 ).A g ( x).i.A (kf ( x)kf ( x0 )kA f ( x),ii .A ( f ( x)g( x)f ( x0

4、 )g( x0 ) A f ( x)A g( x).把复数域看做复数域上的线性空间，A=；7).解：否；取 ki,显然有： A ( k ) = kkikA .在Pn n中，A(X)BXC,其中 ，C是属于Pn n的两个固定的矩阵。8).B解：是；i.A ( X1X 2 )B(X1 X2)CBX1C BX2C A X1AX2,ii .A (kX1 )BkX1CkBX1CkA ( X1).- 1 -2.在几何空间中，取正交坐标系 Oxyz,以 A 表示将空间绕 Ox轴由 Oy向Oz方向旋转 90 的变换，以 B表示将空间绕 Oy轴由Oz向Ox方向旋转 90 的变换，以 C表示将空间绕 Oz轴由 O

5、x向Oy方向旋转90的变换，证明：A4B44表示单位变换 ，BA，但是2 22A2，CE(E)ABA BB并验证 (AB )2A 2 B 2是否成立。解：任取一向量(x, y, z)P3,有1).A (x, y, z)( x,z, y),A 2 ( x, y, z)A ( x,z, y)( x,y,z),A 3( x, y, z)A ( x,y,z)( x, z,y),A 4 ( x, y, z)A ( x, z,y)( x, y, z)于是有A 4E;B( x, y, z)(z, y,x),B2 ( x, y, z)B ( z, y,x)( x, y,z),B3 (x, y, z)B(x,

6、y,z)(z, y, x),B3 (x, y, z)B(z, y, x)( x, y, z)于是有B4E;同理可得4，于是有A4B4C4E.CE可以知道2).AB(x, y, z)A (z, y,x)(z, x, y), BA ( x, y, z)B( x,z, y)( y,z,x)因此 ABBA由于3).A 2 B 2 ( x, y, z)A 2 (x, y,z)(x,y,z),B 2A 2 ( x, y, z)B 2 (x,y,z)(x,y,z),于是有 A 2B2B2A 2由于4).(AB )2 (x, y, z)(AB )(AB )( x, y, z)AB ( z, x, y)( y,

7、 z, x),而A 2 B 2 ( x, y, z)A 2 (x, y,z)(x,y,z)因此 (AB )2A2B2.3.在 P x中， Af f ( x)f '(x), Bf ( x) xf ( x).证明： ABBAE=.证明：对于任意 f ( x)P x, 有：ABf ( x)A ( xf ( x)f ( x) xf '( x), BA f ( x)Bf '( x)xf '( x)于是( AB BA ) f ( x)AB f (x) BA f ( x)f ( x)xf '( x)xf'(x)f (x).由 f ( x)的任意性可知 ABBA

8、E成立。- 2 -设是线性变换，如果ABBA，证明：AkBBAkkAk1.4. AfB,E证明：使用数学归纳法：当k时，题目已知；i.1假设，当kn时所证成立，即有An1BAn 1(n1)An2成立；ii .1B当时，iii .kn取S A nBBA nA (A n 1B )(BA n 1 )AA (BA n 1(n1)A n2 )(A n 1B(n1)A n2 )AABA n 1(n1)A n 1A n 1BA(n1)A n 1(BAE) A n12(n1)A n 1A n1 (ABE)BA n2nA n1A nBS2nA n1SA n BBA nnA n 1于是有数学归纳法可知所证成立。证

9、明：可逆变换是双射。5.证明：对于任意可逆变换 A , 如果必有 AA;否则由 A1AA1A可得,于是 A 是单射。对于任意 必存在 使得 A, 取A 1即可知 A 是满射。那么可逆变换 A 是双射。6. 1, 2,n是线性空间 V的一组基 , A 是V 上的线性变换 , 证明 : A 可逆当且仅当A 1,A 2, An线性无关。证明：设A( 1, 2, n ) ( A 1 , A 2 , , A n ) ( 1, 2 , n ) A.由定理 可知线性变换A可逆的充要条件是它对应的矩阵可逆由第六章补充题 可知2A;2在1,2,n 是线性空间 V的一组基时， A可逆等价于 A1 , A2 , A

10、n线性无关。7.求下列线性变换在所指定基下的矩阵：）第 题中变换A在基1(1,0,0), 2(0,1,0),3(0,0,1)下的矩阵；1.14)解： AAA于是123A (1,0,0)(2,0,1),A (0,1,0)( 1,1,0),A (0,0,1)(0,1,0);100100210A010010011001001100那么所求矩阵为210A011 .100- 3 -2). O; 1 ,2 是平面上一直角坐标系，A 是平面上的向量对第一和第三象限的角平分线的垂直投影， B是平面上幸而向量对2的垂直投影；求 A ， B， AB 在基1, 2下的坐标；解：设 1(1,0), 2(0,1); 于

11、是11A 1(1 ,1), A 2(1,1)A2 2 ;22221122B(0,0), B 2(0,1)B0010.1那么110001222 .ABAB011101222）在空间P xn中，设变换A为A f ( x)f (x1)f ( x), A在基3 .0 1， ix(x 1)( x i1) (i1,2, n1)下的矩阵；i !解：已知AA0i110；Ax(x1)( xi 1)ii !(x1)x( x i2)ii !x 1x 1x i1i 1i(i) i 1ii于是所求矩阵为010000010000010.A0000100000n n- 4 -六个函数1axaxsin bx;4).e cos

12、bx, 2e3xeax cosbx, 4xeax sin bx;51 x2eax cosbx,61 x2 eax sin bx22的所有实系数线性组合构成的实数域上的一个六维线性空间。求微分变换 D 在基 i (i1,2,6) 下的矩阵。解：D 1aeax cosbxbeax sin bxa 1b 2 ,D 2aeax sin bxbeax cosbxa 2b 1,D 3eax cosbxaxeax cosbxbxeax sin bx1a 3b 4 ,D 4eax sin bxaxeax sin bxbxeax cosbx1a 4b 3 ,D 5xeax cosbxa 1 x2eax cosb

13、xb 1 x2eax sin bx3a 5b 6 ,22D 5xeax sin bxa 1 x2eax sin bxb 1 x2 eax cosbx4a 6b 5 ,22于是所求矩阵为ab1000ba0100A00ab1000ba0.10000ab0000ba- 5 -1015).已知 P3中线性变换 A 在基 1 ( 1,1,1), 2(1,0, 1), 3 (0,1,1)下的矩阵是 110 .121求A 在基1 (1,0,0), 2 (0,1,0), 3(0,0,1) 下的矩阵。解：从基i 到基 i的过渡矩阵为110X101;111那么101X1AX110,121于是所求矩阵为101110

14、101A X 110X 110111 0121111121111112011220 .101302- 6 -A6).在P3中， A 定义为AA123( 5,0,3)(0,1,6) , 其中( 5, 1,9)123( 1,0,2)(0,1,1) ;(3, 1,0)求A在基 1(1,0,0), 2(0,1,0), 3(0,0,1)下的矩阵。103解：已知 ( 1,2, 3)(1 ,2, 3)011 ，可得210103A(1,2,3) A(1,2,3) 0 11 ;210505又因为A ( 1,2, 3)(1 ,2, 3)011 ，于是369103505A(1,2,3) 0 11(1, 2,3) 0

15、11210369那么5051013A(1,2,3) (1,2,3) 0110 11369210133505777261( 1 ,2 ,3 )01177736921177752020777( 1 ,2 ,3 )452.777271824777于是所求矩阵52020777A452 .777271824777- 7 -7).同上，求 A 在基1，2，3下的矩阵。1031解：由于 ( 1, 2, 3)(1 ,2 ,3 ) 011于是有210A( 1, 2, 3)( 1, 2, 3)A( 1, 2, 3)1031505(1,2,3)0 11011210369133777505261(1,2,3)0117

16、77369211777235(1,2,3)1 01 .110在n n中定义线性变换A1(X)abX,A2ababab8. Pcd(X) X,A3(X )cXc.cddd求A1，A 2，A 3在基 E11, E12, E21, E22下的矩阵。解：）abE11ab10a0cE21 ,1 A1E11cdcd00caE110A1 E12abE12ab010acE22 ,cdcd000aE12cA1 E12abE12ab00b0cdcd10dbE11 dE21 ,0A1 E22abE22ab000bdE22 ,cdcd010bE12d于是所求矩阵为a0b0A10a0bc0d.00c0d- 8 -2).

17、A 2 E11E11ab10ababaE11bE12 ,cd00cd00A2E12E12ab01abcdcE11dE12,c d00c d0 0A2E12E12ab00ab00aE21bE22 ,c d10c da bab00ab00A2E22E22 cd0 1 c dc dcE21dE22 ,于是所求矩阵为ac00A2bd0000a.c00bd3).所求矩阵为a0b0ac00A3A1 A20a0bbd00c0d000ac0c0d00bda2acabbcabadb2bdacc2ad.cdbccdbdd 2设三维空间V上的线性变换A在基1, 2, 3下的矩阵为：9.a11a12a13Aa21a2

18、2a23 .a31a32a33求：）求A在基3,2 ,下的矩阵；1.1）求在基1, k 2, 3下的矩阵 , 其中k P,且；2 . Ak 0求在基12, 2,下的矩阵 .3). A3A解：已知AA1a111a212a3132a121a222a3233a131a232a333A3a333a232a131a33a32a31可知A2a323a222a121A1a23a22a21；1).A1a313a212a111a13a13a11A 1a11 1a21 k2a31 3a11a12a13k可得A 2a12 1a22k2a32 3A2a21a22a23;2).kkkkA 3a13 1a23 k 2a3

19、3 3a31a32a33k- 9 -A (3).可得AA12 )(a11a12) 1( a21a22 ) 2( a31a32 ) 3(a11a12 )( 12 )(a21a22a11a12 ) 2(a31 a32 ) 32a12 ( 12 )(a22a12 ) 2a32 33a13 ( 12 )(a23a13 ) 2a33 3a11a12a12a13于是有 A3a21a22a11a12a22a12a23a13 .a31a32a32a3310.设 A 是线性空间 V 上的线性变换，如果A k10, 但 A k0;求证：, A, A 2, A k 1(k0)线性无关。证明：设存在一组数a1, a2

20、 , ak使得：a1a2Aak A k 10(*)现证必有 aaa0成立。将A k 1作用于 (*) 式两边，可得：12ka1A k 1a2A kak A 2 k 20,由 A k0可知A kA k 1A 2 k 20,于是 a1A k 10,又由于 A k10，于是必有 a10.那么 (*) 式化为：a2Aak A k 10(*),同理，依次将 A k 2 ,A k 3 , A 0作用于 (*) 式两边，可得a1a2ak0于是 ,A,A2 , A k 1 ( k0)线性无关。在 维线性空间中，设有线性变换A与向量 ，使得An1，但n0.11. n0A求证：变换 A 在某组基下的矩阵为0000

21、010000A01000.0010000010证明：由上题可知在题目中条件下有, A,A2, An1线性无关成立。于是作为维线n性空间里的 个线性无关的向 量n,A,A2 , A n 1可作为空间的一组基。可以求的变换A 在这组基下的矩阵为 A.-10-12.设V 是数域 P上的 n维线性空间。证明： V 上的与全体线性变换可交换的线性变换是数乘变换。证明：由定理 2可知在 n维线性空间的一组特定的基下, 线性变换与矩阵是一一对应的。由第四章习题 7可知与全体矩阵可交换的矩阵必是数量阵；而我们知道数乘变换对应着数量阵。于是： V 上的与全体线性变换可交换的线性变换是数乘变换。13.A 是数域 P的 n维线性空间 V 上的一个线性变换，证明：如果 A 在任意一组基下的矩阵都相同，那么 A 是数乘变换。证明：设 A 在基1, 2 , n下的矩阵为 Aaij,只需证明 A为数量阵即可。n n设