国家开放大学电大本科《高等代数专题研究》2023-2024期末试题及答案(试卷代号：1079)

1、国家开放大学电大本科高等代数专题研究2023-2024期末试题及答案（试卷代号:1079）一、单项选择题（本题共20分，每小题4分）1. 下列运算中 ）是有理数域Q上的代数运算.B.D. a vb _«/2a2. 按通常教的加法与乘法.复数域C可以者成实数域R上的蛾性空间,则它的维数是A0G 23. 矩阱A与B拇似的允分必要条件是（AA与3的持祉多瑚式相等C. 人与B的秩相等B. 1D. 无限）.H.人与8的行列式相句D.存在可逆炬阵丁，使T '/Vf-B4. 设A是正交矩曲,则F列选项中惜误的是（A. /V = EB. AT=A 1C. A的苛一行的元素的平万和等于10.

2、A的不同行的对应元素乘积之和等于。5. 设人是“阶实对称矩阵.则人是正定的充分必要条件是（）.A. A的行列式大于零R.存在矩阵C.使得AgCC A的特征值全为正D. 存在村维非零向用X使得XrAX>0二、填空题（本题共20分，每小题4分）6. 实敝域上的不可约多项式的次数是 次的.7. 向匿组（, = （0.0,1 ）=（0.1,2）3.5）线性相关,则 a =8. 设A是线性空间V的线性变换.则A的属于不同特祉值的特征向51线性9. 设a是欧氏空间V的对林变换,姻。在V的坏准正交基下的矩阵是 10. 埃性空间V上.的双线性函数在不同.基下的度度疤阵三、计算题（本题共45分，每小题15

3、分）11. 没R'的线性变换D定义如下口.，工1> = （2卫L工SI七.心+上$），求a在基j =,D)j = (00D下的矩阵.2-2012 .设人一 一2 I -2 .求一个正交矩阵丁.使丁 ,4丁=丁人丁为对用炬阵.0 T013. 求人取何值时，下面的实二次型是正定的J (xi >x： fXi)卜4工；4-4xx b 2Atix2 2xixj + 4x2四、证明题(本题15分)14. 设/GH,gCt)是数域P上的一元多项式，且</S,gCr) = 】,证明： </(x) ,/(x)-Fg(jr) = 1.试题答案及评分标准：-.项»i*n(本

4、bi共20分小m 4分t B2.CID4. A5.C二堵空01(本幌共20分.符小IR 4分), 6. I 或 27.0&光关9. Xj林炬阵10. 相含三,计鼻81(本01共45分,梅小H IS分)；1L «hxi«0.02.,(Ot lel)« 1|+g|.(7分)IM此.。在斯 <l-(h0>0).tl-(0JtO).t1-(0.0J)下的矩阵为2 f 0X- 0 11P- 151 .12-衅M的侍征多项式»£-川|=« + 2）。一1）以一1）故A的特Ifff为一2.1 .牝（5分）人足实对林矩阵可对角化.

5、分别求缶八的属于每个特征值的特征向10当"=-2时.（一2E-人）X=0的基础解系为" = （1.2,2）：（7分）当A, = l时（E-AX。的基础觥系为异=（2.1.一2儿（9 分）.当，=4时.4E-A）X = 0的基础解系为勇=（2.-2.1.分）ai巳正交单位化70T 12 2 TV扣，百'* =22 !5,一亍.亍土T£ T2T2上3T一亍22. . 1rT令T。（13 分）则T是正交阵.旦丁'八T-TMT-（15 分IX解，二次型的系数阵A5分）W Ml A /正定实称遂阵的允分必耍时足它的各阶顺序I都大下零M郴Cl）iOt>4.（）"）/（r）*.K（r）X ">/） f（r）i”（，）/（*昨“（x）'n（r）X I（”"（m册一 成址时1 （J）*"/