集合的概念与运算

1、1 集合的概念知识梳理1元素与集合(1) 集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性(2) 元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号或? 表示(3) 集合的表示法：列举法、描述法、图示法2集合间的基本关系表示文字语言符号语言关系集合间相等集合A与集合B中的所有元素都相同BA的子集A 中任意一个元素均为B 中的元素A? B基本关A 中任意一个元素均为B 中的元素， 且 B中至少有一系真子集个元素不是 A中的元素AB空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集3. 集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号A B x| x A，或 x BA B x| x A，且 x B? U

2、A x| xU，且 x? A语言4. 集合的运算性质并集的性质：A? A； A A A；A B BA； A B A? B? A交集的性质：A ? ? ； A A A；A B BA； A B A? A? B补集的性质：A ( ? UA) U；A(? UA) ? ； ? U( ? UA) A题型一集合例1.(1) 已知集合A 0,1,2，则集合Bx y|x A， y A中元素的个数是()A 1B 3C 5D 9(2) 已知集合A m 2,2m2 m，若3 A，则m的值为_3答案(1)C(2) 2(2) 由题意得2m 2 3 或 2m m3，则m 1 或3m 2，当m 1 时， m2 3 且22m

3、m 3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当31m 2时， m 22，而22m m 3，故3m 2.【感悟提升】(1) 用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合；(2) 集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意分类讨论的思想方法常用于解决集合问题变式 1. 设集合A1,2,3，B 4,5， M x|x a b，a A， b B ，则M中的元素个数为()A3B 4C 5D 6变式2. 设a， b R，集合1 ， a b， a b0， a， b，则b a _.答案解析1. 因为集合M中的元素x a b， a

4、A， bB，所以当b 4 时， a 1,2,3 ，此时 x 5,6,7.当 b5 时， a1,2,3 ，此时 x6,7,8.所以根据集合元素的互异性可知，x 5,6,7,8.即 M5,6,7,8 ，共有 4 个元素b2. 因为 1 ， ab， a 0， ，b ，a0， ab所以 a b 0，得 a 1，所以 a 1，b 1，所以 b a2.题型二 .集合间的基本关系例 2. (1) 已知集合A x|x 2 3x 2 0，x R，B x|0<x<5 ， xN，则满足条件A? C? B 的集合 C的个数为 ()A1 B2 C3D 4(2) 已知集合A x |2x7, B x | m1x

5、2m1, 若 BA ，则实数m 的最大值为_.答案(1)D(2)4注：若B 是A 的真子集，则m的最大值为什么【感悟提升】 (1) 空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解； (2) 已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题变式 1. 已知集合 A x|y ln(x 3) ， Bx|x 2 ，则下列结论正确的是()A ABBAB ?CA? BDB? A变式2. 已知集合A x| log2x 2 ，B x|x<a，若 A? B，则实数a 的取值范围是_答

6、案2.(4，)解析 x|x> 3 ， Bx|x 2 ，结合数轴可得：B? A.2. 由 log2x 2，得 0<x4，即 Ax|0<x 4 ，而 Bx|x<a ，由于 A? B，如图所示，则 a>4.题型三 .集合的基本运算例 3. （ 1）已知 A x | x1|2 ， B x | x2ax6 0 ， C x | x22x 150 ，A BB，求 a 的范围；是否存在 a 的值使 ABB C ，若存在，求出a 的值，若不存在，说明理由 .(2) 设集合 UR， A x|2x(x 2)<1 ， B x|y ln(1 x) ，则图中阴影部分表示的集合为()Ax

7、|x1B x|1x<2Cx|0<x1Dx|x1答案(1)（-5 a -1 ） ;ABC,19a15(2)B变式 1. 已知集合A 1,3A0或3B0或 3C1或3D1或 3，m， B 1 ， m， A BA，则m等于 ()变式2.A x | 2axa3，B x | x1或 x5， AB，则a 的取值范围为_.答案2.(,1)(2,32【感悟提升】1. 一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn 图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况2. 运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化变式 3. (2015 ·天津

8、 ) 已知全集U 1,2,3,4,5,6,7,8，集合 A2,3,5,6，集合 B 1,3,4,6,7，则集合 A(? UB)等于 ()A 2,5B 3,6C 2,5,6D 2,3,5,6,8变式 4. 设 U R，集合 A x|x2 3x 2 0 ， Bx|x2 (m 1)x m 0 ，若 ( ? UA)B ? ，则 m的值是 _答案或 2解析3. 由题意知， ? UB 2,5,8，则 A(? UB)2,5，选 A. 2， 1 ，由 ( ? UA)B ? ，得 B? A，方程 x2 (m 1)x m 0 的判别式 (m 1)2 4m (m1)2 0， B ? . B 1 或 B 2或 B 1

9、， 2若 B 1 ，则 m 1；若 B 2 ，则应有 (m 1) ( 2) ( 2) 4，且 m( 2) ×( 2) 4，这两式不能同时成立， B 2 ；若 B 1， 2 ，则应有 (m 1) ( 1) ( 2) 3，且 m ( 1) ×( 2) 2，由这两式得m 2.经检验知m 1 和 m 2 符合条件 m 1 或 2.题型四 .集合的新定义问题例 4 若集合 A 具有以下性质：()0A,1A；1( ) 若 x A，y A，则 x y A，且 x0时， A.则称集合A 是“好集”下列命题正确的个数是()(1) 集合 B 1,0,1 是“好集”；(2) 有理数集 Q是“好集

10、”；(3) 设集合 A 是“好集”，若 xA， y A，则 x y A. A0 B1 C2 D 3答案C变式 :(2015 ·湖北 ) 已知集合221，x，y Z ，B (x ，y)|x|2，|y| 2， x，yA (x ，y)|x y Z ，定义集合 A*B (x 1x2 ，y1 y2)|(x1，y1) A， (x 2，y2) B ，则 A*B 中元素的个数为 ()A 77B49C45D 30答案C解析如图，集合A 表示如图所示的所有圆点“”，集合 B 表示如图所示的所有圆点“”所有圆点“”，集合A*B 显然是集合 (x ，y)|x|3，|y| 3， x，y Z 中除去四个点( 3

11、， 3) ，( 3,3) ，(3 ， 3) ，(3,3)之外的所有整点( 即横坐标与纵坐标都为整数的点 ) ，即集合A*B 表示如图所示的所有圆点“”所有圆点“”所有圆点“”，共 45 个故 A*B 中元素的个数为45. 故选 C.【真题演练】1. 【 2016 高考新课标1 理数】设集合Ax x24x3 0, x 2x 3 0 , 则 A B（）（ A）3, 3（ B）3, 3（C） 1, 3（D） 3 ,32222【答案】 D【解析】因为 A x|x2 - 4x 30= x|1x3,B= x|x3, 所以2A B= x|1x 3 x|x333,故选 D.= x|x222.【 2016 高考

12、新课标3 理数】设集合 Sx | ( x2)( x3)0 , Tx | x0，则S T（）(A) 2 ， 3(B)（-， 23,+）(C)3,+） (D)（ 0，23,+）【答案】 D【解析】由 ( x 2)(x3)0解得 x3或 x2，所以 S x | x2或x3 ，所以ST x | 0 x2或x3 ，故选 D3. 【 2016 年高考四川理数】设集合A x |2x2 ，Z 为整数集，则 AZ 中元素的个数是（）（ A）3（B） 4（C）5（ D）6【答案】 C【解析】由题意，AZ2,1,0,1,2 ，故其中的元素个数为5，选 C.4. 【 2016 高考山东理数】设集合A y | y2x

13、, xR, B x | x210, 则AB =（）（ A） ( 1,1)（ B） (0,1)（C） ( 1,)（ D） (0,)【答案】 C【解析】A y | y 0，B x | 1 x 1，则A B（-1， +，选 C.）5. 【 2016 高考新课标2 理数】已知集合A1,2,3 ， B x | ( x1)(x 2) 0, xZ，则 AB（）（A） 1（ B） 1，2（ C） 01，2，3（ D） 101，2，3【答案】 C【解析】集合 B x |1x 2, xZ0,1 ，而 A1,2,3 ，所以 AB0,1,2,3 ，故选 C.6. 【 2016 高考浙江理数】已知集合PxR 1x3 ,QxR x24 ,则 P(RQ) （）A2,3B( -2,3 C1,2)D(,21,)【答案】 B【解析】根据补集的运算得故选 B7. 【 2015 高考陕西，理1】设集